《数列的概念与简单表示法》-教案
教学设计5：6.1 数列的概念及简单表示法
6.1 数列的概念及简单表示法[知识梳理]1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照排列的一列数．②数列的项：数列中的．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．3.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．4．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．[考点精析]考点一由数列的前几项求数列的通项公式典题导入[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．以题试法1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….考点二由a n 与S n 的关系求通项a n典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1) S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.由题悟法已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．以题试法2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )A.56 B.65 C.130D ．30考点三数列的性质典题导入[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？在本例条件下，设b n ＝a nn ，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和S n，根据S n的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m≥0，且a m＋1<0，则S m最大；若a m≤0，且a m＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是() A．310 B．19C.119 D.10 60答案[知识梳理]1．(1)①一定顺序 ②每一个数(3)序号n2．任一项a n 前一项a n －1 [例1]【解析】 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. 【答案】 C【答案】a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数，1n 为偶数.⎝⎛⎭⎫或a n ＝1＋－1n2或a n ＝1＋cos n π21．解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n －1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.[例2]【解析】 (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 2．【解析】选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130.[例3]【解析】 (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20n－21，令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋204－21＝－12，b 5＝5＋205－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.3．【解析】选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．。
高考数学复习知识点讲解教案第34讲 数列的概念与简单表示法
1
3
10
−1
1−
1
10
B. =
1
3
D. =
3
10
10
C
)
−1
10
−1
[解析] 根据题意，数列9，99，999，9999，⋯ 的一个通项公式为 =
10
− 1，
则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，⋯ 的一个通项公式为
=
1
10
×
(10
− 1) = 1 −
1
，
分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用 −1 或 −1
+1
∗
, ∈ 来处理.
变式题（1）
5
7
9
数列1，− ， ，− ，⋯
8 15
24
A. = −1
+1 2−1
2 +
C. = −1
+1 2−1
2 +2
[解析]
∈
∗
∈
∗
的一个通项公式是(
B. = −1
+1 − 2 = 1 − ，且1 = 3，则{ }的通项公式是________________________
［思路点拨］（1）由题意可得{ − }是以2为首项，2为公比的等比数列，即可
求出 ，再由 与 的关系求出{ }的通项公式.
[解析] ∵ +1 − 2 = 1 − ，∴ +1 − + 1 = 2 − ，
当 = 1时,1 = 1 = 4 − .当 = 1时,1 = 3不满足（*）式,
3, = 1,
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案一、教学目标1. 了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、项的表示等。
2. 学会用图像和数学公式表示数列。
3. 能够运用数列的性质解决实际问题。
二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。
2. 数列的表示方法：a) 通项公式：数列中每一项的数学表达式。
b) 项的表示：用序号表示数列中的每一项。
3. 数列的图像表示：数列的图像通常为一条直线或曲线。
4. 数列的性质：数列的项数、公差、公比等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的图像表示。
2. 教学难点：数列的性质及其应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳数列的性质。
2. 利用多媒体展示数列的图像，增强学生的直观感受。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤1. 引入数列的概念，引导学生理解数列是按照一定顺序排列的一列数。
2. 讲解数列的表示方法，如通项公式、项的表示，让学生学会用数学公式表示数列。
3. 利用多媒体展示数列的图像，让学生了解数列的图像表示方法。
4. 分析数列的性质，如项数、公差、公比等，并引导学生运用数列的性质解决实际问题。
5. 进行课堂练习，巩固所学内容。
教案设计仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学活动1. 课堂讲解：数列的概念与表示方法。
2. 实例分析：分析生活中常见的数列，如等差数列、等比数列。
3. 练习：求给定数列的前n项和。
七、数列的图像表示1. 讲解：数列图像的绘制方法。
2. 练习：绘制给定数列的图像。
八、数列的性质与应用1. 讲解：数列的性质及其应用。
2. 实例分析：运用数列的性质解决实际问题。
3. 练习：运用数列的性质解决给定问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、表示方法、图像表示和性质。
2. 强调数列在实际问题中的应用。
