2020年八年级数学上册第十三章解题技巧专题：巧用等腰三角形构造全等三角形解题

∴∠4＝ 1 ∠ABC＝45°， 2
BD＝AD＝CD＝ 1 AC，DB⊥AC. 2
∴∠A＝∠4，∠ADB＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°. ∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°. ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3.
在△ADE 和△BDF 中，
∠A＝∠4，
AD＝BD，
∠1 ∠3，
∴△ADE≌△BDF(ASA)．
∴BC＝DC. ∵∠ACB＝∠FCD， ∴△ABC≌△FDC(SAS)． ∴∠B＝∠FDC，DF＝BA. 又∵BA＝BD，AD 是△ABE 的中线， ∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE. ∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝∠FDC＋∠BDA＝ ∠ADF.
∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF(SAS)． ∴AE＝AF＝2AC.
∴AE＝BF.
∵AB＝7，∴BC＝7.
∵BF＝BC－FC＝4，∴AE＝4.
பைடு நூலகம்
3．(2019－2020·武冈市期中)如图，AC 是△ABD 的 中线，AD 是△ABE 的中线，BA＝BD.求证：AE＝
2AC. 证明：延长 AC 到点 F，使 AC＝ CF，连接 DF，如图所示． ∵AC 是△ABD 的中线，
BO CM，
AB
BC，
∴Rt△AOB≌Rt△BMC(HL)．
∴AO＝BM＝4.
∴A(－4，0)．
∴∠E＝∠ANB＝90°.
在△ABN 与△BAE 中， ANB E， ABN BAE， AB BA， ∴△ABN≌△BAE(AAS)．
∴AE＝BN. ∴BC＝2BN＝2AE.
2．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90°， D 为 AC 边上的中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F.若 AB＝7，FC＝3，求 AE 的长． 解：如图，连接 BD. ∵∠ABC＝90°，AB＝CB， ∴∠A＝∠C＝45°. ∵D 为 AC 边上的中点，
4．如图，过等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE ⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，且 PA＝CQ， 连接 PQ 交 AC 边于 D. (1)求证：PD＝DQ； 思路分析：
(1)证明：如图，过 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F， ∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD. ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°. ∴∠AFP＝60°. ∴△APF 是等边三角形． ∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ. ∴△PFD≌△QCD(ASA)．∴PD＝DQ.
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1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点， AD＝BD，BE⊥AD 于点 E.求证：BC＝2AE. 证明：如图，过 A 作 AN⊥BC 于 N，则 BN＝CN. ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA. ∵BE⊥AD，
(2)若△ABC 的边长为 1，求 DE 的长．
(2)解：∵△APF 是等边三角形，PE⊥AC，
∴AE＝EF＝ 1 AF. 2
由(1)知△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF＝ 1 CF. 2
∴DE＝EF＋DF＝ 1 (AF＋CF)＝ 1 AC.
2
2
又∵AC＝1， ∴DE＝ 1 .
2
5．如图，在△ABC 中，AB＝BC，AB⊥BC，B(0， 2)，C(2，－2)，求点 A 的坐标． 解：如图，作 CM⊥y 轴于 M. ∵B(0，2)，C(2，－2)， ∴CM＝BO＝2. 在 Rt△AOB 和 Rt△BMC 中，