平面向量与数量积有关的最值和范围问题
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
平面向量数量积的最小值问题
平面向量数量积的最小值问题引言平面向量的数量积是向量运算中的一种重要形式之一，它可以用于表示向量之间的夹角以及判断向量的正交性。
对于给定的平面向量，我们感兴趣的问题之一就是如何求得它们数量积的最小值。
本文将介绍平面向量数量积的最小值问题，以及一些解决该问题的方法。
问题描述给定平面上的两个向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(\\theta) $$其中 $|\\vec{a}|$ 和 $|\\vec{b}|$ 分别表示向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的模长，$\\theta$ 表示 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 之间的夹角。
我们的目标是求解数量积的最小值。
方法一：代数法一种简单直接的方法是通过代数运算求解最小值。
设 $\\vec{a} =\\begin{bmatrix}a_x \\\\ a_y \\end{bmatrix}$ 和 $\\vec{b} = \\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$，则数量积可以表示为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y $$为了求解最小值，可以利用数量积的几何意义，选择一个使得夹角$\\theta$ 最小的向量 $\\vec{b}$。
根据向量的乘积性质，当 $\\theta = 0$ 时，夹角最小，此时：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(0) =|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| $$为了使 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$ 最小，我们只需找到一个使得$|\\vec{b}|$ 最小的向量，这个向量可以通过求解 $\\vec{b}=\\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$ 的模长最小值问题来得到。
平面向量中的最值或范围问题
2
2 2
2
所以 c
o
sa - b,
a =
(
·a
a-b)
=
|
a-b|
|
a|
3 2 9
b+
2
2 1
3
3
。
= |
b|+
≥
6
|
b|
4
4
|
b| 2
因为 0≤ a-b,
所 以 0≤ a-b
a ≤π,
≤
π
π
,
故 a-b 与a 的夹角的最大值为 。
6
6
2
=9
b +a -2×3
b·a≤4,所 以 a·b≥2+
2
3
|
b|
2+
3
|
b|
a·b
2
。所以 c
o
sa,
b =
≥
2
|
a|·b
4
|
b|
2
2
1
3
|
b|
,因 为|
=
+
b|≤1,所 以 当|
b|=1
2
|
b|
8
时,
c
o
sa,
b取得最小值为
[
C.
4,
1
2]
7
。
8
→
其中 0≤λ≤1,则 B→
C ·BP
→
一般情况 下,如 果 遇 到 的 问 题 适 合 建 立
2
+
3 s
i
n
π
2
第06讲 平面向量中的范围与最值问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版)备2025年高考数学一轮复习学案
第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。
由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
1. 模长的范围及最值与向量的模有关的问题, 一般都会用到 22||a a =r r，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
．．v1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c r r r为单位向量，且357a b -=r r ，则22a c b c -+-r r r r 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．62．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b rr 满足112a b a b ==×=r r r r ，22||c b c =×r r r ，则22c c a b-+-r r r r 的最小值是.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a r ，b r 为单位向量，且12a b ×=-r r ，向量c r 与3a b +r r共线，则||b c +r r 的最小值为 .4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c r rr 满足：2a b ==r r ，若()()0c a c b -×-=r r r r ，则a b -r r 的最小值为 ．5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习），1=r b ，0a b ×=rr ，4c a c a ++-=r r r r ，2430d b d -×+=r r r ，则c d -rr 的最大值为（ ）A 1+B ．4C 2+D ．3136．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===r r r，12a b ×=r r ，,,3a c b c p áñ+áñ=r r r r ．若,R m n Î，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-r r r r rr 的最小值为（ ）A ．0BC ．1D1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x ==uuu r uuu r ，则cos ,OA OB áñuuu r uuu r的最小值为 .2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y r r r r满足关系(),2a y x b mx y m =-=-³r r r r r r ，又设a r 与b r 的模均为1且互相垂直，则x r 与y r的夹角取值范围为.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA =r uuu r ，b OB =r uuu r ，c OC =r uuu r，满足241OC AC OA ×=-uuu r uuu uuu r r ，241OB CB OC ×=-uuu r uuu uuu r r ，则向量4a b -r r 与2c b -r r所成夹角的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π61．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a r 与b r的夹角为锐角，c r 为b r 在a r 方向上的投影向量，且||||2c a ==r r ，则a b c ++r r r 与b r的夹角的最大值是 ．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b r r 满足1a a b =+=r r r ，12a b ×=-r r ，向量p u r 满足()2p a b l l =-+u r r r ，当p u r 与p a -u r r的夹角余弦值取得最小值时，实数l 的值为 .3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b r ur 是空间单位向量，0a b ×=r r ，若空间向量c r 满足：1,c a c b ×=×r r r r ，则a b c ++=r r r，对于任意,x y R Î，向量c r与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m u r、n r 为单位向量，则向量2m n +u r r 与n r 夹角的最大值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2023·北京·模拟预测）平面向量a r ，b r 满足3a b =r r ，且4a b -=r r ，则a r 与a b -r r夹角的正弦值的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．233．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a r ，b r的夹角为q ，2a b +=r r ，且43a b ³r r ，则夹角q 的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，c r满足1a =r 32a b ×=-r r ，,30a c b c --°=r r r r ，则c r的最大值等于（ ）A ．BC ．D ．5．（2024·全国·模拟预测）已知a r ，b r 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>r r ，π,3a b áñ=r r ，若||a tb +r r 的最小值为22r t +的值为（ ）．A ．52B ．94C ．4D ．1746．（2021·全国·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足3a b +=r r ，0a b ×=r r ，若(1)()c a b l l l =+-ÎR r r r ，且c a c b ×=×r r r r，则c r 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．327．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足2a =r ，1b c -=r r ，若a r 与b r 的夹角为π3，则a c-r r 的最小值为（ ）A 1B C 1D8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a ®，||b ®=a b ®®^，若向量c ®满足2c a b a b ®®®®®--=-，则||c ®的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b r r 满足22a b ==r r ，对任意的0,a b l l >-r r 的最小值为a r 与b r 的夹角为．10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足1a b -=r r 且a b ^r r ，当向量a b -r r 与向量3a b -r r 的夹角最大时，向量b r的模为 ．