十、课后作业1. 习题：求给定数列的前n项和。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….如：4,5,6,7,8,9，… ① ，，，，，514131211 ②1,3,4,2.3,9,0，… ③上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. 3. 数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 如： ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 151413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项4. 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列③ ； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos|π+=n a n .⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案一、教学目标1. 了解数列的定义及其特点2. 掌握数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 能够运用数列的概念和表示法解决实际问题二、教学内容1. 数列的定义与特点2. 数列的表示方法a. 通项公式b. 前n项和公式三、教学重点与难点1. 重点：数列的概念、特点及表示方法2. 难点：通项公式和前n项和公式的运用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、特点及表示方法2. 利用例题，引导学生运用数列的知识解决问题3. 小组讨论，探讨数列在实际问题中的应用五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的定义和特点2. 介绍数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 举例说明数列的表示方法在实际问题中的应用4. 课堂练习，让学生巩固数列的概念和表示法教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置有关数列概念和表示法的练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 课堂练习：课堂上设置一些数列相关的问题，让学生现场解答，以检验他们对数列概念和表示法的掌握程度。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享他们在实际问题中运用数列知识的心得，从而提高他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 数列的性质：介绍数列的单调性、周期性等性质，引导学生深入研究数列的特点。
2. 数列的分类：讲解等差数列、等比数列等常见数列的定义和性质，让学生了解数列的多样性。
八、教学反思在教学过程中，要及时关注学生的学习反馈，调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上课程进度。
针对学生的薄弱环节，要加强针对性训练，提高他们的数列知识水平。
注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，使他们能够将所学知识运用到实际问题中。
九、课后作业1. 复习数列的概念和表示法，整理课堂笔记。
2. 完成课后练习题，加深对数列知识的理解。
3. 选择一个实际问题，尝试运用数列的知识解决，并将解题过程和答案提交给本节课主要讲解了数列的概念和简单表示法，学生通过学习掌握了数列的基本知识，能够运用通项公式和前n项和公式解决一些实际问题。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案教案标题：数列的概念与简单表示法年级：初中教育，七年级学科：数学教学目标：1. 了解数列的基本概念和特点；2. 掌握数列的简单表示方法，包括通项公式和递推公式；3. 能够应用所学知识解决简单的数列问题。
教学重点：1. 数列的定义和基本概念；2. 通项公式和递推公式的理解和运用。
教学准备：1. 教师：教学课件、数列示例、黑板、彩色粉笔等。
2. 学生：教材、作业本、笔、纸等。
教学步骤：引入（10分钟）1. 回顾学生对数学中的序列的概念的理解，介绍数列的概念。
解释数列是按特定顺序排列的一系列数的集合，强调数列中的每个数都有其特定的位置。
2. 通过示例引导学生理解数列，例如：1，3，5，7，9是一个数列，其中每个数都比前一个数大2。
概念讲解（15分钟）1. 解释数列的三要素：首项、公差和通项。
首项即数列中的第一个数，公差指的是相邻两项之间的差值，通项是指数列中任意一项与首项的关系。
2. 引入通项公式，解释如何通过通项公式计算数列中的任意一项。
例如，在等差数列中，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
3. 介绍递推公式，说明如何通过已知的前一项计算出下一项。
例如，在等差数列中，递推公式可以表示为an = an-1 + d，其中an-1代表数列中的前一项。
示例与练习（20分钟）1. 展示一些数列的示例，包括等差数列和等比数列，并与学生一起求出各个数列的首项、公差（公比），以及给出特定的项数求解该项的方法。
2. 学生通过课堂练习，巩固所学的数列概念和表示方法，包括计算数列中缺失的项、给出下一项以及判断数列是否为等差（等比）数列等。
总结与拓展（10分钟）1. 总结数列的概念、通项公式和递推公式，确保学生掌握这些概念和方法。
2. 引导学生思考数列在现实生活中的应用，例如金融中的存款利息计算、天体物理中的星球间距离等领域。
课后作业：1. 完成教材中与数列相关的习题；2. 扩展思考：寻找并总结现实生活中的数列应用场景，并写出相关的数学表示式。
高中数学教案 第1讲 数列的概念与简单表示法
第1讲数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照□1确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是□2序号n，对应的函数值是□3数列的第n项a n，记为a n＝f(n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.数列的表示法解析式法、表格法、□4图象法.3.数列的单调性从第2项起，每一项都□5大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都□6小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，□7各项都相等的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的□8第n项a n与它的□9序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用□10一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n 项和公式如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的□11序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式.常用结论1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则通项公式为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.2.在数列{a n }中，若a n n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)，若a n n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)已知数列a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 5＝.猜想a n ＝.解析：∵a 1＝2，a n ＝2－1a n －1，∴a 2＝2－12＝32，a 3＝2－23＝43，a 4＝2－34＝54，a 5＝2－45＝65，故猜想a n ＝n ＋1n .答案：65n ＋1n(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝.解析：由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.答案：5n －4由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝5S n (n ≥1)，则a n ＝()A.5×6nB.5×6n ＋1，n ＝1，×6n －2，n ≥2，n ＝1，×6n －2＋1，n ≥2解析：C当n ＝1时，a 2＝5S 1＝5a 1＝5，当n ≥2时，a n ＝5S n －1，所以a n ＋1－a n ＝5(S n －S n －1)＝5a n ⇒a n ＋1＝6a n ，而a 2＝5a 1≠6a 1，所以数列{a n }从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以a n ，n ＝1，×6n －2，n ≥2.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋2－3，则a n ＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n ＝2n ＋2－3，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋2－3)－(2n ＋1－3)＝2n ＋1，当n ＝1时，有a 1＝S 1＝8－3＝5，不符合a n ＝2n ＋1，故a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.