量子力学习题解答-第2章
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（b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）：
能量本征函数和能量本征值为
其中 厄米多项式，可由母函数 生成
厄米多项式多项式满足递推关系
定义产生算符 与湮灭算符
则有
当处于能量本征态时
（c）一维自由粒子（连续谱，散射态）：
定态薛定谔方程为
能量本征函数和本征值为பைடு நூலகம்
能量本征函数满足 函数正交归一性
定态波函数为
定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（ ）或向左传播的正弦波（ ），波的传播速度(相速度)为
第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要：
1.定态薛定谔方程与定态的性质：
在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）
求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数 具有正交归一性（分立谱）
或 函数正交归一性（连续谱）
由能量本征函数 可以得到定态波函数
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值 ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
系数 由初始波函数确定
散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为
尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。由波函数及其导数在 连续和跃变条件，可以得出反射波振幅 ，透射波振幅 与入射波振幅 的关系（设 ，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度 ，投射波几率流密度 ，入射波几率流密度 ，可以得到反射系数 和透射系数 。由几率流密度定义
显然满足Ehrenfest’s定理
如果用 替代 ，则有
其中 ，重复上面的计算，有
显然此时， 仍然满足（也必须满足）。
讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有 态时，必须还有 态， 才会以 的形式震荡。
（d）测量能量得到 的几率是 ，得到 的几率是 。
习题2.14
解：本题其实就是以经典频率为 的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为
尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数 由初始波包 决定
由能量本征函数满足 函数正交归一性
波包在空间的传播速度称为群速度
（d）一维 函数势阱：
函数的性质为
在 处由于 函数势的存在，波函数的导数出现跃变
（如果是 函数势，上式中做 代换）
束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
习题２.８
解：（a）初始波函数为
归一化
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
所以测量能量得到基态 的几率为
*习题2.12
解：由
，
习题2.13
解：（a）归一化
所以
（b）
其中 是谐振子基态和第一激发态的能量。
（c）
利用
，
，
或者
由Ehrenfest’s定理
代入谐振子势能 ，及 ，有
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）
能量本征函数和能量本征值为
若
则能量本征函数和能量本征值为
是基态（能量最低）， 是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的： 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，依次类推。
（三维情况为 ）
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
由于本征函数的正交性,结果为零。但是对 算苻,干涉项一般不为零( 与 , 与 一般不会正交)
*习题2..7
解：（a） 的图形为
归一化波函数
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
利用积分公式
可以求出
所以
（ｃ）测量能量得到结果为 的几率是
（d）
其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）
*习题2.5
解：
(a)利用哈密顿本征函数的正交归一性
所以
(b)
代入
并令
(c) 时
完成积分得到
(以 为中心的振荡)
（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系
（e）
对 测量能量，得到 的几率为1/2,得到 的几率为1/2.，这个几率同 时刻是一样的，也就是说 不随时间变化，这是能量守恒的体现。
为什么 会随时间变化,而 不随时间变化?因为 是哈密顿算苻的本征函数, ,干涉项
我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设 是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有
在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能 ，所以总能 势能 势能最小值。如果总能 势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果 ，则意味着动能的期待值为负值，或 的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。
能量本征函数和能量本征值为
其中 厄米多项式，可由母函数 生成
厄米多项式多项式满足递推关系
定义产生算符 与湮灭算符
则有
当处于能量本征态时
（c）一维自由粒子（连续谱，散射态）：
定态薛定谔方程为
能量本征函数和本征值为பைடு நூலகம்
能量本征函数满足 函数正交归一性
定态波函数为
定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（ ）或向左传播的正弦波（ ），波的传播速度(相速度)为
第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要：
1.定态薛定谔方程与定态的性质：
在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）
求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数 具有正交归一性（分立谱）
或 函数正交归一性（连续谱）
由能量本征函数 可以得到定态波函数
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值 ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
系数 由初始波函数确定
散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为
尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。由波函数及其导数在 连续和跃变条件，可以得出反射波振幅 ，透射波振幅 与入射波振幅 的关系（设 ，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度 ，投射波几率流密度 ，入射波几率流密度 ，可以得到反射系数 和透射系数 。由几率流密度定义
显然满足Ehrenfest’s定理
如果用 替代 ，则有
其中 ，重复上面的计算，有
显然此时， 仍然满足（也必须满足）。
讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有 态时，必须还有 态， 才会以 的形式震荡。
（d）测量能量得到 的几率是 ，得到 的几率是 。
习题2.14
解：本题其实就是以经典频率为 的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为
尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数 由初始波包 决定
由能量本征函数满足 函数正交归一性
波包在空间的传播速度称为群速度
（d）一维 函数势阱：
函数的性质为
在 处由于 函数势的存在，波函数的导数出现跃变
（如果是 函数势，上式中做 代换）
束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
习题２.８
解：（a）初始波函数为
归一化
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
所以测量能量得到基态 的几率为
*习题2.12
解：由
，
习题2.13
解：（a）归一化
所以
（b）
其中 是谐振子基态和第一激发态的能量。
（c）
利用
，
，
或者
由Ehrenfest’s定理
代入谐振子势能 ，及 ，有
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）
能量本征函数和能量本征值为
若
则能量本征函数和能量本征值为
是基态（能量最低）， 是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的： 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，依次类推。
（三维情况为 ）
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
由于本征函数的正交性,结果为零。但是对 算苻,干涉项一般不为零( 与 , 与 一般不会正交)
*习题2..7
解：（a） 的图形为
归一化波函数
所以
（b）一维无限深势阱的定态波函数为
把初始波函数用定态展开
其中展开系数为
利用积分公式
可以求出
所以
（ｃ）测量能量得到结果为 的几率是
（d）
其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）
*习题2.5
解：
(a)利用哈密顿本征函数的正交归一性
所以
(b)
代入
并令
(c) 时
完成积分得到
(以 为中心的振荡)
（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系
（e）
对 测量能量，得到 的几率为1/2,得到 的几率为1/2.，这个几率同 时刻是一样的，也就是说 不随时间变化，这是能量守恒的体现。
为什么 会随时间变化,而 不随时间变化?因为 是哈密顿算苻的本征函数, ,干涉项
我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设 是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有
在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能 ，所以总能 势能 势能最小值。如果总能 势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果 ，则意味着动能的期待值为负值，或 的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。