11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b r r ，若对任意实数x ，xa b -³r r 恒成立，则向量,a b r r 的夹角的最小值为 .12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a r ，向量b r 与a r不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b r 的最大值为 ．13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -×-=r r r r ，则b r 的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a r ，b r ，且满足||||2×===r rr r a b a b ，若e r 为平面单位向量，则×+×r r r ra eb e 的最大值15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()()0a b a c -×-=r r r r ，3b c -=r r ，则a b c ++r r r的最大值是.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a r ，b r 满足6a b +=r r ，若a r 在b r方向上的投影与br 在a r 方向上的投影之和等于()2a b ×r r ，则a r ，b r 夹角的余弦值的最小值为 ．17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a r ，b r ，c r满足4a b -=r r ，且()()1a c b c -×-=-r r r r ，若a r 与b r 的夹角为q ，且ππ,32q éùÎêúëû，则c r 的模取值范围是.18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC Ð=°，E 是CD 的中点，2AF FE =uuu r uuu r ，若设,BA a BC b ==uuu r r uuu r r ，则BF uuu r可用a r ，b r 表示为；若ADE V ，则BF uuu r 的最小值为 ．19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a r ，b r满足||3a =r ，1b r ||=，若存在不同的实数()1212,0l l l l ¹，使得3i i i c a b l l =+u r r r ，且()()0(1,2),i i i c a c b -×-==u r r u r r则12c c -u r u u r 的取值范围是20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c r r r 满足74a b ×=r r ，3a b -=vv ,()()2a c b c -×-=-r r r r ,则c 的取值范围是 ；已知向量,a b r r 是单位向量，若0a b =r r g ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r 的取值范围是.。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
如何解答平面向量最值问题
4x 4y
4
解题宝典
性运算法则、数量积公式来求向量模的表达式，再求
该表达式的最值，即可求得向量的模的最值.还可以根
据向量的几何意义构造出几何图形，将所求向量的模
y
≥ 1 (5 + 2 ∙4x ) = 9 ，
x y
4
4
看作三角形、四边形的一条边长，确定向量的模取最
当且仅当
∠ADC = 90°,
例3.已知直角梯形 ABCD 中，AD//BC，
1
= AM +
AN，
4x
4y
图1
有些平面向量最值问题中含有参数，要求参数的
最值或取值范围，需根据题意建立关于参数的关系
式，将问题转化为求代数式的最值问题，利用基本不
等式、函数的性质来求最值.还可以根据题意和向量加
减法的几何意义：三角形法则和平行四边形法则，画
a
（1）数列的通项公式 n ；
解：
（1）要使 C
{
-A
2m - 2
11 - 3m
2
数学篇
40
76
77
77
77
因 为 77 - 15 =(76 + 1) - 15 = 76 + C177·76 + ⋯
+C - 15 = 76(76 + C ·76 + ⋯ + C ) + 1 - 15 = 4 × 19
因为 BM = x BA + y BD = 2x BE + y BD ，
y
所以 λBN = 2x BE + y BD ，
微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题((习题版))
微重点04平面向量数量积的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．知识导图考点分类讲解考点一：求参数的最值(范围)规律方法利用共线向量定理及推论(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC ，点D 满足BC →＝34BD →，点E 为线段CD 上异于C ，D 的动点，若AE →＝λAB→＋μAC →，则λ2＋μ2的取值范围是________．【变式1】设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |＝2，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为()A．[－1,3]B．[－1,5]C．[－7,3]D．[5,7]【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足12AD AC = ，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数,x y 满足AQ x AB y AC =+，则24x y +的最小值为．【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量,a b 满足||1,a b == ，且)0R (a b λλ+∈=，则函数()3(1)1f x x x xλ=+>-+的最小值为.【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC 的重心G 的直线l 分别交线段AB ，AC 于点E ，F ，若AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，则λ＋μ的最小值为()A.23＋2 B.2＋223C.43D．1考点二：求向量模、夹角的最值(范围)易错提醒找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线；若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +r r 共线，则||b c +的最小值为.【例2】(1)已知e 为单位向量，向量a 满足(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为()A．4B．5C．6D．7(2)平面向量a ，b 满足|a |＝3|b |，且|a －b |＝4，则a 与a －b 夹角的余弦值的最小值为________．【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝2，且|a ||b |≥43，则夹角θ的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2【变式2】(2023·杭州模拟)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c 与3a b +rr 共线，则||b c +的最小值为.考点三：求向量数量积的最值(范围)规律方法向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．【例3】(1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且AB ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OA →的取值范围是()0，2－240，1＋22，1，1(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |＝2，则PA →·PD →的最大值为()A.1＋22B.1＋222C．1＋2D．2＋2【变式1】(2023·台州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内(含边界)一点，M 为边BC 的中点，则AP →·AM →的取值范围是()A．[－2,6]B．[－1,9]C．[－2,4]D．[－1,6]【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则PA →·(PB →＋PD →)的最小值是()A．0B．－14C．－12D．－2【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M 为直角ABC 外接圆O 上的任意一点，90,1,ABC AB BC ∠=︒=()OA OB BM -⋅的最大值为．强化训练单选题1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量a ，b，且5a b == ，6a b += ，则()ta b t +∈R 的最小值为（）A．245B．4C．165D．1252．（23-24高三上·江西吉安·期中）ABC 中，D 为AC 上一点且满足34CD CA = ，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，,λμ为正实数，则下列结论正确的是（）A．λμ的最小值为116B．λμ的最大值为1C．114λμ+的最大值为16D．114λμ+的最小值为43．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在ABC 中，D 为线段AC 的一个三等分点，2AD DC =.连接BD ，在线段BD 上任取一点E ，连接AE ，若AE aAC bAB =+，则22a b +的最小值为（）A．134B．52C．413D．254．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a ，b的夹角为θ，2a b += ，且43a b ≥ ，则夹角θ的最小值为（）A．π6B．π4C．π3D．π25．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量,a b满足||||6a b += ，若a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影之和等于()2a b ⋅ ，则,a b夹角的余弦值的最小值为（）A．227B．127C．13D．236．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知AB 是圆O ：221x y +=的直径，C 、D 是圆O 上两点，且60COD ∠=，则()OC OD AB +⋅的最小值为（）A．