，n ＝1，n ＋1，n ≥2反思感悟已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.训练1(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ①，当n ＝1时，2a 1＝2，∴a 1＝1，当n ≥2时，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －1)·2n －1②，①－②得2n a n ＝n ·2n －(n －1)2n －1＝(n ＋1)2n －1(n ≥2)，∴a n ＝n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1满足上式，∴a n ＝n ＋12.答案：n ＋12(2)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n S n ＋1＝－a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n S n ＋1＝S n －S n ＋1，且S n ≠0，则1S n ＋1－1S n ＝1，因为a 1＝1，所以1S 1＝11，公差为1的等差数列，则1S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝1n ，a 10＝S 10－S 9＝110－19＝－190.答案：－190由数列的递推关系求通项公式累加法例2设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2).因为当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N *).答案：n 2＋n2(n ∈N *)累乘法例3已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝.解析：因为a n ＋1a n＝2n ，所以a na n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，…a 3a 2＝22，a 2a 1＝2(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 3a 2·a2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·2＝2（n －1）·n2＋1＝2n 2－n ＋22，当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝2n 2－n ＋22(n ∈N *).答案：2n 2－n ＋22(n ∈N *)反思感悟1.累加法：已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.2.累乘法：已知a 1，且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累乘法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a2a 1·a 1.训练2(1)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n ＝()A.4＋1n B.4－1nC.2＋1n D.2－1n解析：B因为a n＋1＝a n＋1n－1n＋1，所以a n＋1－a n＝1n－1n＋1，所以当n≥2时，a2－a1＝1－12，a3－a2＝12－13，…，a n－a n－1＝1n－1－1n(n≥2)，累加可得a n－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1 n (n≥2)，因为a1＝3，所以a n＝1－1n＋3＝4－1n(n≥2)，当n＝1时，a1＝3，满足上式，所以a n＝4－1n，故选B.(2)在数列{a n}中，已知a n＋1＝nn＋2a n(n∈N*)，且a1＝4，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：由a n＋1＝nn＋2a n，得a n＋1a n＝nn＋2故a2a1＝13，a3a2＝24，…，a na n－1＝n－1n＋1(n≥2)，以上式子累乘得，a na1＝13×24×…·n－3n－1·n－2n·n－1n＋1＝2n（n＋1）.因为a1＝4，所以a n＝8n（n＋1）(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以a n＝8n（n＋1）(n∈N*).答案：8n2＋n(n∈N*)数列的性质数列的单调性例4已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋k2n，若数列{a n}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：D因为a n＋1－a n＝3n＋3＋k2n＋1－3n＋k2n＝3－3n－k2n＋1，由数列{a n}为递减数列，知对任意n∈N*，a n＋1－a n＝3－3n－k2n＋1＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).数列的周期性例5(2024·哈尔滨质检)已知数列{a n}的前n项积为T n，a1＝2且a n＋1＝1－1 a n，则T2024＝.解析：∵a2＝1－1a1＝12，a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，…，∴数列{a n}是周期为3的数列.又a1a2a3＝2×12×(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024＝1×2×12＝1.答案：1数列的最值例6已知数列{a n}的通项公式为a n＝12n－15，其最大项和最小项的值分别为()A.1，－17B.0，－17C.1 7，－17D.1，－111解析：A因为n ∈N *，所以当1≤n ≤3时，a n ＝12n－15＜0，且单调递减；当n ≥4时，a n ＝12n －15＞0，且单调递减，所以最小项为a 3＝18－15＝－17，最大项为a 4＝116－15＝1.反思感悟1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或常数列.(2)用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与“1”的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.3.求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值.(2)n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项.训练3(1)如表，定义函数f (x )：x 12345f (x )54312对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝()A.1B.2C.5D.4解析：C由题意，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，所以a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，a 6＝f (a 5)＝f (4)＝1，a 7＝f (a 6)＝f (1)＝5，…，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2023＝a 2020＋3＝a 3＝5，故选C.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为.解析：a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21＞0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21＜0，且单调递减.因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，a 11＝3，a 10＝－1.答案：3，－1限时规范训练(四十)A 级基础落实练1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析：A ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）＞0，∴a n ＋1＞a n ，∴选A.2.已知数列a 1，a 2a 1，a3a 2，…，a n ＋1a n，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n }中的项的是()A.16B.128C.32D.64解析：D a n ＋1＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n＝1×21×22×…×2n ＝21＋2＋…＋n＝2n （n ＋1）2，当n ＝3时，a 4＝26＝64.3.