组合与组合数(共47张PPT)
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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
高中数学选择性必修三 6 2 3- 6 2 4 组合与组合数 (课件)
3
161700 (种)；
组合数，∴共有 C100
1
（2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 2 种，
2
从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C98
种，
1
2
因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C2 C98 9506 (种).
（3）抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，
共有C95 + C31 C94 + C32 C93 =756(种)不同的选法.
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人全
5
参加的有C92 种选法,所以共有C12
− C92 =756(种)不同的选法.
当堂达标
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有(
问题探究
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题
与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上
午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两
名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、
概念辨析
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是
排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
典例解析
例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
161700 (种)；
组合数，∴共有 C100
1
（2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C 2 种，
2
从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C98
种，
1
2
因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C2 C98 9506 (种).
（3）抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，
共有C95 + C31 C94 + C32 C93 =756(种)不同的选法.
5
(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C12
种,甲、乙、丙三人全
5
参加的有C92 种选法,所以共有C12
− C92 =756(种)不同的选法.
当堂达标
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有(
问题探究
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题
与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上
午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两
名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、
概念辨析
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是
排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
典例解析
例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
组合与组合数ppt课件(自制)
组合数定义： 从n个不同的元素中取出m
（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数.用符号 C m 表示。 n
判断下列各事件是排列还是组合问题，并用 相应的排列数和组合数表示。
(1)10个人相互各写一封信,共写多少封信?
(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次 电话?
由乘法原理,有C
3 4
A33
种方法.
另解:由题意,从4个元素中取出3个,有A
3 4
种方
法.
C43A33 A43
C
3 4
A
3 4
A
3 3
阅读P27
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n个不同元素中取出m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出m个元素
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数.用符号 C m 表示。 n
判断下列各事件是排列还是组合问题，并用 相应的排列数和组合数表示。
(1)10个人相互各写一封信,共写多少封信?
(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次 电话?
由乘法原理,有C
3 4
A33
种方法.
另解:由题意,从4个元素中取出3个,有A
3 4
种方
法.
C43A33 A43
C
3 4
A
3 4
A
3 3
阅读P27
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n个不同元素中取出m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出m个元素
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
对外汉语+预科数学+8.3 组合和组合数PPT
根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的
选法．
(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选
2 名的选法有 C42种，根据分步乘法计数原理，共有 C26×C24＝
6×5 4×3
×
＝90 种不同的选法．
2×1 2×1
26
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二
多少种？
3. 现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，
有多少种不同的选法？
25
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝
10×9
＝45.
2×1
(2)可把问题分两类情况：
第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法；
第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法．
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
4
Hale Waihona Puke 排列与组
合
1. 从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合。
2. 已知3个元素1 , 2 , 3 ,写出每次取出两个元素
的所组成的两位数。
5
• 十个人相互通了一封信,共有多少封信?
• 十个人相互通了一次电话,共打了多少个电话?
5
22
8×7×6 100×99
3
2
解：(1)原式＝C8＋C100×1＝
＋
＝56＋4
3×2×1
2×1
950
＝5 006.
C5n－1
19
14 3
5
(2)原方程可变形为 3 ＋1＝ ，Cn－1＝ Cn－3，
选法．
(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选
2 名的选法有 C42种，根据分步乘法计数原理，共有 C26×C24＝
6×5 4×3
×
＝90 种不同的选法．
2×1 2×1
26
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二
多少种？
3. 现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，
有多少种不同的选法？
25
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝
10×9
＝45.
2×1
(2)可把问题分两类情况：
第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法；
第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法．
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
4
Hale Waihona Puke 排列与组
合
1. 从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的
所有组合。
2. 已知3个元素1 , 2 , 3 ,写出每次取出两个元素
的所组成的两位数。
5
• 十个人相互通了一封信,共有多少封信?
• 十个人相互通了一次电话,共打了多少个电话?
5
22
8×7×6 100×99
3
2
解：(1)原式＝C8＋C100×1＝
＋
＝56＋4
3×2×1
2×1
950
＝5 006.