0B．C．3-D．-7．在ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足3EC BE =，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 做一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM mCA = ，CN nCB =，则m n +的最小值为（）C．75D．1658．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++==== 均为正数，则xy 的最小值为（）A．12B．49C．1D．43二、多选题1．（2024·河南·模拟预测）已知O 是坐标原点，平面向量a OA = ，b OB = ，c OC = ，且a是单位向量，2a b ⋅= ，12a c ⋅= ，则下列结论正确的是（）A．c a c=- B．若A ，B ，C 三点共线，则2133a b =+C．若向量b a - 与c a -垂直，则2b c a +- 的最小值为1D．向量b a - 与b 的夹角正切值的最大值为42．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A．1233BD BA BC=+ B．132BD BO ⋅=C．BP BC ⋅存在最大值D．x y +1+3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 的中点，点Q 满足[][]()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ=+∈∈，则下列结论中正确的是（）A．若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D．若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三、填空题1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量a ，b 满足2a =r ，1= b ，且a ，b的夹角为π3，则()a b λλ-∈R 的最小值是.2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量a ，b 夹角为2π3，则|2|||a b b +的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形ABCD 中，AB AC AD ===AB AD ⊥，则CB CD ⋅的最小值为.四、解答题1．如图，在△ABC 中，2AB =，AC =，cos BAC ∠=D 为BC 的中点，E 为AB 边上的动点（不含端点），AD 与CE 交于点O ，AE xAB =.(1)若14x =，求CO OE 的值；(2)求AO CE ⋅的最小值，并指出取到最小值时x 的值.2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量a ，b 的夹角为23π，1a a b =+= .(1)证明：a b -= ；(2)设t ∈R ，求a tb +的最小值.3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A ，B 是单位圆（圆心为O ）上两动点，C 是劣弧 AB （含端点）上的动点．记OC OA OB λμ=+（λ，μ均为实数）．(1)若O 到弦AB 的距离是12，求λμ+的取值范围；(2)若532OA OB -≤ ，向量2OA OB +和向量OA OB + 的夹角为θ，求2cos θ的最小值．5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，线段DE 经过点G ，并绕点G 转动，分别交边,AB AC 于点,D E ，设,AD m AB AE n AC ==，其中01,01m n <≤<≤．(1)求11m n的值；(2)求ADEV面积的最小值，并指出相应的,m n的值．。
第11讲 平面向量中的最值范围问题(教师版)
第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。
向量的数量积与最值范围
第3讲 平面向量的数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[玩转典例]题型一 平面向量数量积的计算例1 (2020·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269D.263例2 (2015新课标II)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 [玩转跟踪]1.设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72B ．－12C.32D.522.(新课标全国Ⅱ，14)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 题型二 利用数量积求射影例3 (湖北，7)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C.－322 D.－3152[玩转跟踪]1．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．－255D ．－355题型三 利用数量积求模长例4 (新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．5[玩转跟踪]1．(大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2B. 2C ．1D.222. (新课标全国，13)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 题型四 利用数量积求夹角例5 (山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A.2 3B. 3C.0D.－3 [玩转跟踪]1．(重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6 题型五 利用数量积求解垂直问题例6 已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________． [玩转跟踪]1.(晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5D.10题型六 利用数量积求解取值范围例7 (湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A.[4，6]B.[19－1，19＋1]C.[23，27 ]D.[7－1，7＋1]例8 （2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- [玩转跟踪]1.(湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A.6B.7C.8D.92.(2020·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1[玩转练习]1．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |等于( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12 2．(2020·广东一模)a ，b 为平面向量，已知a ＝(2,4)，a －2b ＝(0,8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.453．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B ．⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4．(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝4，CD ＝2，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，E 是BC 的中点，则AB ―→·(AC ―→＋AE ―→)＝( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．205．(多选)(2020·山东高考预测卷)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(7,1)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10,5) B ．|b |＝10|a |C ．a ∥(a －b )D ．a 与b 的夹角为45°6．(多选)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA ―→＋AB ―→＋AC ―→＝0，且|OA ―→|＝|AB ―→|，下列结论正确的是( )A.CA ―→在CB ―→方向上的投影长为－3 B.OA ―→·AB ―→＝OA ―→·AC ―→C.CA ―→在CB ―→方向上的投影长为 3 D.OB ―→·AB ―→＝OC ―→·AC ―→7．(2019·福州市质量检测)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝3|b |，则a 与b 的夹角为________． 8．(2019·郑州市第一次质量预测)已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b方向上的投影为________．9．(一题两空)(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________，a ·(a ＋b )＝________.10.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ―→＝4AC ―→，则OC ―→·(OB ―→－OA ―→)＝________.11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB ―→－t OC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足向量OP ―→在向量OA ―→上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x －2y ＋5＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝014．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角θ的范围是__________．15．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2. (1)求f (x )的最大值，并求f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，角B 为锐角，且f (B )＝1，b ＝3，若满足条件的△ABC 仅有一解，求a 的取值范围．