(2024·莆田质检)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，若a 1＝1，且a n ＋1n ＋2，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，则解下6个环所需的最少移动次数为()A.13B.15C.16D.29解析：B∵a1＝1，a n＋1n＋2，n为奇数，a n－1，n为偶数，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝a3＋2＝7，a5＝2a4－1＝13，a6＝a5＋2＝15.4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为()A.760B.800C.840D.924解析：C由题意得，大衍数列的奇数项依次为12－12，32－12，52－12，…，易知大衍数列的第41项为412－12＝840.5.(多选)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋2)·(67)n，则下列说法正确的是()A.数列{a n}的最小项是a1B.数列{a n}的最大项是a4C.数列{a n}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{a n}递减解析：BCD假设第n项为{a n}n≥a n－1，n≥a n＋1，n＋2）·（67）n≥（n＋1）·（67）n－1，n＋2）·（67）n≥（n＋3）·（67）n＋1，≤5，≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{a n}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6574，当n≥5时，数列{a n}递减.6.(2023·珠海质检)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2且a n＋2＝a n＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前40项之和为()A.－170B.80C.60D.230解析：C由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.7.数列1，12，12，12，13，13，13，13，13，14，…的第2024项为()A.144B.145C.146D.12025解析：B 观察可知数列的构成规律为1个1，3个12，5个13，…，(2n －1)个1n，….注意到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，而442＝1936＜2024，452＝2025＞2024，由此知数列的第2024项为145.8.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝()A.9998B.2C.9950D.99100解析：C由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[(1－12)＋(12－13)＋…＋(199－1100)]＝2×(1－1100)＝9950.9.S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n＋1)＝n＋1，则数列{a n}的通项公式为.解析：由log2(S n＋1)＝n＋1，得S n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数列{a n}的通项公式为a n，n＝1，n，n≥2.答案：a n，n＝1，n，n≥210.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且满足2a n＋1＋S n＝2(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：因为2a n＋1＋S n＝2，①当n≥2时，2a n＋S n－1＝2，②由①式减②式得a n＋1＝12a n，又当n＝1时，2a2＋S1＝2，得a2＝12＝12a1，所以数列{a n}是以1为首项，公比为12的等比数列，a n＝12n－1.答案：1 2n－111.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且S n＝n＋23a n，则a na n－1的最大值为.解析：∵S n＝n＋23a n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋23a n－n＋13a n－1，可化为a na n－1＝n＋1n－1＝1＋2n－1，由函数y＝2x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，2n－1取得最大值2.∴a na n－1的最大值为3.答案：312.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{a n}中，a n＝[lg n]，记S n为数列{a n}的前n项和，则a2024＝；S2024＝.解析：∵a n ＝[lg n ]，∴当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0；当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1；当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2；当1000≤n ≤9999时，a n ＝[lg n ]＝3.∴a 2024＝[lg 2024]＝3，S 2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965.答案：34965B 级能力提升练13.(2024·绵阳模拟)若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n <462的最大正整数n 为()A.20 B.19C.21D.22解析：A ∵(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，∴当n ≥2时，a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2×31×42×53×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝2＝1×2，∴a n ＝n (n ＋1)，又a n <462，∴n (n ＋1)<462，解得－22<n <21，又n ∈N *，故所求n 的最大值为20.14.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，则a n 的最小值为()A.2－12B.2－10C.2－5D.2－6解析：D ∵a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，∴a n ≠0，a n ＋2a n ＋1＝4a n ＋1a n ，∴是首项为a 2a 1＝116，公比为4的等比数列，∴a n ＋1a n ＝116×4n －1＝4n －3.当n ≥2时，a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝4n －4×4n －5×…×4－2×1＝412(n －1)(n －6)，∵n ＝1时，412(n －1)(n －6)＝1＝a 1，∴a n ＝412(n －1)(n －6)＝412(n －72)2－258，n ∈N *，∴当n ＝3或n＝4时，a n取得最小值，最小值为4－3＝2－6.15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n33n，当a n 最大时，n＝.(33≈1.44)解析：设a n是数列{a n}n＋1≤a n，n－1≤a n，≤n33n，≤n33n，解得1 33－1≤n≤3333－1.因为33≈1.44，所以n的值为3.(也可以通过列举得出{a n}的最大项)答案：316.(2024·八省八校联考)数列{a n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列可表述为a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*).设该数列的前n项和为S n，记a2023＝m，则S2021＝.(用m表示)解析：由a n＝a n－1＋a n－2得a n＝a n＋2－a n＋1(n∈N*)，即S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝a3－a2＋a4－a3＋…＋a2023－a2022＝a2023－a2＝m－1.答案：m－1。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