C5n－1
19
14 3
5
(2)原方程可变形为 3 ＋1＝ ，Cn－1＝ Cn－3，
组合及组合数的计算PPT课件
190
性质2
Cm n1
Cnm
C m1 n
mn
性质2反映出组合数公式中m与n之间存在的联系.
课后练习3.1.2
1、计算下列各数
(1) C72 __________;
(2) C54 __________;
(3) C83 __________;
(4)
C10 12
__________;
例 圆周上有10个点，以任意三点为顶点画圆内接三角形，一共可以 画多少个？
分析：因为只要选出三个点，三角形元素的组合数.
解：可以画出的圆内接三角形个数为
C130
P130 3!
10 98 3 21
120
即可以画出120个圆内接三角形.
练习
6个朋友聚会，每两人握手一次，这次聚会他们一共握手多少次？ 从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的积？ 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 现有3张参观券，要在5人中选出3人去参观，共有多少种不同的选法？
(4)
C10 11
__________;
C44
P44 P44
1
说明：
（1）Cnn 1 （2）Cn0 1
组合数的性质
性质1
Cnm
C nm n
mn
利用这个性质，当
m
n 2
时，可以通过计算比较简单Cnnm 的得到的 Cnm
值，
如
C18 20
C18 20
C 2018 20
C220
20 19 2!
3.1.2 组合
问题
在北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，有多少种不同 的飞机票价（假设两地之间的往返票价是相同的）？
组合与组合数公式PPT教学课件
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，
共需握手多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
用紫砂壶泡茶不走味，盛暑越宿不易馊，使用时间越，器身 色泽越发光润，泡出的茶也更为醇郁芳香，“首世间茶具此 为”这是人们对它的高度评价。 紫砂花盆清丽雅致，栽花 置景具有朴质浑厚的韵味，紫砂盆有瓷器彩绘般的华丽雕刻 装饰，又有似瓦盆那样的吸水透气性能，因而用紫砂盆养花 植木有助于根须生长，有“不烂根、易生发、花时长、落叶 迟”之优点，以其布置厅堂、居令人心怡神宁。 紫砂雕塑， 陈设品具有一定的艺术价值和收藏价值。紫砂陶刻装饰集文 学、书画、诗歌、金石、 篆刻于一体，以刀代笔，有传统的 镌刻模印浮雕、印花等手法，画面构思新颖，题材广泛，清 雅潇洒，别具一格。
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
组合与组合数公式 课件
[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初 试，学校要从中选出 5 人去参加市级培训，在下列条件中， 有多少种不同的选法？
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加．
[解] (1)C512＝792 种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人， 共有 C29＝36 种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人， 共有 C59＝126 种不同的选法．
[解] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列 问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种 票价，故是组合问题． (3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中取出 3 种，按一定次 序分给 3 个人去干，故是排列问题． (4)因为 3 本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需 考虑他们的顺序，故是组合问题．
组合的概念 [典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中含有 3 个 元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？ 多少种票价？ (3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种 分配方法？
表示法CΒιβλιοθήκη _mn_组合数 公式性质 备注
乘积式
Cmn ＝AAmnmm
＝
nn－1n－2…n－m＋1 m！
阶乘式
n！ Cmn ＝ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ，Cmn＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加．
[解] (1)C512＝792 种不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中选 2 人， 共有 C29＝36 种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中选 5 人， 共有 C59＝126 种不同的选法．
[解] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题． (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列 问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种 票价，故是组合问题． (3)因为分工方法是从 5 种不同的工作中取出 3 种，按一定次 序分给 3 个人去干，故是排列问题． (4)因为 3 本书是相同的，无论把 3 本书分给哪三人，都不需 考虑他们的顺序，故是组合问题．
组合的概念 [典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合 A＝{a，b，c，d，e}，则集合 A 的子集中含有 3 个 元素的有多少个？ (2)某铁路线上有 5 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？ 多少种票价？ (3)3 人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得 1 本，有几种 分配方法？
表示法CΒιβλιοθήκη _mn_组合数 公式性质 备注
乘积式
Cmn ＝AAmnmm
＝
nn－1n－2…n－m＋1 m！
阶乘式
n！ Cmn ＝ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ，Cmn＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合与组合数的计算 PPT
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
导入公式
A 求 求3P可 34 可分 分两 两步 考 步虑 考： 虑 ： 4
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
3
C A 从 而
3 4
练习2: 1. 从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 ___
种不同的选法.
