函数极限存在的条件(精)

(2) 1
2
n2
3) 将函数极限的理论研究,转为数列极限的研究.(见后柯西准则的证明)
单侧极限的归结原则:
定理3.9
设f在
U
0
(
x0
)
有定义.
lim
xx0
f (x) A
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以 x0 为极限的单调递减数列{xn}, 都有
lim
n
f
( xn
)
A.
定理3.9-1 设f在
U
0
lim f (x) A 的 定义:
xx0
若 0, 0, 当 0 | x x0 | 时,有 | f (x) A| .
lim f (x) A 的 0 定义:
xx0
若 0 0, 0, x1,
尽管0 | x1 x0 | , 但
| f (x1) A | 0.
用 0
定义证明 lim xx0
1
0
事实上,在 0 | x 0 | 内,一定可以取到x1, 使得 sin x1 0,
进而有
sin
1 x1
1
1
1 2
0.
证:
取
0
1. 2
0,
取
n1
1
1,
1
x1 n1 ,
则
0 |
x1
0 |
1
n1
1 n1
,
且
sin
1 x1
1
|
sin
n1
1| 1
1 2
0,
所以 limsin 1 1. x0 x
0 | xn x0 | , 进而有 | f (xn ) A | , 即
lim
n
f
(xn )
A.
(充分性)
由题设,对 {xn} U 0 (x0;
') 且
lim
n
xn
x0 ,
有
lim
n
f
( xn
)
A.
若 lim f (x) A: xx0
归结原则:
定理3.8 设f在
U 0 (x0; ') 有定义.
f (x) 存在.
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理: 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
证:
不妨设f在
U
0
(
x0
)
单调递增.
lim
x x0
f (x) 存在.
对任何含于
U
0
x0
),
而
lim
n
f
(xn ) 不存在,
则lim xx0
f
(x)
不存在.
若
lim
n
xn'
x0 ,
lim
n
xn"
x0 ,
但
lim
n
f
(xn' )
lim

f
(xn" ),
则
lim f (x) 不存在.
xx0
例2
证明极限 limsin 1 不存在.
x0 x
y sin 1 x
例2 证明极限 limsin 1 不存在. x0 x
(
x0
)
有定义.
lim
xx0
f (x)
A
对任何含于
U
0
(
x0
)
且以
x0 为极限的递增数列{xn}, 都有
三、单调有界定理 数列极限的单调有界定理:
lim
n
f
(xn )
A.
在实数系中,有界的单调数列必有极限.
函数单侧极限的单调有界定理:
定理3.10
设f在
U
0
(
x0
)
单调有界, 则
lim
x x0
n
lim
n
n
sin
1
2n n2
lim
n
1
2n n
sin 1
1
2n
n2 2n
(2) 1
2
n2
若 lim f (x) A, xx0
lim
n
xn
x0 (xn
x0 ),
是否
lim
n
f
(xn )
A.
归结原则(海涅(Heine)定理):
定理3.8 设f在
U 0 (x0; ') 有定义.
lim f (x) 存在
f (x) A:
1) 估计0;
2) 求出满足两个不等式 0 | x1 x0 | , | f (x1) A | 0 的 x1.
(x1 通常与0 , 有关)
例1 证明 limsin 1 1.
分析:
x0 x 在空心邻域 0 |
0 可取多少?
x 0 | 内,是否总能找到 x1,使得
sin
1 1 x
2) 根据函数的极限求数列的极限.
lim nsin 1
n
n
sin 1 lim n
n 1
1. (
lim sin x 1) x0 x
n
lim
n
n
sin
3 n
lim
n
3
sin 3
3 n
3
(
lim sin x 1) x0 x
n
lim
n
n
sin
1
2n n2
lim
n
1
2n n
sin 1
1
2n
n2 2n
§3 函数极限存在的条件
教 学 要求
1．领会归结原则(海涅定理)、函数单侧极限的单调有界定理与柯西准则 的实质以及证明过程，掌握运用归结原则与柯西准则判定某些函数极 限的存在性。
2．掌握函数极限与数列极限的联系。 3．初步掌握用归结原则、柯西准则证明函数极限不存在的技巧。
§3 函数极限存在的条件
一、lim f (x) A 的 0 定义 xx0
证: 设 f (x) sin 1 . x
取
xn
1
2n
,
则
xn
0,
lim
n
xn
lim 1
n 2n
0,
lim
n
f
(xn )
lim sin(2n
n
)
0.
取
yn
1
2n
,
则
yn
0,
lim
n
yn
lim
n
1
2n
0,
2
2
lim
n
f
( yn )
lim sin(2n
n
2
)
1,
由归结原则limsin 1 不存在. x0 x
特别对任意正整数n, 相应可取到 xn , 尽管
0 |
xn
x0
|
1 ,(
n
1,n n
1, 2,
)
但
| f (xn ) A | 0.
显然
lim
n
xn
x0 ,
但
lim
n
f
(xn )
A,
矛盾.
归结原则的应用:
1) 证明函数极限 lim f (x) 不存在. xx0
由归结原则有:
若
lim
n
xn
x0 (xn
二、函数极限与数列极限的关系 (海涅定理(Heine)、归结原则)
问题
lim nsin 1 ?
n
n
1
lim nsin
n
n
sin 1 lim n
n 1
1. (
lim sin x 1) x0 x
lim nsin 3 ?
n
n
n
lim
n
n
sin
3 n
lim
n
3
sin 3
3 n
3
(
sin x lim 1) x0 x
xx0
对任何含于
U 0 (x0; ')
且以 x0 为极限的数列
{xn},
极限
lim
n
f
(xn )
存在且相等.
证: (必要性) 设 lim f (x) A, 由定义 0, 0( '),
x
xx0
: 0 |
x
x0
|
时有
|
f (x) A| .
又
lim
n
xn
x0 ,故对上述
0,
N 0,n N时有
lim f (x) 存在
xx0
对任何含于
U 0 (x0; ')
且以 x0 为极限的数列
{xn},
极限
lim
n
f
(xn )
存在且相等.
(充分性)
由题设,对
{xn}
U
0
(
x0
;
')
且
lim
n
xn
x0 , 有
lim
n
f
(xn )
A.
若 lim f (x) A:
xx0
0 0, 0, x*: 0 | x * x0 | ,有 | f (x*) A | 0.