数列的概念与简单表示教案
数列的概念与简单表示教案教案标题：数列的概念与简单表示教学目标：1. 理解数列的概念，能够准确描述数列的特点。
2. 能够使用递推公式和通项公式表示数列。
3. 能够通过观察数列的规律，预测数列的下一项。
教学重点：1. 数列的概念及其特点。
2. 递推公式和通项公式的使用。
3. 规律观察和预测。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 学生练习册或作业本。
3. 数列的例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数列的概念：通过展示一些实际生活中的数列，如等差数列或等比数列，激发学生对数列的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考：你认为什么是数列？数列有什么特点？二、概念讲解与示例分析（10分钟）1. 讲解数列的概念：数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
2. 分析数列的特点：数列中的每个数字称为数列的项，用an表示第n项。
数列中的相邻两项之间的差称为公差（对于等差数列）或公比（对于等比数列）。
3. 通过示例解释概念：展示几个常见的数列示例，如等差数列和等比数列，并解释其中的规律和特点。
三、递推公式与通项公式（15分钟）1. 引导学生思考：如何使用递推公式和通项公式表示数列？2. 讲解递推公式：对于等差数列，递推公式为an = a1 + (n-1)d；对于等比数列，递推公式为an = a1 * r^(n-1)。
3. 讲解通项公式：对于等差数列，通项公式为an = a1 + (n-1)d；对于等比数列，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
4. 通过示例演示递推公式和通项公式的使用。
四、规律观察和预测（15分钟）1. 引导学生观察数列的规律：通过给出一些数列示例，让学生观察数列中的规律和特点。
2. 练习预测数列的下一项：给出一些数列，让学生根据观察到的规律预测数列的下一项。
3. 检查学生的预测结果，让学生互相交流并讨论各自的观察和预测过程。
五、练习与巩固（10分钟）1. 发放练习册或作业本，让学生完成相关练习题。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。
1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。
1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。
1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。
1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。
1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。
1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。
第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。
2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。
2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。
2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。
2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。
2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。
2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。
第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。
3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。
3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。
3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。
3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。
3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。
3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。
第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。
4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。
《 数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案教学目标理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与na的关系.教学重、难点数列及其有关概念，通项公式及其应用.根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式；理解递推公式与通项公式的关系.教学过程一、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，……，如此下去，即得到1，12，14，18，……2. 生活中的三角形数、正方形数.二、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：①数列的概念：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.②数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.2. 教学数列的表示方法：①讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，…；1,3,6,10，…；1,4,9,16，…. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.3. 教学数列的递推公式：①数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n .②数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法.4. 例题讲解：例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①0.5，0.5，0.5，…②1，－1,1，－1，…（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、… 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？例2、已知数列{}n a 的首项1112,1(1)n n a a n a -==->，求出这个数列的第5项.（学生口答） 例3、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．（学生练→教师点评）思考题、已知数列{}n a 为3,7,11,15，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.4. 课堂小结数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征写出它的一个通项公式，即由递推公式可到通项公式，也可反过来，由数列的通项公式写出它的一个递推公式. 通项公式和递推公式都有可能不是唯一存在的.三、巩固练习：1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….2. 练习：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；(2)1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).。
数列的概念与简单表示法 优秀教学设计