C
2 6
15
种不同的选法.
2. 将4位同学平均分成两组去参加座谈会，有 ___ 种不同的选法.
3. 将6本书平均分成三堆，有 ___ 种不同的选 法.
4. 将6本分成1,1,4三堆，有 ___ 种不同的选法.
Tankertanker Design
结束
巩固练习
练习1: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，
通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
巩固练习
已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 共有6个组合.
导入公式
A 求 求3P可 34 可分 分两 两步 考 步虑 考： 虑 ： 4
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
3
C A 从 而
3 4
练习2: 1. 从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 ___
种不同的选法.
C
2 6
15
种不同的选法.
2. 将4位同学平均分成两组去参加座谈会，有 ___ 种不同的选法.
3. 将6本书平均分成三堆，有 ___ 种不同的选 法.
4. 将6本分成1,1,4三堆，有 ___ 种不同的选法.
Tankertanker Design
结束
巩固练习
练习1: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，
通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况.
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
巩固练习
已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 共有6个组合.
新教材选择性必修二7.3第1课时组合与组合数组合数的性质课件(35张)
B．C11000
C．C9919
D．C91200
【解析】选B.由运算性质得：C9909 ＋C8999 ＝C91000 ＝C11000 .
4．观察下列各式： C01 ＝40； C03 ＋C31 ＝41； C05 ＋C51 ＋C52 ＝42； C07 ＋C71 ＋C72 ＋C37 ＝43； …… 照此规律，当n∈N*时， C02n－1 ＋C21n－1 ＋C22n－1 ＋…＋Cn2－ n－11 ＝________．
3．C03 ＋C41 ＋C52 ＋C36 ＋…＋C1270 的值为(
)
A．C321
B．C230
C．C420
D．C241
【解析】选D.原式＝(C40 ＋C14 )＋C25 ＋C63 ＋…＋C1270
＝(C51 ＋C25 )＋C36 ＋…＋C1270 ＝(C62 ＋C63 )＋…＋C1270 ＝C1271 ＝C421 .
（x＋3）！ （x＋3）！
所以
＝
，
5！（x－2）！
10·x！
所以
1
＝
1
，
120（x－2）！ 10·x（x－1）·（x－2）！
所以x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3，
经检验：x＝4是原方程的解．
4．已知平面内A，B，C，D，E，F这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个 点为顶点的所有三角形的个数为( ) A．3 B．20 C．12 D．24 【解析】选B.C63 ＝63××52××41 ＝20.
5．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A130 种
B．C310 种
C．C130 A310 种
5－n≥0， n∈N*，
当n＝5时，原式＝C50 ＋C64 ＝16.
组合与组合数公式最新版ppt课件
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
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acd cad adc cda
3.1.3 组合与组合数 教学课件(共47张PPT) 高中数学人教B版(2019)选择性必修第二册
(种)方法，
故将5人分成3组，每组至少有1人，有15+10=25(种)分组方法. ②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有 25A3=150 (种) .
7. (多选)将9个相同的小球分给甲、乙等4个人，则 A.不同的分配方法共有220种 B.若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有56种 C.若每人至少分到2个小球，则不同的分配方法共有10种
解 ：安排方法可以分成两类：选出的4人中有 A 和没有 A.
有 A 的安排方法可以分成两步完成：第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选
择一个给 A ,共 C3 种方法；第二步，在B,C,D,E,F
这5人中选出3人
安排在其他3个岗位上，共 A3 种方法.所以此类安排方法共有 C3 A3种 .
