高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的概念

函数的概念【知识梳理】

1．函数的有关概念

函数的概念设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y＝f(x)，x∈A

定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域

2．区间的概念及表示

定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|a

{x|a≤x

{x|a

{x|x≥a}半开半闭区间[a，＋∞)

{x|x>a} 开区间(a，＋∞)

{x|x≤a}半开半闭区间(－∞，a]

{x|x

R 开区间(－∞，＋∞)

【常考题型】

题型一、函数的判断

【例1】(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x|＋1； ③h ：把x 对应到1

x

；

④r ：把x 对应到x.

(1)[解析] ①中，因为在集合M 中当1

[答案] B

(2)[解] ①是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如x ＝－1，则3x ＋1＝－2与之对应．

同理，②也是实数集R 上的一个函数．

③不是实数集R 上的函数．因为当x ＝0时，1

x 的值不存在．

④不是实数集R 上的函数．因为当x<0时，x 的值不存在． 【类题通法】

1．判断所给对应是否为函数的方法 (1)首先观察两个数集A ，B 是否非空；

(2)其次验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性，即不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应x.

2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l ； (2)在定义域内平行移动直线l ；

(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

【对点训练】

下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2

＋y 2

＝1

B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：

C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x→y＝

1x －2

D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x→y＝2x －1

解析：选B A 错误，x 2

＋y 2

＝1可化为y ＝±1－x 2

，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.

题型二、求函数的定义域

【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝

x ＋1

2

x ＋1

－1－x ；(2)y ＝5－x

|x|－3

.

[解] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＋1≠0，

1－x≥0.

解得x≤1且x≠－1，

即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨

⎪

⎧

5－x≥0，|x|－3≠0，

解得x≤5且x≠±3，

即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． 【类题通法】

求函数的定义域应关注四点

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0

要求x≠0.

(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

【对点训练】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3

x －2；

(2)y ＝3－x ·x －1；

(3)y ＝(x －1)0

＋

2x ＋1

. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x≠2时，函数y ＝2＋3

x －2

有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨

⎪

⎧

3－x≥0，x －1≥0.

解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为

{x|1≤x≤3}．

(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧

x －1≠0，2

x ＋1≥0，x ＋1≠0.

解得x>－1，且x≠1，

所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.

题型三、求函数值和值域

【例3】 已知f(x)＝11＋x (x ∈R ，且x≠－1)，g(x)＝x 2

＋2(x ∈R)．

(1)求f(2)、g(2)的值； (2)求f[g(2)]的值； (1)求f(x)、g(x)的值域； [解] (1)∵f(x)＝1

1＋x ，

∴f(2)＝11＋2＝1

3；

又∵g(x)＝x 2

＋2， ∴g(2)＝22

＋2＝6. (2)f[g(2)]＝f(6)＝

11＋6＝17

. (3)f(x)＝1

x ＋1的定义域为{x|x≠－1}，

∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g(x)＝x 2

＋2的定义域为R ，最小值为2， ∴值域是[2，＋∞)． 【类题通法】