不等式知识点归纳大全

《不等式》知识点归纳

一.（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不

等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值

（2）解分式不等式f（x）A a（a H O \的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，X g（x ） 1 丿- 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；

（3）含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是分类讨论、平方转化或换元转化）;

（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集

、利用重要不等式a+b二270^以及变式a^（a2b）2等求函数的最值时，务必注意a,b忘R +

（或a，b非负），且等号成立”时的条件是积ab或和a+ b其中之一应是定值（一正二定

三等四同时）.

三、.常用不等式有：J2ZZ>a2^7a^> 121（根据目标不等式左右的运算结构选用）a、b、

a b

R， a2+b2+c2>ab +bc +ca (当且仅当 a =b =c时，取等号)

四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：

a3+b3+c 3》3abc

（a+b+c A O等式即可成立，a=b=c或a+b+c = 0时取等）;

二abcr^^)3 < y+b%3

3

五、最值定理

（积定和最小）①X, y >0,由X + y > 2烦，若积xy = P（定值），则当X = y时和X + y有最小值2j p ；

（和定积最大）②X, y A 0,由X + y > 2j xy，若和x + y = S（定值），则当x = y是积xy有最大值1 s2.

1 1

【推广】：③已知a，b，WR+,若ax+ by=1，则有则--的最小值为:

1 1 1 1 by ax —厂厂2

-=(ax +by)(- +-)=a+b + —+ —》a + b + 2l ab = (V a + v b)

X y X y X y

④等式到不等式的转化：已知x>0，y>0，x+2y+ 2xy= 8，则x+ 2y的最小值是

2xy =8-(x + 2y)= x ”2y =8-(x + 2y)<(x + 2y

)

4 (x+2y)

+(x+2y)-8"= (x+2y+8)(x + 2y - 4) > 0

4

解得 X + 2y < -8(舍)或 X + 2y >4 如果求 xy 的最大值，则 2xy = 8 —(X +2y)= x + 2y = 8 — 2xy > 2j2xy ，

然后解关于 J xy 的一元二次不等式，求 xy 的范围，进而得到 xy 的最大值

六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有： 差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、

分析法和放缩法（注意：对.整式、分式、绝对值不等式的放缩途径, 配方、函数单调性

等”对放缩的影响）• 七、含绝对值不等式的性质:

|a+b 冃a|+|b| >||a|—|b||=|a-b| ；

八、不等式中的函数思想

不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖 知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这 类问题的过程中涉及的 函数与方程”化归与转化”数形结合” 分类讨论”等数学思想对锻 炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈 谈这类问题的一般求解策略。 、函数法

(1 )一次函数 f(X)= kx + b,x 迂[m, n] 有:

f(x) >0恒成立U 〔

f (m)

》0

f(X)C 0恒成立u

l f(n)>0

(2) —元二次函数 f(x) =ax 2 +bx + c A0(a H 0, X 忘 R)有:

a >0

1)f(x)

>0对x^R 恒成立二 b<0;

a CO

2) f(x)<0 对 R 恒成立二 J .

2 CO

故x + 2y 的最小值是4

a 、

b 同号或有0二 a 、 b 异号或有0二 |a-b 冃a|+|b| >||aHb|冃 a+b|.

f (m) <

(3)不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例1.设f(x) =X2—2mx + 2，当X可—1,+^)时，f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围。

解：设F(x) =x2 -2mx+2-m，则当 x引—1,+oc)时，F(x)>0恒成立当i =4(m-1)( m+ 2) <0 即-

20显然成立;

当i >0时，如图，F(x)>0恒成立的充要条件为:

& >0

«F(-1)>0 解得-3

2

、最值法: 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有:

(1)f(x)>a 恒成立 u a

(2)f(x)f(x)max

例2.已知两个函数f(X)= 8x2+16x - k, g(x) = 2x3+ 5x2+ 4x，其中k为实数.

(1)若对任意的X- ［-3,3 ］，都有f(x)

⑵若对任意的X1、X2 -匚33］，都有f(X1)

⑶若对于任意X1- ［-3,3】，总存在X0 - ［-3,3］使得g(X0)= f (xj成立，求k的取值范围. 解：

(1)令F(x) =g(x) - f(X)=2x3 -3x2—12x +k,

问题转化为F(x)30在X-匚3,3上恒成立，即F(x)min ^0即可

(2)由题意可知当X亡［-3,3】时，都有f (X)max兰g(x)min .

(3)于任意X1珂-3,3】，总存在x^ ［-3,3】使得g(X0)= f(X1)成立，等价于f(x)的值域

是g(x )的值域的子集,

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。