高中数学必修四平面向量小专题

2
2
2
| DB |2 DB (a b)2 a 2 a• b b (2)
a
( 1)
(2)
:|
AC
|2
|
DB
|2
2
2(a
2
b)
2(|
AB
|2
|
AD
|2 )
极化恒等式 (1) (2) :
a•
b
1
[(a
b)2
(a
b)2
]
4
极化恒等式
b
M
a
平行四边形模式
三角形模式
a•
b
1
[( a
b)2
(a
b)2 ]
4
１４（
AC
2
DB
2
)
几何意义：向量的数量积表示为
以这组向量为邻边的平行四边形
的 平“方和差对的角1线”与“差对角线” 4
a•
b
1
[(
a
b)2
(a
b)2]
4
１４[(
2
AM
)
2
(2
DM
)2
]
2
2
AM DM
注：运用极化恒等式的三角形模式， 关键在于取第三边中点找到三角形 中线，再写出极化恒等式
例1（. 2009 安徽卷文14）在平行四边形 ABCD中，E和F分别是
边CD和BC的中点，若 AC AE AF (, R), 则 _4_/_3_
法一
法二
由等和线性质知：
k,且k AC 4
AC0 3
例2（. 2013江苏卷10）设D, E分别是ABC的边AB, BC上的点，AD 1 AB, 2
谢谢 指导
若OC x OA y OB，其中x, y R,则x y的最大值是__2___
法一
法二
由等和线性质知：
x
y
k, 且kmax
OC OC0
1 1
2
2
例2（. 2017全国3理12）在矩形ABCD中，AB 1, AD 2,动点P在以点C为圆心且
与BD相切的圆上，若AP AB AD,则 的最大值为（A ）
则 PA•
PB的取值范围是
__[_-_2_,6]
解：PA•
PB
1
[(2
PD)2
2
AB ]
4
2
PD
1
(2
3)2
4
| PD |2 3
易知：1 | PD | 3
2 PA• PB 6
例2（. 2017全国2理12）已知ABC是边长为4的等边三角形，
P为平面AB
C内一点，则PA•
(
利用极化恒等式求向量数量积的值
例.(2012 浙江15）在ABC中，M是BC的中点,
AM 3, BC 10.则 AB• AC ___-_1_6__
法一
法二
AB•
AC
1
[(2
AM)2
2
CB
]
4
AM
2
1
102
4
9 25 16
利用极化恒等式求向量数量积的取值范围
例1.已知正三角形 ABC内接于半径为 2的圆O，点P是圆O上的一个动点，
(2)当等和线位于 O及直线AB之间时， k (0,1); (3)当直线AB位于O及等和线之间时， k (1,);
(4)当等和线经过 O点时, k 0; (5)当两条等和线关于 O点对称，那么两者的 k互为相反数;
(6)定值k的变化与等和线到 O点的距离成正比。
3.平面向量等和线在解题中的应用
利用等和线求值
PB
PC)的最小值是（ D ）
A. 2 B. 3 C. 3 D. 6
2
法一
法二
PA• (PB PC)
PA• 2 PD
2
1
[(2
PO)2
2
AD
]
4
2
|
PO |2
1
(2
3)2
2
2 | PO |2 6
当 | PO | 0时，取得最小值- 6
小结：涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转化为 单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
BE
2 3
BC.若
DE
1
AB
2
AC(1, 2为实数),则1
2的值为_1_/_2
法一
法二
由等和线性质知：
k,且k AE1 1
AE2 2
利用等和线求取值范围
例1（. 2009安徽卷理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们
的夹角为1200，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，
下面是一道来自必修四3.1的例题
一、向量中三点共线及等和线的应用
1.三点共线的充要条件及应用
A, B,C三点共线 存在唯一的实数使得：AB BC
共线向量推论：点 P在直线AB上(即P, A, B三点共线), O是平面内一点
若OP OA OB,则 1
特别地:
线段AB的中点公式（点P是AB的中点）当
1
时，OP
1
(OA
OB)
2
2
例1.已知ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别
交直线AB、AC于E、F两点，若AB AE( 0)，
AC
AF(
0),则
1
4
9
的最小值是___2____.
解：
AD
1
AB
1
AC
AE
AF
22
22
又 D、E、F三点共线
1
22
1 4 ( )( 1 4 ) 5 2 5 2 9 2 2 2 2 2 2
A. 3 B. 2 2 C. 5 D. 2
法一
法二
由等和线性质知：
k, 且kmax
AP AP0
3
二、极化恒等式在向量中的应用
探究：求证平行四边形的对角线的平方和等于两条 邻边平方和的两倍.
证明：设AB a, AD b,则
2
2
2
b
| AC |2 AC (a b)2 a 2 a• b b (1)
2.平面向量的等和线及性质
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP OA OB(, R),
若点P在直线AB上或平行于AB的直线上，则 k(定值），
反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为 等和线
证明： AB // A1B1且由三点共线可设
OA1 k OA,OB1 k OB
OA
1 k
OA1, OB
1 k
OB1
OP
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OA
OB
k
OA1
k
OB1
P, A1, B1三点共线
1 k
kk
|K|的几何意义：相似 三角形∆OA1B1与∆OAB的 相似比
等和线的性质
OP OA OB(, R),
k(定值）
OA1 k OA,OB1 k OB
(1)当等和线恰为 AB时，k 1;