《数列的概念与简单表示法》-教案

2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）

一、教学目标

（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画

自然规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。

（2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点

教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、?

四、教学过程

一、创设情境，实例引入

1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题

2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。

师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律?

2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。

板书课题：数列的概念与简单表示法

二、|

三、新课教学

（一）引入

1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。

师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。

我们看三角形数分别是1，3，6，10……(板书)

师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25……（板书）

（二）新课教学

问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？

~

我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数

所以第一个特点是什么？都是一列数

第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的，

也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。按照一定顺序排列的一列数成为数列。

师：数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项......排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.

板书记法：a1，a2，a3，...，an ，...

，

那么这里的角标起到什么作用？

代表着它的项数，也就是它在数列中的具体位置，对于任何数列都可以这样表示，但如果项数过多，这样表示又很麻烦，所以我们通常把数列简记为{an}

例如：三角形构成的数列{an}：1，3，6，10，15……，a1=？a2=，a3=，a5，...

活动一：分析下列5个数列，按照适当的标准分类.

问题1：可以对数列进行怎样的分类？

教师引导：从数列的项的数量，或者数列前后各项之间的大小关系等角度,你能体会以上这些数列之间的区别吗?它们各有什么特点?

·

师：引导学生根据项数的多少和项数大小进行分类分类，并给出定义。 师：提问学生对每个数列进行分类

活动二：分析下列两个数列的项与序号之间的关系

师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列.

生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域。 应的一列函数值的顺序依次取值时所对当自变量按照从小到大为定义域的函数，，，或它的有限子集数列可以看成以)()}2{1(*n f a n N n 想一想：数列2，5，8，11，14与数列2，5，8，11，14……有何不同？

~

思考：你能用一个项n a与序号n的式子来表示数列2，5，8，11，14……吗？

师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义.分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念.

师：总结并给出通项公式的概念：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

从集合、对应的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{}n,

,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

问题：数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示，你能把上面的这个数列用这两种方法表示出来吗？

（三）例题讲解

1.（1）数列：1，1，2，2，3，3，4，4，…

（2）数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1

、

将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别。

经过以上问题可得出集合和数列的区别是：

第一，集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。

第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。

如数列：

1，1，2，2，3，3，4，4，…

是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成

｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。

、

第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。

例如：数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1

是两个不同的数列。可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。

教师引导学生讨论得出:

（1）数列{}n a中是一列数，而集合中的元素不一定是数；

（2）数列{}n a中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有顺序（无序性）；

（3）数列{}n a中的数可以重复，而集合中的元素不能重复（互异性）。

【设计意图】：加深对数列概念的理解，分清集合和数列的区别。

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