数列的概念与简单表示法【教学目标】一、知识与技能：了解数列的意义，能由通项公式求项，并能判断某个数是否为数列中的项；理解数列与函数的关系，能识别不同的表示方法表示数列；能根据数列的前n 项和写出数列的通项公式二、过程与方法：培养特殊与一般，抽象与具体的思想方法三、情感态度和价值观：体会归纳推理灵活性与演绎推理的严密性【教学重点】数列的实质【教学难点】由数列的前n 项和求数列的通项【教学流程】一、举例：1．班级学生从小到大的学号2．公元后到今年的年份：1，2，3，……，20073．一尺之柱，日取其半，万事不竭：1，，，……，，……121412n 以上列举的例子都有哪些共同特征：（都是由数组成的，每个都有一定的次序）；我们将按照一定次序排列的一系列数，称一个数列，引入主题：每个都有一定的次序二、推进新课:1．数列的有关概念：按照一定次序排列的一系列数，称一个数列；其中的第几个数称这个数列的第几项2．象上面例子中的1．2项数为有限的数列称有穷数列，如3项数为无限的数列称无穷数列。
上面例子2有对应关系1 2 3 (2007)↓ ↓ ↓ ↓1， 2 ， 3，……………，20073．有对应关系1 2 3 ………………，n ，……↓ ↓ ↓ ↓1， ， ，…… …，，……1221212n 思考1：数列与函数有什么关系？一般的有： 1 2 3 ………………n(……)↓ ↓ ↓ ↓a 1， a 2， a 3，……………，a n ，(……)(在数列中，项数n 与项 之间存在着对应关系，如果把项数n 看作自变量，那么数列n a 可以看作正整数集 （或它的有限子集{1，2，3，……，n}）为定义域的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。
)思考2：数列如何表示？（数列既然是一种特殊的函数，函数的表示方法，相应的有数列的表示方法）函数与数列表示法对照表函数表示数列表示列表法列举法：a 1，a 2，a 3，……，a n ，……（注意与集合表示法的不同：不加大括号，而且次序不能随意颠倒，即数列具有有序性，集合没有有序性）图象法图象法（注意不连线，是一些离散的点）解析法如例子3，可以表示为数列{}，解析式称数列的通项公式；12n 12n 一般的，表示为数列{a n }，称通项公式法；注意前数列二字一般不省略思考3：数列的单调性如何规定？函数的单调性变形定义为：对任意d>0，对任意x ，若f(x+d)>0则f(x)在此区间上单调增；若f(x+d)<0则f(x)在此区间上单调减这样对于数列：对任意正整数n 及k ，若a n +k>a n ，则数列{a n }单调增；这里由于k 的任意性，及自变量范围在正整数范围内，可以化简为a n +1>a n 。
《数列的概念与简单表示法》 教学设计
《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解数列的概念，了解数列的分类。
（2）掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的任意一项。
（3）理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
2、过程与方法目标（1）通过对数列实例的观察、分析，培养学生的观察能力和归纳能力。
（2）通过对数列通项公式和递推公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生体会数列在实际生活中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
（2）培养学生勇于探索、创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点1、教学重点（1）数列的概念和通项公式。
（2）根据数列的通项公式和递推公式求数列的项。
2、教学难点（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
（2）理解数列的递推公式，并能运用递推公式求数列的项。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些生活中的数列实例，如银行存款利率、细胞分裂个数、堆放的钢管数量等，引导学生观察这些数据的排列规律，引出数列的概念。
2、讲授新课（1）数列的概念给出数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
强调数列中的数是有顺序的，相同的数在不同的位置表示不同的项。
（2）数列的分类①按照项数的多少，数列分为有穷数列和无穷数列。
有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的。
②按照项的变化趋势，数列分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
（3）数列的通项公式设数列{an}的第 n 项为 an，如果 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。
通过举例让学生理解通项公式的作用，能根据通项公式求出数列的任意一项。
（4）数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 an 与它的前一项 an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
举例说明数列的项与数列的关系。
1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。
举例说明如何用通项公式表示数列。
第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
强调通项公式中变量的含义和作用。
2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。
引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。
2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。
举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。
引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。
3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。
举例说明如何判断数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。
举例说明如何判断数列的周期性。
第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。
讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。
4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。
举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。
4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。
举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。
第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。
讲解数列的极限的定义和性质。
5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。
举例说明数列的极限在数学分析中的应用。
5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。
(完整版)《数列的概念与简单表示法》教案.doc
2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）一、教学目标（1）了解数列的概念通例，引入数列的概念，并理解数列的序性，感受数列是刻画自然律的数学模型。
同了解数列的几种分。
（2）体会数列之的量依关系，了解数列与函数之的关系。
二、教学重点与难点教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然律的数学模型。
教学难点：将数列作一种特殊函数去，了解数列与函数之的关系。
三、教学过程一、创设情境，实例引入1.斐波那契数列，《算全》中兔子繁殖的2.引学生察向日葵片，建自然象中体出的数的律。
：察向日葵花瓣，你会花瓣的排列有怎的律?2.早在春秋国期，惠施：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
上里面就含着数列的知和以后要学的极限思想，因此，我所研究数列非常重要。
今天我就来学数列的概念与表示法。
