数学史概论-数学与统计学院
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第五章 希望的曙光——欧洲文艺复兴 时期的数学
§5.1 欧洲中世纪的回顾
§5.2 欧洲文艺复兴时期的数学
5.2.1 透视理论的创立与三角学的独立 5.2.2 三、四次方程的解法 5.2.3 韦达与符号代数 5.2.4 对数的发明
5.1欧洲中世纪的回顾
在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明 兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。 大约在公元500年左右，欧洲才开始出现新文化。从5世纪中 叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时 期。在这1000年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生 产停滞，经济凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造， 也没有值得一提的科学著作。
1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了 一场前后八次历时近200年的侵略性远征——十字军东征。 十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却 促进了东西方的文化交流。许多用阿拉伯文保存下来的古 希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入 欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所示：
因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数 学史上翻译家的世纪。可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以 及印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展 起了一定的作用。
13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是 斐波那契(Fibonacci, 1170—1250) 。
斐波那契：意大利比萨人，父亲是 一位商人。当时意大利的大商行在地中 海的许多地方设有海外商站，其父就在 比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐 波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟 阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商 人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、 西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数 学，积累了丰富的数学知识。
书中还有一个有趣的兔子问题：
“假定大兔每月生一对小兔，小兔1个月就长成大 兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？”
由该问题引出了著名的斐波那契数列（1，1，2，3， 5，8，13，21，34………），即从第三项开始，每一项 都wk.baidu.com前相邻两项的和。
此数列的递推关系式为：
Fn Fn1 Fn2 ( n 3 ) F1 F2 1 Fn1 1 ( 5 1 ) Fn 2 通项公式为
由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解 比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的 加速发展。在12－15世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、 印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多 阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们 都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并 将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国 人阿德拉特(约1120)翻译的《几何原本》和花拉子米的天 文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的 《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12 世纪最伟大的翻译家格拉多（1114-1187）将90多部阿拉伯 文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的《大汇编》、欧几 里得的《几何原本》、花拉子米的《代数学》。
出现这一科学技术大倒退局面的原因是：
5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实 用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的 几何和测量。这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的 影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。
另一方面，基督教统治人民，为了达到在精神上麻 痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生 进入天堂”的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统 治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎 言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。 人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学 习和研究的“百科全书”。在这个时期甚至从法律上明 文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥多西的法典中 规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。”
他特别欣赏印度－阿拉伯计算方法在实用上的优越性。 1202年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数 学名著《算盘书》。
《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜 之后走向复苏的号角。
这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学 著作的内容，包括印度-阿拉伯数码的读法和写法；整数与 分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及 《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的 “孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是， 书中系统介绍了印度-阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。
在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的 学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均 已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水 平低下的算术和几何教材。