第4讲 平面向量的最值范围问题平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．题型一 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【2020河北邯郸摸底】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为 【玩转跟踪】1.【2015福建高考试题理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ,若点P 是ABC △ 所在平面内一点,且4AB AC AP ABAC=+,则PB PC 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．21 题型二 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则22a a x ==+向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求． 【例2】【2020届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．D ．【玩转跟踪】1.【2020届山西省山西大学附中高三10月月考】已知,a b 是平面内互不相等的两个非零向量,且||1,a a b =-与b 的夹角为150,则||b 的取值范围是（ ）A ．]3,0(B ．[1,3]C ．]2,0(D ．[3,2] 题型三 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则21cos a b a bx θ⋅==⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为（ ） A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1.非零向量满足=,,则的夹角的最小值是 ．题型四 平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】【2020.山东潍坊市期中】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【玩转跟踪】1.【2020届江西省南昌二中高三上学期第三次考试】设向量1e 、2e 满足：122,1e e ==,1e ,2e 的夹角是60︒,若1227te e +与12e te +的夹角为钝角,则t 的范围是（ ）A ．1(7,)2-- B ．141(7,(,)2---C ．141[7,(,]2---D ．1(,7)(,)2-∞--+∞ 【玩转练习】1．【2020届广西河池高中高三上第五次月考】在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是（ ）A ．2B ．-1C ．-2D ．-4b a ,b a ⋅222b a 2||||=+b a b a与2．【2020届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知Rt AOB ∆的面积为1,O 为直角顶点．设向量OA a OA=,OB b OB=,2OP a b =+,则PA PB ⋅的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．【2020届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量,满足：||=3,||=1,|﹣2|≤2,则在上的投影长度的取值范围是（ ） A ．[0,] B ．（0,] C ．[,1] D ．[,1]4.已知向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 则|2|b a -的最大值,最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,05． 已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ）A．⎤⎦B．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦6．设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,||b ________. 7.如图,边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴,y 轴正半轴上移动,则⋅的最大值是 ．8.【2020届福建省厦门一中高三上学期期中】平面上四点,,,A B C D 满足2,4,6,4AB AC AD AB AC ===⋅=,则DBC ∆面积的最大值为 ．9．【2020届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知非零向量a ,b ,c 满足1a ≥,2a b a b +=-=,()()3c a c b -⋅-=,则||c 的最小值是 ,最大值是 ．10. 【2020.河南顶级名校】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅的范围是___________．11（2015天津高考理14）在等腰梯形ABCD 中,已知//AB DC ,2AB =,1BC =,60ABC ∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE BC λ=,19DF DC λ=,则AE AF ⋅的最小值为 . 12. 在矩形A BCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =,则AM AN ⋅的取值范围是________．。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
高一数学微专题++妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(解析版)
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【典型例题】题型一：定值问题1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()A.4B.8C.78D.34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF =BD +DF ，CF =CD +DF =-BD +DF ，BA =BD +DA =BD +3DF ，CA =CD +DA =-BD +3DF ，所以BF ⋅CF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD2=-1，BA ·CA =BD +3DF ⋅-BD +3DF =9DF 2-BD2=4，可得DF 2=58，BD 2=138，又因为BE =BD +DE =BD +2DF ，CE =CD +DE =-BD +2DF所以BE ·CE =BD +2DF ⋅-BD +2DF =4DF 2-BD 2=4×58-138=78，故选：C ．2(2024·贵州毕节·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA ⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC-AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC24=7，BE ⋅CE =12BC -23AD ⋅-12BC -23AD =49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，因此FD 2=1,BC 2=8，BF ⋅CF =12BC -FD ⋅-12BC -FD =4FD 2-BC24=4×1-84=-1.故选：B .3(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2，点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE=A.32B.-32C.34D.-34【答案】A【解析】取HF 中点O ，则EF ⋅FG =EF ⋅EH =EO 2-OH 2=1-122=34, GH⋅HE =GH ⋅GF =GO 2-OH 2=1-12 2=34，因此EF ⋅FG +GH ⋅HE =32，选A .题型二：范围与最值问题1(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1] B.0,2C.[1，2]D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示：考虑P 是线段AB 上的任意一点，PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，圆O 的半径长为1，由于P 是线段AB 上的任意一点，则PO∈1,2 ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2∈0,1 .故选：A .2(2024·陕西榆林·统考三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为()A.-30 B.-27C.-15D.-9【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，可得∠DAC =60°，在△ABC 中，由余弦定理得到AC =63，连接AC 和BD 交于点O ，则点O 为AC 的中点，连接OA ，OC ，OP ，则PA =PO +OA ，PC =PO +OC =PO -OA，所以PA ⋅PC =PO +OA ⋅PO -OA =PO 2-OA 2=PO2-27≥-27．故选：B .3(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4 B.1,4C.0,9D.1,9【答案】C【解析】由题可知，AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，∠B =90°，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12×3×4=12×3+4+5 r ，解得r =1，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是△ABC 内切圆的一条直径，所以OP =1，OQ =-OP ，则MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP ，所以MP ⋅MQ =MO +OP MO -OP =MO 2-OP 2=MO2-1，因为M 为△ABC 边上的动点，所以MO min =r =1；当M 与C 重合时，MOmax =10，所以MP ⋅MQ的取值范围是0,9 ，故选：C题型三：求参问题以及其它问题1(2024·浙江杭州·高一校联考期中)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C.