板：数列的概念与表示法二、新教学（一）引入1.古希腊达哥拉斯的学派的基本点：万物皆数。
他数是万物的本源，因此他曾在沙上研究数学，他在沙上画点或用小石子来表示数，比如他曾的三角形数。
：什么叫做三角形数？些数可以用中的三角形点来表示。
我看三角形数分是1，3，6，10⋯⋯ (板 )：似的他研究了正方形数，他分是1，4，9，16，25⋯⋯（板）（二）新教学一：那么在就大家循着古代数学家的足迹，一下几列数都有那哪些特点？我才个学派的最根本点是什么？万物皆数所以第一个特点是什么？都是一列数第二个特点呢？我看他的排列是不是乱排的，也就是几列数都研究的是数，同有律，那我把足两个性的一列数叫做数列。
按照一定序排列的一列数成数列。
：数列中的每一个数叫做个数列的。
数列中的每一都和它的序号有关，排在第一位的数称个数列的第 1 （或叫首），排在第二位的数称个数列的第 2 ......排在第 n 位的数称个数列的第 n .板 法： a1， a2，a3，...，an ， ... 那么 里的角 起到什么作用？代表着它的 数，也就是它在数列中的具体位置， 于任何数列都可以 表示，但如果 数 多， 表示又很麻 ，所以我 通常把数列 {an}例如：三角形构成的数列 {an} ：1，3，6， 10，15⋯⋯， a1=？a2=，a3=，a5，...活 一：分析下列5 个数列，按照适当的 准分 .1：可以 数列 行怎 的分 ？教 引 ：从数列的 的数量， 或者数列前后各 之 的大小关系等角度 , 你能体会以上 些数列之 的区 ?它 各有什么特点 ?：引 学生根据 数的多少和 数大小 行分 分 ，并 出定 。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列的概念和简单表示法是数学中重要的概念之一。
通过学习数列的概念和简单表示法，我们可以更好地理解数学中的序列和数的变化规律，并应用到解决实际问题中。
一、数列的概念1. 定义：数列是指由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
2. 表示方法：数列可以用各种方法进行表示，常用的有列表法和通项公式法。
- 列表法：将数列的每一项按照规律列成一个列表，例如：1, 3, 5, 7, 9, ...- 通项公式法：用一个公式表示数列的第n项，例如：an =2n - 1。
3. 数列的性质：数列可以有不同的性质，例如有界性、单调性、周期性等。
- 有界性：数列中的数有上下界，即存在最大值和最小值。
- 单调性：数列中的数可以是递增的，也可以是递减的。
- 周期性：数列的数按照一定规律重复出现。
二、数列的简单表示法1. 递推公式：递推公式是指用数列的前几项来表示数列的后续项的公式。
- 递推公式的一般形式为：an+1 = f(an)，其中f为确定的函数关系。
- 递推公式的例子：an+1 = an + 2，即后一项等于前一项加2。
2. 通项公式：通项公式是指用n来表示数列的第n项的公式。
- 对于等差数列，通项公式的一般形式为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
- 对于等比数列，通项公式的一般形式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
- 对于其他特殊数列，也可以通过观察规律，推导出通项公式。
三、教学设计建议1. 引导学生理解数列的概念：通过列举生活中的数列实例，如自然数序列、偶数序列等，引导学生理解数列的概念。
2. 举例说明不同数列的特点：通过具体的数列例子，如等差数列和等比数列，说明数列的有界性、单调性、周期性等特点。
3. 教授数列的表示方法：通过具体的数列例子，引导学生掌握列表法和通项公式法表示数列的方法。
数列的概念与简单表示教案
数列的概念与简单表示教案教案标题：数列的概念与简单表示教学目标：1. 了解数列的概念和基本特征；2. 能够通过简单的表示方法表达数列；3. 能够识别并分析数列中的规律。
教学重点：1. 数列的概念和基本特征；2. 数列的简单表示方法；3. 数列中的规律分析。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、教材、白板、彩色粉笔；2. 学生准备：教材、笔、笔记本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪或白板展示一些有规律的数字，例如：1, 3, 5, 7, 9；2. 引导学生思考这些数字之间是否存在某种规律，并让学生尝试猜测下一个数字是多少。
二、概念讲解（10分钟）1. 介绍数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数字；2. 解释数列中的基本特征：首项、公差、项数；3. 通过示例解释数列的表示方法，包括通项公式和递推公式。
三、示例分析（15分钟）1. 给出一个数列的示例，例如：2, 4, 6, 8, 10；2. 引导学生找出该数列的首项、公差，并利用递推公式推算下一个数字；3. 让学生尝试用通项公式表示该数列。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，题目包括找出数列的首项、公差，利用递推公式求下一个数字，以及用通项公式表示数列；2. 对学生的答案进行讲评，纠正他们可能存在的错误，并解释正确答案的推导过程。
五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考数列在实际生活中的应用，例如：等差数列在计算机存储空间的分配中的应用；2. 提供一些拓展题目，让学生进一步巩固数列的概念和表示方法。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结数列的概念和基本特征；2. 让学生思考本节课学到了什么，有哪些困惑或疑问；3. 解答学生的问题，并鼓励他们在课后进一步思考、复习和巩固所学内容。
教学延伸：1. 鼓励学生通过互动讨论、小组合作等方式，进一步探索数列的特性和应用；2. 提供更多的数列练习题，以加深学生对数列概念的理解和应用能力。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案一、教学目标知识与技能：1. 理解数列的概念，掌握数列的表示方法。
2. 学会用数列表示一些常见数列，并能运用数列的表示方法解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现数列的规律。
2. 培养学生运用数列表示数的能力，提高学生的数学思维能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生团队协作、交流分享的良好学习习惯。
二、教学重点与难点重点：1. 数列的概念及其表示方法。
2. 运用数列表示一些常见数列。
难点：1. 数列的规律的发现与运用。
2. 数列表示方法的灵活运用。
三、教学方法情境教学法、引导发现法、讨论法相结合。
四、教学准备教师准备数列的相关实例和练习题，制作PPT。
学生准备笔记本、笔。
五、教学过程1. 导入新课教师通过PPT展示一些生活中的数列实例，如阶梯价格、比赛排名等，引导学生观察并思考这些数列有什么共同特点。
2. 自主学习学生通过阅读教材，理解数列的概念，掌握数列的表示方法。
3. 课堂讲解教师讲解数列的概念，阐述数列的表示方法，并结合实例进行讲解。
4. 课堂练习5. 拓展提高教师出示一些数列题目，学生独立完成，并交流解题思路。
6. 课堂小结7. 课后作业教师布置相关数列的练习题，让学生巩固所学知识。
8. 教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到教学目标，学生是否掌握了数列的概念和表示方法。
9. 学生评价学生对自己的学习进行评价，看自己在数列学习方面的进步。
10. 教学改进教师根据教学反思和学生的评价，调整教学方法，为下次教学做好准备。
六、教学内容与要求教学内容：1. 数列的通项公式及其应用。
2. 等差数列与等比数列的概念及其性质。
教学要求：1. 学生能理解数列的通项公式的含义，并能运用通项公式解决实际问题。
2. 学生能掌握等差数列和等比数列的概念及其性质，并能运用这些性质解决相关问题。
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2.1.1 数列的概念与简单表示法（第一课时）
一、教学目标
（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画
自然规律的数学模型。
同时了解数列的几种分类。
（2）体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点
教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、?
四、教学过程
一、创设情境，实例引入
1.斐波那契数列，《算盘全书》中兔子繁殖的问题
2.引导学生观察向日葵图片，建自然现象中体现出的数的规律。
师：观察向日葵花瓣，你会发现花瓣的排列有怎样的规律?