罗马人博埃齐（约480－524）是罗马的一个贵族， 曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、 音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含《几何原本》 的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量 术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。 这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使 用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕 入狱并死在狱中。
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5 )n
52
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如13世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字 军东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的， 但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。
在十字军东征中，意大利商人获得了巨大利益，意大利 在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来 的文艺复兴奠定了基础。
随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会 学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学 校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑 桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学 家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马 等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育的。
§5.1 欧洲中世纪的回顾
§5.2 欧洲文艺复兴时期的数学
5.2.1 透视理论的创立与三角学的独立 5.2.2 三、四次方程的解法 5.2.3 韦达与符号代数 5.2.4 对数的发明
5.1欧洲中世纪的回顾
在巴比伦、埃及、中国、印度、希腊和罗马等地的文明 兴盛时代，欧洲（除希腊和意大利）还处于原始文明时期。 大约在公元500年左右，欧洲才开始出现新文化。从5世纪中 叶到15世纪，在科学史和哲学史上称为欧洲中世纪的黑暗时 期。在这1000年左右的时间里，整个欧洲，特别是西欧，生 产停滞，经济凋敝，科学文化落后。既没有像样的发明创造， 也没有值得一提的科学著作。
1100年左右，由于阶级矛盾尖锐化，西欧终于爆发了 一场前后八次历时近200年的侵略性远征——十字军东征。 十字军一边抢掠一边东进，给阿拉伯人带来了苦难，但却 促进了东西方的文化交流。许多用阿拉伯文保存下来的古 希腊、古印度、古中国和阿拉伯文化，都在这个时期传入 欧洲。古代学术传播西欧的路线如图所示：
因此，有人评价12世纪是欧洲数学的翻译时代，是数 学史上翻译家的世纪。可以说，古希腊数学、阿拉伯数学以 及印度和中国的数学成果，都对西方近代数学的诞生和发展 起了一定的作用。
13世纪，欧洲出现了第一批数学家，其中代表人物是 斐波那契(Fibonacci, 1170—1250) 。
斐波那契：意大利比萨人，父亲是 一位商人。当时意大利的大商行在地中 海的许多地方设有海外商站，其父就在 比萨驻阿尔及利亚的海外商站工作。斐 波那契就在阿尔及利亚的小港口布日跟 阿拉伯人学习算学。后来，作为一名商 人，他又游历了埃及、希腊、叙利亚、 西西里岛等地，接触到东方和阿拉伯数 学，积累了丰富的数学知识。
书中还有一个有趣的兔子问题：
“假定大兔每月生一对小兔，小兔1个月就长成大 兔，自一对小兔开始，一年后可繁殖多少对兔子？”
由该问题引出了著名的斐波那契数列（1，1，2，3， 5，8，13，21，34………），即从第三项开始，每一项 都wk.baidu.com前相邻两项的和。
此数列的递推关系式为：
Fn Fn1 Fn2 ( n 3 ) F1 F2 1 Fn1 1 ( 5 1 ) Fn 2 通项公式为
由于商业贸易和一系列的十字军东征，欧洲人开始了解 比欧洲先进得多的东方文化和科学技术，促进了欧洲科学的 加速发展。在12－15世纪，欧洲在数学上主要是吸收古希腊、 印度、中国和阿拉伯的数学遗产。当时的西班牙保存有许多 阿拉伯著作和一些希腊著作。为了获取知识，欧洲的学者们 都愿意到颇具世界性的西班牙去旅行。他们在西班牙学习并 将大量科学著作翻译成拉丁文。数学著作的翻译主要有英国 人阿德拉特(约1120)翻译的《几何原本》和花拉子米的天 文表；意大利人普拉托（12世纪上半叶）翻译的巴塔尼的 《天文学》和狄奥多修斯的《球面几何》以及其它著作。12 世纪最伟大的翻译家格拉多（1114-1187）将90多部阿拉伯 文著作翻译成拉丁文，其中包括托勒密的《大汇编》、欧几 里得的《几何原本》、花拉子米的《代数学》。
出现这一科学技术大倒退局面的原因是：
5世纪，罗马人占领了希腊本土。由于罗马人偏重实 用，他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的 几何和测量。这对罗马帝国崩溃后的欧洲数学有一定的 影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。
另一方面，基督教统治人民，为了达到在精神上麻 痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生 进入天堂”的谬论。他们用死后的幸福生活来欺骗被统 治者，让他们安于自己被奴役的痛苦命运。为了不使谎 言被揭穿，基督教强烈反对研究和传播自然科学知识。 人们只能学习圣经，圣经成为这一时期人们唯一能够学 习和研究的“百科全书”。在这个时期甚至从法律上明 文禁止学习和研究数学，如罗马皇帝狄奥多西的法典中 规定：“任何人不得向占卜人与数学家请教。”
他特别欣赏印度－阿拉伯计算方法在实用上的优越性。 1202年回国后不久，他综合阿拉伯和希腊资料发表了其数 学名著《算盘书》。
《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜 之后走向复苏的号角。
这部著名的著作主要介绍古代中国、印度和希腊数学 著作的内容，包括印度-阿拉伯数码的读法和写法；整数与 分数的计算；开方法；二次和三次方程；不定方程；以及 《几何原本》和希腊三角学的大部分内容（如中国数学的 “孙子问题”，“百鸡问题”均出现于该书中）。特别是， 书中系统介绍了印度-阿拉伯数码，影响了欧洲数学面貌。
在这个时期，科学赖以发展的一些主要条件如自由的 学术空气、对物理世界的关注、研究抽象概念的兴趣等均 已消失。尽管如此，由于宗教教育的需要，也出现一些水 平低下的算术和几何教材。
罗马人博埃齐（约480－524）是罗马的一个贵族， 曾不顾禁令根据古希腊著作用拉丁文编译了几何、算术、 音乐、天文的初级读物。几何内容仅包含《几何原本》 的第一卷和第三、四卷的部分命题以及一些简单的测量 术，算术则是根据四百年前的一本浅易的著作编写的。 这样简单的书籍竟一直作为欧洲教会学校的标准课本使 用了近千年之久，但博埃齐本人还是遭受政治迫害被捕 入狱并死在狱中。
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5 )n
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如13世纪中国的四大发明已在阿拉伯广泛流行。十字 军东征又把这些发明传入欧洲。虽然十字军东征是侵略性的， 但它却有力促进了西欧科学技术水平的提高。
在十字军东征中，意大利商人获得了巨大利益，意大利 在地中海的商业优势也随之确立。意大利的经济繁荣为后来 的文艺复兴奠定了基础。
随着城市工商业的发展，市民对知识的需要增加，教会 学校已不能满足这些需要，逐渐出现了普通学校。在普通学 校发展的基础上，大学诞生了。如巴黎大学、牛津大学和剑 桥大学。许多科学巨人都曾在大学中学习过，大学成为科学 家的摇篮。近代科学兴起时，伽利略、牛顿、笛卡儿、费马 等伟大的数学家就是在中世纪末建立的大学中受教育的。