则()A.∠ABC =90°B.∠BAC =90°C.AB =ACD.AC =BC【答案】D【解析】如图，取BC 的中点D ，由极化恒等式可得：PB ⋅PC =PD 2-BD 2 ，同理，P 0B ⋅P 0C =P 0D 2 -BD 2，由于PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则PD ≥P 0D ，所以P 0D ⊥AB ，因为P 0B =14AB ，D 是BC 的中点，于是AC =BC .故选：D .2(2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．【答案】2-2109【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO ⊥AB 于O ，如图，PM =12MN =1，依题意，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-PM 2=CP 2-1，因CM ⋅CN 的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此CO =2，在Rt △AOC 中，cos ∠OCA =CO CA=13，sin ∠OCA =223，在Rt △BOC 中，cos ∠OCB =CO CB =23，sin ∠OCB =53，所以cos ∠ACB =cos (∠OCA +∠OCB )=cos ∠OCA cos ∠OCB -sin ∠OCA sin ∠OCB =2-2109.故答案为：2-21093(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)在△ABC 中，AC =2BC =4，∠ACB 为钝角，M ,N 是边AB 上的两个动点，且MN =1，若CM ⋅CN 的最小值为34，则cos ∠ACB =．【答案】1-358【解析】取MN 的中点P ，取PN =-PM ，PN =PM =12，CM ⋅CN =CP +PM ⋅CP +PN =CP +PM ⋅CP -PM =CP 2-14，因为CM ⋅CN 的最小值34，所以CP min =1．作CH ⊥AB ，垂足为H ，如图，则CH =1，又BC =2，所以∠B =30°，因为AC =4，所以由正弦定理得：sin A =14，cos A =154，所以cos ∠ACB =cos 150°-A =-32cos A +12sin A =-32×154+12×14=1-358．故答案为：1-358.【过关测试】一、单选题1(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)在△ABC 中，A =90°，AB =4，AC =43，P ，Q 是平面上的动点，AP =AQ =PQ =2，M 是边BC 上的一点，则MP ⋅MQ的最小值为()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】取PQ 的中点N ，则MP =MN +NP ,MQ =MN +NQ =MN -NP ，可得MP ⋅MQ =MN +NP ⋅MN -NP =MN 2-NP 2=MN2-1，∵MN =MA +AN ≥MA -AN ，当且仅当N 在线段AM 上时，等号成立，故MN ≥MA -AN =MA-3 ，显然当AM ⊥BC 时，MA取到最小值23，∴MN ≥MA-3 ≥23-3 =3，故MP ⋅MQ =MN2-1≥3-1=2.故选：B .2(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习)已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为()A.-2 B.-8C.-1D.0【答案】A【解析】如图AB 为棱长为2的正方体外接球的一条直径，O 为球心，P 为正方体表面上的任一点，则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任一点P 的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1，AB 的长为正方体的对角线长，为23，我们将三角形PAB 单独抽取出来如下图所示：PA ⋅PB =(PO +OA )⋅(PO +OB )=(PO +OA )⋅(PO -OA )=PO |2- OA |2=|PO |2-232 2=|PO |2-3，所以PA ⋅PB 的最小值为12-3=-2.故选：A .3(2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知点P 在棱长为4的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为( )．A.-8 B.-4C.-1D.0【答案】A【解析】由题意知：正方体的外接球的球心为O ，正方体的外接球的直径AB =42+42+42=43，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB，且|OA |=|OB|=23，故PA ⋅PB =(OA -OP )⋅(OB -OP )=OA ⋅OB -(OA +OB )⋅OP +OP 2=-OA 2+OP 2=OP2-12，当OP 与正方体的棱长平行时，此时OP 最小，故OP≥2，所以PA ⋅PB的最小值4-12=-8．故选：A4(2024·贵州贵阳·统考一模)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =π2,BD=2DC ，则AB ⋅AD=()A.9B.18C.6D.12【答案】D【解析】由BD =2DC 可得：DC =13BC ，所以AC -AD =13BC =13AC -AB ，所以AD =13AB +23AC ，AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC ，因为AB =6,AC =3,∠BAC =π2，所以AB ⋅AD =13AB 2+23AB ⋅AC =13×36=12.故选：D .5(2024·贵州贵阳·统考模拟预测)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =2π3,BD=2DC ，则AB ⋅AD =()A.18B.9C.12D.6【答案】D【解析】∵BD =2DC =2(BC -BD )，即BD =23BC ，∴AD =AB +BD =AB +23BC =AB +23AC -AB =13AB+23AC ，∴AB ⋅AD =AB ⋅13AB +23AC =13AB 2+23AB ⋅AC =13×62+23×6×3×cos 2π3=6.故选：D6(2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD )为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB ⋅AO的值为()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】如图：连接OD因为中间是边长为2的正方形，且图中的各个三角形均为等腰直角三角形，所以∠ADO =∠ODB =45°，OD =2，AD=4，∠ADB =90°.所以AB ·AO =AD +DB ·AD +DO =AD 2+AD ·DO +DB ·AD +DB ·DO=42+4×2×cos 3π4+0+2×2cos π4=14.故选：A7(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD 中，AC =4，BA⋅BC =12，E 为AC 中点.BE =2ED ，求DA ⋅DC 的值()A.0B.12C.2D.6【答案】A【解析】∵AC =4，E 为AC 中点，∴AE =CE =2，∵BA ⋅BC =BE +EA ⋅BE +EC =BE +EA ⋅BE -EA =BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴BE =4，∴DE =12BE =2，∴DA ⋅DC =DE +EA ⋅DE +EC =DE +EA ⋅DE -EA =DE 2-EA2=4-4=0.故选：A .8(2023·贵州·校联考二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AC=4，BA ⋅BC=12，E 为AC 的中点，BE =λED ，DA ⋅DC =-209，则λ的值为()A.2B.3C.43D.32【答案】B【解析】∵AC=4，E 为AC 的中点，∴|AE |=|CE|=2，∵BA ⋅BC =(BE +EA )⋅(BE +EC )=(BE +EA )⋅(BE -EA )=BE 2-EA 2=BE2-4=12，∴|BE|=4，∵BE =λED ,∴|DE |=1λ|BE |=4λ，∴DA ⋅DC =(DE +EA )⋅(DE +EC )=(DE +EA )⋅(DE -EA )=|DE |2-|EA |2=16λ2-4=-209，解得：λ=3.故选：B .9(2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测)已知△ABC 是边长为1的正三角形，BD =2DC ，AB +AC=2AE ，则AE ⋅AD =()A.34B.32C.38D.1【答案】A【解析】由AB +AC =2AE ，可知E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，如图所示：因为BD =2DC ，根据上图可知AD =AE +ED =AE +16BCAE ⋅AD =AE ⋅AE +16BC =AE 2=34故选：A10(2024·四川绵阳·统考二模)如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B )，点F 为BC 的中点，则FE ⋅EC=()A.-34B.-56C.34D.12【答案】B【解析】由已知，BA =2，BC =2，∠ABC =60°，所以BA ⋅BC =BA ⋅BC cos ∠ABC =2×2×12=2.由已知D 是AC 的中点，所以BD =12BA +BC，BE =13BD =16BA +BC ，BF =12BC .所以FE =BE -BF =16BA +BC -12BC=16BA -13BC ，EC =BC -BE =BC -16BA +BC =-16BA +56BC ，所以，FE ⋅EC =16BA -13BC ⋅-16BA +56BC =-136BA 2+736BA ⋅BC -518BC 2=-136×4+736×2-518×4=-56.故选：B .11(2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试)已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB =120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在线段AB 上(不包含两个端点)，则CM ⋅CN的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0【答案】C【解析】∵∠AOB =120°，∴点C 在线段AB 上，且OC ∈12,1，∴CM ⋅CN =OM -OC ⋅ON -OC =OM ⋅ON -OM +ON ⋅OC +OC 2=-1+OC 2=-1+OC2，∵OC ∈12,1 ，∴CM ⋅CN ∈-34,0 .