2.早在春秋战国时期，惠施说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
实际上这里面就蕴含着数列的知识和以后要学习的极限思想，因此，我们所研究数列非常重要。
今天我们就来学习数列的概念与简单表示法。
板书课题：数列的概念与简单表示法
二、|
三、新课教学
（一）引入
1.古希腊毕达哥拉斯的学派的基本观点：万物皆数。
他们认为数是万物的本源，因此他们曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如他们曾经过的三角形数。
师：什么叫做三角形数？这些数可以用图中的三角形点阵来表示。
我们看三角形数分别是1，3，6，10……(板书)
师：类似的他们还研究了正方形数，他们分别是1，4，9，16，25……（板书）
（二）新课教学
问题一：那么现在就请大家循着古代数学家的足迹，归纳一下这几列数都有那哪些特点？
~
我们刚才说这个学派的最根本观点是什么？万物皆数
所以第一个特点是什么？都是一列数
第二个特点呢？我们看他的排列是不是乱排的，
也就是说这几列数都研究的是数，同时有规律，那我们把满足这两个性质的一列数叫做数列。
按照一定顺序排列的一列数成为数列。
师：数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项......排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.
板书记法：a1，a2，a3，...，an ，...
，
那么这里的角标起到什么作用？
代表着它的项数，也就是它在数列中的具体位置，对于任何数列都可以这样表示，但如果项数过多，这样表示又很麻烦，所以我们通常把数列简记为{an}
例如：三角形构成的数列{an}：1，3，6，10，15……，a1=？a2=，a3=，a5，...
活动一：分析下列5个数列，按照适当的标准分类.
问题1：可以对数列进行怎样的分类？
教师引导：从数列的项的数量，或者数列前后各项之间的大小关系等角度,你能体会以上这些数列之间的区别吗?它们各有什么特点?
·
师：引导学生根据项数的多少和项数大小进行分类分类，并给出定义。
师：提问学生对每个数列进行分类
活动二：分析下列两个数列的项与序号之间的关系
师：引导学生分析这两个数列，联想以前学过的知识，从函数的角度分析数列.
生：分析并联想到函数，并从函数的角度分析数列，并找到相对应的函数，求出其定义域。
应的一列函数值的顺序依次取值时所对当自变量按照从小到大为定义域的函数，，，或它的有限子集数列可以看成以)()}2{1(*n f a n N n 想一想：数列2，5，8，11，14与数列2，5，8，11，14……有何不同？
~
思考：你能用一个项n a与序号n的式子来表示数列2，5，8，11，14……吗？
师：强调有限子集必须从1开始，并重复说明函数角度下的数列定义.分析an=f(n)可以表示数列中的每一项，引出通项公式的概念，并让学生总结概念.
师：总结并给出通项公式的概念：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
从集合、对应的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{}n,
,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
问题：数列作为一种特殊的函数，也可以用列表法和图象法表示，你能把上面的这个数列用这两种方法表示出来吗？
（三）例题讲解
1.（1）数列：1，1，2，2，3，3，4，4，…
（2）数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1
、
将以上几列数用集合如何表示？请写出相应的集合。
观察集合中的元素和原来数列中数有什么差别。
经过以上问题可得出集合和数列的区别是：
第一，集合的对象可以是任意的东西。
如全体中华人民共和国的公民组成一个集合，某农场全部拖拉机组成一个集合，所有的化学元素组成一个集合，等等。
而数列的对象都是数，组成数列各项的元素只能是数，而不能是其他的对象。
第二，集合里的元素不能重复，而数列中的数是可以重复的。
如数列：
1，1，2，2，3，3，4，4，…
是按照自然数列的规律，连续重复一次排列而成的，但是若把这个数列的各项看成是一个集合的元素，那么这个数列只能写成
｛1，2，3，4，…｝，而不能写成｛1，1，2，2，3，3，4，4，…｝。
、
第三，集合中的元素是不考虑顺序的，而数列中各数的顺序是十分重要的。
例如：数列1，2，3，4 与数列 4，3，2，1
是两个不同的数列。
可是集合｛1，2，3，4｝与集合｛4，3，2，1｝则被认为是相同的。
教师引导学生讨论得出:
（1）数列{}n a中是一列数，而集合中的元素不一定是数；
（2）数列{}n a中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有顺序（无序性）；
（3）数列{}n a中的数可以重复，而集合中的元素不能重复（互异性）。
【设计意图】：加深对数列概念的理解，分清集合和数列的区别。
~
例3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.
（1）
111
1,,,
234
--
（2）2，0，2，0
师点评：(1)并不是所有数列都能写出通项公式
（2）一个数列的通项公式不是唯一的
（3）数列通项公式的作用：求数列中的任意一项；检验某书是否是该数列中的一项
（四）】
（五）课堂小结
我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，是定义在正整数列集（或其有限子集）上的函数。
数列的两种分类。
另外，我们发现数列实质上是一种特殊的函数。
点明本节课的重点是数列及其通项公式，数列是一种特殊的函数。
（六）作业布置
（1）阅读课本P32－P36
（2）书面作业：课本P38 习题2.1 A组 2、3、4
（3）课外阅读(选做)阅读课本P37-P38----斐波那契数列。