(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数
()12
++=x x x f 与函数()11
3--=x x x g 相同．
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴
()12
++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()
x f 与()
x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．
错误 如：数列()n
n x 1-=是有界数列，但极限不存在
4、a a n n =∞
→lim ，a a n n =∞
→lim ．
错误 如：数列()n
n a 1-=，1)
1(lim =-∞
→n
n ，但n n )1(lim -∞
→不存在。

5、如果()A x f x =∞
→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．
正确 ∵1lim
=α
β
，是 ∴01lim lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2
x 是同阶无穷小．
正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim
2
02
2020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01
sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→x
x x x x x x ．
错误 ∵x
x 1
sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x x
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+→11lim 0
．
错误 ∵e x x
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞
→11lim
10、点0=x 是函数x
x
y =的无穷间断点．
错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim
1lim 00=+→x
x x ∴点0=x 是函数x
x
y =的第一类间断点．
11、函数()x f x
1
=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x
1
=
在0=x 处不连续 ∴函数()x f x
1
=
在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：
1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()x
e
f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；
（２）()x f 2
sin 1-的定义域是（ ,()2
x x k x k k Z πππ⎧
⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭
）；
（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x
e （2）∵1sin 102
<-<x （3）∵1lg 0<<x
2、函数()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．
3、设()2
sin x x f =，()12
+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()
2
21sin +x ）．
4、n
x
n n sin
lim ∞→＝（ x ）．
∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sin
lim 1
sin lim
sin lim 5、设()11cos 1121
1x
x x f x x x x π-<-⎧⎪⎪
=-≤≤⎨⎪
->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ）
，()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()10
10
lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0
101=-=+→+→x x f x x
6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00
cos 12x a
x x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．
∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f x
x x ===-→021
cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0
lim （ ()0x f ）．
∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f
8、函数()
2
11
-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．
∵()
∞=-→2
1
11
lim
x x ，()011
lim
2
=-∞
→x x
9、若(
)
01lim
2=--+-+∞
→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 2
1
-
）． ∵
()()
b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 22
2()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞
→1121
1lim 2222
欲使上式成立，令
012=
-a ，∴1a =±，
上式化简为
()()()2
211212112lim lim lim
1x x x b
ab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，1
2b =-
10、函数()x x f 111
+=
的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()342
22+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．
12、若2sin 2lim =+∞→x
x
ax x ，则=a （ 2 ）
． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞
→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim
（ 0 ）
，=∞→x
x x 1
sin lim （ 1 ）， ()
=-→x
x x 1
1lim （ 1-e ）
，=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→kx
x x 11lim （ k
e ）． ∵0sin 1
lim sin lim
=⋅=∞→∞→x x x
x x x 111
sin lim
1sin lim ==∞→∞→x
x x x x x
()[]
1)1(1
10
)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x x k k
x x kx
x e x x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim
14、
limsin(arctan )x x →∞
=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞
=（ 0 ）
三、选择填空：
1、如果a x n n =∞
→lim ，则数列n x 是（ b ）
a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列
2、函数()(
)
1log 2++
=x x x f a 是（ a ）
a ．奇函数
b ．偶函数
c ．非奇非偶函数 ∵
()()
1
1log 1)(log 2
2
++=+-+-=-x x x x x f a
a
()
()x f x x a -=++-=1log 2
3、当0→x 时，1-x
e 是x 的（ c ）
a ．高阶无穷小
b ．低阶无穷小
c ．等价无穷小
4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）
a ．极限存在
b ．连续
c ．有界
5、函数()x f x
-=
11
在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x
6、设函数()x f x
x
sin =，则()=→x f x 0lim （ c ）
a ．１
b ．－１
c ．不存在 ∵1sin lim sin lim
sin lim
000000-=-=-=-→-→-→x
x x x x x
x x x
1sin lim sin lim 0000==-→+→x
x x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0
lim →不存在。

7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在，则函数()x f 在0x 点（ c ） a ．有定义 b ．无定义 c ．不一定有定义
∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。

8、数列１，１，
21，２，31，３，…，n
1
，n ，…当∞→n 时为（ c ） a ．无穷大 b ．无穷小 c ．发散但不是无穷大
9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的（ b ）
a ．充分条件
b ．必要条件
c ．充分必要条件 10、点0=x 是函数1
arctan
x
的（ b ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 ∵00
1lim arctan
2x x π→-=- 001lim arctan 2
x x π→+=
根据左右极限存在的点为第一类间断点。

11、点0=x 是函数x
1
sin
的（ c ） a ．连续点 b ．第一类间断点 c ．第二类间断点 四、计算下列极限：
1、()n
n n
n 31lim -+∞→ 解
()3
1))1(3131(lim 31lim =-⋅+=-+∞→∞→n n n n n n
n
2、0tan 3lim
sin 2x x
x
→
解 0
tan 3lim sin 2x x x →2
323lim 0==→x x x （∵x x 2sin ,0→～2,tan3x x ～x 3） 3、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--
+∞
→x x x x x lim
(
)
x
x x x x +--+∞
→lim
()()
x
x x x x
x x x x x x x x ++-++-+--=+∞
→lim
x
x x x x
x ++--=+∞
→2lim
1
11111lim
2-=+
+--=+∞
→x
x x
4、()
n n n n
n --++∞
→22
1lim
解
()()()
n
n n n n
n n n
n
n n n
n n n n
n n -+++-+++--++=--++∞
→∞
→2
2
22
22
2
2
111lim
1lim
1
1111112lim 112lim
222=-++++
=-++++=∞
→∞
→n
n n n n n n n n n n 5、x
x x x x sin lim 2
300+++→
21
sin 11lim sin 1lim sin lim 0
0002300=+
+=++=+++→+→+→x
x x x x x x
x x x x
x x x 6、1
1
sin lim
2
-
+→x x x x
)
222
1
1sin lim
lim
x x x x x x x x →→→⋅
+⋅
+==
(
)
lim 12x →=+=
7、1
1lim
--→x x x
()(
)(
)
11lim 1
1
1
lim
1
1lim
0=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x
8、1
lim
1
--→x x
x x
(
)1
1
1
lim
1
lim 1
1
=--=--→→x x x
x x x x x
9、30tan sin lim
x x x
x
→- ()2
3330001sin 1cos tan sin 112lim lim lim cos cos 2
x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅⋅--==⋅= (∵
2
10,1cos 2
x x x →-,sin x )
10、x
x x 2cos 1lim
0--→
解
()2
122
1lim
2cos 1lim
20
00
0-
==--→-→x x x
x x x
(∵x x cos 1,0-→～
22
1x ) 11、1lim 1x
x x x →∞-⎛⎫
⎪+⎝⎭
解
1
21111lim lim 111x
x x x x x e x x e e x -→∞→∞⎛⎫
- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
12、⎪⎭
⎫
⎝⎛+
∞
→x x x 11ln lim
解 ⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→x
x x x x x
13、x
x x
x x cos cos lim
+-∞→
解 cos 1cos lim lim 1cos cos 1x x x x x x x x x x
→∞→∞-
-==++
14、⎪⎭
⎫
⎝⎛---→1112lim 21x x x
解 2211121111lim lim lim 111
12x x x x x x x x →→→-⎛⎫-==-=- ⎪---+⎝⎭ 15
、x 解
lim lim 1x x →∞→∞==16、x x x cos 1sin lim 0
0-+→ 解
000000sin sin lim lim lim x x x x x x →+→+→+===
17、()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞
→11321211lim n n n 解 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞
→111
3121211lim n n n
1111lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=∞
→n n。