故选：C .二、填空题12(2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE的值是.【答案】58【解析】因为BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF ⋅CF =12BC -13AD ⋅-12BC-13AD =4FD 2-BC24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE ⋅CE =12BC -ED ⋅-12BC -ED =4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案为：58.13(2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,BA ⋅CA =15，BE ⋅CE =5，则BF ⋅CF=.【答案】-1【解析】∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BE =BD +DE =BD +2DF ,CE =-BD +2DF ，BA =BD +3DF ,CA =-BD +3DF ，∴BE ⋅CE =4DF 2-BD2=5，BA ⋅CA =9DF 2-BD 2=15，∴DF 2=2,BD2=3，又∵BF =BD +DF ,CF =-BD +DF ，∴BF ⋅CF =DF 2-BD 2=-1，故答案为：-1．14(2024·江苏盐城·统考一模)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BE ⋅CE =2，BC =2，则BF ⋅CF =．【答案】-14/-0.25【解析】因为BE ⋅CE =BD +DE ⋅CD +DE =BD +DE ⋅-BD +DE=DE 2-BD2=2，又D 是BC 的中点，且BC =2，所以BD =1，代入上式得DE 2=3，所以DE=3，因为E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以DF =32，则BF ⋅CF =BD +DF ⋅CD +DF =BD +DF ⋅-BD +DF =DF 2-BD 2=34-1=-14，故答案为：-14.15(2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是.【答案】0,14【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-14，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，OP min =12，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，OP max =22，即12≤OP ≤22，因此，PM ⋅PN =PO 2-14∈0,14.故答案为：0,14.16(2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为.【答案】99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =83，GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°.BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP=12×sin60°=63，所以BE ⋅BFmin =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BF max =157-9=148，即BE ⋅BF 的取值范围为99,148 .故答案为：99,14817(2024·全国·高三专题练习)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的最小值为，最大值为.【答案】99148【解析】在BC 上取一点G ，使得BG =4，取EF 的中点P ，连接DG ,BP ，如图所示：则DG =83,GC =8，CD =82+83 2=16，tan ∠BCD =838=3，即∠BCD =60°，BE ⋅BF =14BE +BF 2-BE -BF 2 =142BP 2-FE 2 =BP 2-9，当BP ⊥CD 时，BP 取得最小值，此时BP =12×sin60°=63，所以BE ⋅BF min =63 2-9=99.当F 与D 重合时，CP =13，BC =12，则BP 2=122+132-2×12×13×12=157，当E 与C 重合时，CP =3，BC =12，则BP 2=122+32-2×12×3×12=117，所以BE ⋅BFmax =157-9=148，故答案为：99；148.18(2024·浙江杭州·高二校联考期中)在△ABC 中，AB =4,BC =5,AC =6，点M 为△ABC 三边上的动点，PQ 是△ABC 外接圆的直径，则MP ⋅MQ的取值范围是【答案】-9,0【解析】根据向量关系可得MP ⋅MQ =MO 2-R 2，即判断MO 2-R 2的取值范围即可，由图可知MO 的最大值为R ，最小值为R 2-9.设外接圆的圆心为O ，半径为R ，可得MP ⋅MQ =MO +OP ⋅MO +OQ =MO 2+MO ⋅OP +OQ +OP ⋅OQ =MO2-R 2，∵M 为△ABC 三边上的动点，可知MO的最大值为O 到三角形顶点的距离，即为半径R ，且MO的最小值为O 到AC 边的距离，过O 作OM 0⊥AC ，垂足为M 0，则OM 0 =R 2-32=R 2-9，∴MP ⋅MQ的最大值为R 2-R 2=0，最小值为OM 0 2-R 2==R 2-9-R 2=-9，故MP ⋅MQ的取值范围是-9,0 .故答案为：-9,0 .19(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知正△ABC 的边长为2，PQ 为△ABC 内切圆O 的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为.【答案】0,1【解析】先由正△ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ ，再结合OQ =-OP ，可得到MP ⋅MQ =MO 2-OP 2=MO 2-13，再根据图像利用临界值法，求出MP ⋅MQ的取值范围.如图所示，O 为正△ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在△BDO 中，BD =1，∠OBD =30°，可求得内切圆半径OD =33.又PQ 为圆O 的直径, ∴OQ =-OP，利用向量的线性表示可得，MP =MO +OP ，MQ =MO +OQ =MO -OP，∴MP ⋅MQ =(MO +OP )(MO -OP )=MO 2-OP 2=MO 2-13，又M 为△ABC 边上的动点，由图可知，当M 为△ABC 边的中点时，MO 最小为33，即MP ⋅MQ min =0；当M 为△ABC 的顶点时，MO 最大为233，即MP ⋅MQ max =1.∴MP ⋅MQ的取值范围为0,1 .故答案为：0,1 .20(2024·全国·高一假期作业)设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C，则三角形ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D ，如图所示：PB ⋅PC =PD +12BC ⋅PD -12BC =PD 2-14BC 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-14BC 2，∵PB ⋅PC≥P 0B ⋅P 0C ，∴PD 2-14BC 2≥P 0D 2-14BC 2∴PD ≥P 0D∴P 0D ⊥AB ，设O 为AB 的中点，∴P 0B =12OB ⇒P 0D ⎳OC ⇒OC ⊥AB ,∴AC =BC 即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 为顶角的等腰三角形．21(2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测)设直角△ABC ，P 0是斜边AB 上一定点．满足P 0B =16AB =1，则对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则斜边AB 上的高是．【答案】22【解析】取BC 中点D ，则PB ⋅PC =PD +DB PD +DC =PD 2+PD ⋅DC +DB +DC ⋅DB =PD 2-DB 2，同理P 0B ⋅P 0C =P 0D 2-DB 2，又PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，故PD 2≥P 0D 2，即PD ≥P 0D 恒成立，所以DP 0⊥AB .作CE ⊥AB ，则P 0为EB 中点，故EB =2P 0B =2，所以AE =4.又因为直角△ABC ，故CE 2=AE ⋅EB =8，所以CE =22，即斜边AB 上的高是22故答案为：2222(2024·河北保定·高一校联考期中)已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为．【答案】-12/-0.5【解析】由题意，正方体外接球的直径AB =3，设点O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，所以OA =-OB 且OA = OB =32，则PA ⋅PB =OA -OP ⋅OB -OP =OA ⋅OB -OA +OB ⋅OP +OP 2=OP 2-322由OP ≥12，所以PA ⋅PB 的最小值为12 2-32 2=-12．故答案为：-1223(2024·天津和平·统考二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，则AD +AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M ,N 分别是边BC ,CD 上的点，且满足BM BC =CNCD，则AM ⋅AN 的取值范围是.【答案】 54AB2,5【解析】在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，建立如图所示的直角坐标系，则B 2,0 ，A 0,0 ，D 12,32，C 52,32 ，AB =(2,0)，AC =52,32 ，AD =12,32 ，所以AD +AB =AC =52,32，所以(AD +AB )⋅AB =52×2+32×0=5，AB =2，所以AD +AB 在AB 上的投影向量为AD +AB ⋅AB AB ⋅ABAB=54AB ；设BM BC =CNCD=λ，λ∈0,1 ，则BM =λBC ，CN =λCD ，所以M 2+λ2,3λ2 ,N 52-2λ,32 ，所以AM ⋅AN =2+λ2,3λ2 ⋅52-2λ,32 =-λ2-2λ+5，因为λ∈0,1 ，函数y =-λ2-2λ+5的对称轴为λ=-1，所以y =-λ2-2λ+5在0,1 上单调递减，所以λ∈0,1 时，y =-λ2-2λ+5∈2,5 ，即AM ⋅AN 的取值范围是2,5 .故答案为：54AB；2,524(2024·天津南开·高三校考阶段练习)如图在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =8，AB =12，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若CE =3，则EA ⋅EB =；若CE =λCF 0≤λ≤1 ，则EA ⋅EB的最小值为.【答案】 13-36【解析】因为∠ABC =90°，BF =12AB =6，BC =8，则CF =BC 2+BF 2=10，当CE =3时，EF =7，此时EA ⋅EB =EF +FA ⋅EF +FB =EF -FB ⋅EF +FB =EF 2-FB2=72-62=13；EF =CF -CE =1-λ CF ，则EA ⋅EB =EF 2-FB 2=1-λ 2CF2-36≥-36，当且仅当λ=1时，等号成立，故EA ⋅EB的最小值为-36.故答案为：13；-36.。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