没有 A 的安排方法共有 As 种 .
10.从2,3,4,5,6,7中任取3个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要
求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为
(用数字作答)
中
解 析 ：先从6个数中任取3个数，有C6=20 (种)选法，再把3个数里最大的 数排在个位，有1种排法，把最小的数排在百位，有1种排法，剩下的数排在十 位，有1种排法.因此，这样的三位数共有20×1×1×1=20(个).
考虑到从 n 个不同对象中取出m 个做排列，可以分成两个步骤来完成：第一 步，从n 个不同对象中取出 m 个，有 Cm 种选法；第二步，将选出的 m 个对象 做全排列，有 Am 种排法. 由分步乘法计数原理有 Am=Cm Am ,所 以
.上述公式称为组合数公式.
中
由组合数公式，分别取 m=0,m=1,m=n,
一般地，有
,
,
因此 Cm=Cn-m
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C 1300
100 99 32
98
161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
1 2
C
ห้องสมุดไป่ตู้
2 98
9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
(3)只有2件正品； (4)至少有1件次品； (5)至多有2件次品； (6)次品最多.
（1）C1500
（2）C957 （3）C927 C33
（4）C947
C31
C937
C32
C927
C33
，或
C5 100
C957
（5）C957 C30 C947 C31 C937 C32 （6）C927 C33
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
C
4 8
种，
其中共面的有6个面和6个对角面，
∴ 共有 C84 12 58（种）
5 “名额分配”问题： 例1．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,
每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？ 解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个， 则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法. 第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数 第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名
5．分清排列、组合、等分的算法区别
（1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件, 乙二件和丙三件,有多少种分法?
（2）今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人, 其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
（3）今有10件不同奖品, 从中 选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?
排列与组合的综合问题
C
3 7
35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
例1．计算：（1）C
4 7
C74
765 4!
4
35
2、课本 P15练习2
3、课本 P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质 性质1：
性质2：
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中 以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一 个足球队的上场队员是11人.问:
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120
10 9 2
45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8
56
或
C
3 8
C
2 7
C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C72 21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
选三个数相加有 选四个数相加有 但 1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．
（个）．
例4 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？ 解法一： 上三下一
下三上一
上二下二
其中共面的有４个侧面和6个对角面，
∴共有
2C
3 4
C41
C42
C42
4
6
58
解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有
与解法一相比，挡板法比较简捷， 但不如解法一易于理解． 实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法
例2．已知方程 x y z 5，求 ⑴有多少组正整数解？ ⑵有多少组非负整数解？
解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种 数就等于方程解的个数．故有
解：此问题则可以解释为：先将 x, y, z
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本
C 41
C42
C43
C
4 4
15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C
3 6
C
2 4
C
1 3
360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 Anm 排法.
Anm
C
m n
Amm
Cnm
Anm Amm
组合数公式
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2n m 1
m!
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm
n
n!
m!
规定：Cn0 =1
C
m n
n!
m!n
m !
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a管是顺不序同并的成排一列组，”但；是相同的组合
例1: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门 不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生．
＝5400种
(2)某女生一定要担任语文科代表．
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．
每一个均加1，然后再均减1．则可以将原来的问
题理解为：求 x y z 8
的正整数解个数，同（1），则
方法回顾 1．注意区别“恰好”与“至少”
例 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有多少种．
2．特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不 停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同 的停放方法有种．
3．“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、 乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种．
5 “分组”问题： 例1 有6本不同的书 （1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ （2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？ （3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种
解题思路：
解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分 步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂 的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方 法：
1 特殊(元素,位置)优先法: 2 科学分类法：
3 插空法：
4 捆绑法：
5 “分组”问题：
6 隔板处理
1 特殊(元素,位置)优先法:
对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们 可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位 置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有Cnm 种不同的取法;
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员 上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异 (2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
第2步,从上场的11人中选1名守门员
共有
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?