平面向量中的最值问题及求解策略
37图4ab 于是，当a I 2解：由已知有I a + tb2 cos 2^ 三2 cos 202 sin 20例2 已知丨石丨=3, I ACI = 5,则丨呢丨的a + tb)1例 1 已知a = (2,1),6 = (1,2),要使 Ib I cos 。
+ I a I 22019年第6期中学数学研究平面向量中的最值问题及求解策略广东省深圳市南头中学(518052) 田彦武b I ，则z = % + y.于是问题转化为：已知x,y 满足 rX 2 + y 2 = 10,|1W%W3,求z 的最大值和最小值.1 W y W 3,不等式组所确定的区域直线的距离等于半径，即汀阿所以—6^\a + b\ +1 a-b\的最小值是4,最大值是2点.解法8：同解法3或解法6可得丨a + b\ +\a-b I = 丿5 + 4cos0 + /5 - 4cos0，设％ =/5 + 4cos0 ,y = /5 - 4cos0，贝Q x + y 2 = 10,且lW%W3,lWyW3,设z=l a + 6 I +1 a - b \，则z = % +y,下同法6用线性规划思想方法求解，略.最值问题，因为其题型的多样性，解决方法的 灵活性和题目难度的综合性而受到高考的青睐，是 高考考察的重点和热点问题.平面向量是高中数学教材中的新增内容，它的引入,不仅给高中数学教学 带来了无限生机，而且给高考数学命题注入了新的活力，这是因为向量具有代数与几何形式的双重身份，它能将数学的很多知识联系起来，成为数学知识 的一个交汇点•本文主要探讨平面向量中的最值问题，和大家共享.1.向量模的最值问题(t +■，所以当 f = - -时,1 a +tb \ 最小，且最小值为点评:本题利用向量模的定义及向量数量积的坐标运算，转化为关于t 的二次函数来求模的最小 值.取值范围是_________•解：当為与花方向相同时，I BC\取最小值为2；当石与花方向相反时，I BC\取最大值为8,故I BC\的取值范围是[2,8],点评:本题利用模不等式I I a I -I 6 I I ^1 a -b \ ^\a\ +\b\来求最值,其中当：与了同向时，有\ a -b\ =\\a\ -\b\ \ ,即此时丨：-X 丨取得最小值；当a 与6反向时，有丨a - b \ = I a I +1 6 I,即此时丨a -b \取得最大值.例3已知了是两个给定的向量，它们的夹角为0,向量C 二a + tb(t w R),求I c I 的最小值,并求此时向量了与c 的夹角.解：因为 c = a + tb ,所以丨 c I 2 = I a + tb \ 2 =\ a \ 2 + 2ta • b + t 2 \ b I 2 =丨 b \2t 2 + 2t \ a I •遊=0,即 t = 一3 cose 时,I b 是图4中的劣弧忑,其中A(3,1),B(1,3).由图知当直线y 二_%+z 与直线4B 重合时，截距Z 二4最小；当直线y=-X + Z 与弧相切于点C时，截距z 最大，此时圆心到tb I 最小，则实数£的值为_________•=1 加(“3 cose ' + i ；|2I b38QO图24图即2.2aPQ\-\BCa • ba I I sin0 I ，此时有疋所以菇• CQ = (AP - AB) ■ (AQ - AC) = AP•AQ-AP-AC-AB-AQ-AB-AC = - a -AP -AC + AB - AP = - a +AP • (AB - AC)x , - y - b) ,BCcos (120° - aex - by .---- =^cx - by a2 +APOB = x OA • OB + y OB • OBQ( - x , - y),且丨 PQ I = 2a , I BC I = a,BP = (%c,y) ,CQ中学数学研究2019年第6期I c I 2取得最小值I a I 2 sin 20,即I c I 取得最小值¥ f v 严 I a I cos0 f 、 b ■ c = b ・(a — b )I b 1 a ' C °S0)b-b=\a\-\b\ cos 。
2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0C ．32D ．3解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝4，a 在b 方向上的投影是12，则a ·b＝________.解析：a 在b 方向上的投影是12，设θ为a 与b 的夹角，则|a |·cos θ＝12，a ·b ＝|a|·|b |·cos θ＝2.答案：2(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析：法一：(|a ＋b |＋|a －b |)2＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋2|a ＋b |·|a －b |＝2a 2＋2b 2＋2|a＋b |·|a －b |＝10＋2|a ＋b |·|a －b |，而|a ＋b |·|a －b |≥|(a ＋b )·(a －b )|＝|a 2－b 2|＝3，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2≥16，即|a ＋b |＋|a －b |≥4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.答案：4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1) 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________.解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD→|·|AE →|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3 解析：选D.设|CB →|＝x ，则|CA →|＝3|CB →|＝3x ，由于A ，B ，C 三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >23x ＋2>x x ＋2>3x，解得12<x <1，由余弦定理的推论得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝x 2＋9x 2－46x 2＝10x 2－46x2， 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝3x 2×10x 2－46x2＝5x 2－2， 由12<x <1得，－34<5x 2－2<3， 故选D.2.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.主要命题角度有：(1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 所以|a ＋b |2＝|a －b |2，两边平方 可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， 化简可得a ·b ＝0，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则可得cos θ＝（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b|a ＋b ||a |＝|a |22|a |2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3【解析】 法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?【解】 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. 所以k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】 因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0，即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．1．(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．解析：设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A ．54B ．154C ．174D ．174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.(2)|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4，(|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1，0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cosθ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：72．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． [基础达标]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0B ． 2C ．2D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a ·b <0则x >0，y >0B ．若a ·b <0则x <0，y <0C ．若a ·b >0则x <0，y <0D ．若a ·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a ·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ， DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝ACAD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|· cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[能力提升]1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12. 答案：①－1 ②5π124．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →|＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23， 当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →， 可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6， 则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32， 由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°.答案：2 3 30°5．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332， 设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
2021高考数学二轮专题复习专题二第3讲 平面向量数量积的最值问题
第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13， 当且仅当t ＝12时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13.(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________．答案 5－213解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≤θ≤2π3， 则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6， 当θ＝π2－φ时，PC →·PA →取得最小值，为5－213. 数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．答案 6解析 由AB →·AC →＝－1，得|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，当且仅当|AB →|＝|AC →|＝2时等号成立，所以|BC →|min ＝ 6.2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332. 以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72. 又D ⎝⎛⎭⎪⎫1，332， 所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132.所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132. 3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．答案 －54解析 不妨设e ＝(1,0)，a ＝(1，m )，b ＝(－2，n )(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n )，故|a ＋b |＝1＋(m ＋n )2＝2，所以(m ＋n )2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，则mn ≤34， 所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54， 当且仅当m ＝n ＝32时等号成立， 所以a ·b 的最大值为－54. 4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________． 答案 2解析 在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，所以|AB →|·|AD →|·cos A ＝－1，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°， 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，－12≤x ≤32， 因为MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－32，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ，－32， 所以MA →·MB →＝x (x －2)＋34＝x 2－2x ＋34＝(x －1)2－14. 设f (x )＝(x －1)2－14，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32， 所以当x ＝－12时，f (x )取得最大值2.。
平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合． 考点1、向量的模的范围例1、(1) 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,1,2==BC AD ,P 是腰DC 上的+的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0))((≤--c b c a b -+最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，βααβα≠≠01=，且α与αβ-的夹角为120°的取值范围是_____________ .变式：已知平面向量α，β满足||||1αβ==，且α与βα-的夹角为120︒，则|(1)2|t t αβ-+()t R ∈的取值范围是 ；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a →|2=a →2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法． 考点2、向量夹角的范围例2、已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB →夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PB PA ⋅的最小值为( ) (A) 24+- (B) 23+- (C) 224+- (D) 223+-(2)如右图，在梯形ABCD 中，DA=AB=BC =12CD =1.点P 在阴影区域（含边界）中运动，则AP →·BD→的取值范围是 ；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a →·b →=(a →+b →2)2-(a →-b →2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ⌒上变动.若OC →=xOA →+yOB →其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是（ ） A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（ ） A.14,p p B.13,p p C.23,p p D.24,p p2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满 足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．523、(201宁波市期末)在ABC∆中，D 为B C 中点，若120=∠A ，，则AD 的最小值是 （ ）A.21 B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O 是坐标原点，点A （－1,1）若点M （x,y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x ，上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[0，2]D ．[－1，2] 5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，P , Q 是正方 体内部及面上的两个动点，则PQ AM ⋅的最大值是（ ） A.21 B.1 C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量c b a ,,满足1==b a ，21-=⋅b a ，060,=--c b c a ，则c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．17、如图，在直角梯形ABCD 中，，动点P在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设，则的取值范围是( )O A BCEFxy A. B. C. D.8、（2012安徽卷）若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则b a ⋅的最小值是_____；9、已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为____ __；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形 内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅的最大值为 ；12、如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一 边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OD OC •的范围是 .11题图 12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ ；。
平面向量与复数专题培优课平面向量中的最值范围问题课件-2025届高三数学一轮复习
A．－12
B．－1
C．－2
D．－4
答案：B
题型三 与向量的模有关的最值(范围)问题
例 3 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，
则|c|的取值范围是( )
A．[ 2－1， 2＋1] B．[ 2－1， 2＋2]
C．[1， 2＋1]
D．[1， 2＋2]
答案：A
解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，且|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1， ∴作出图象如图，由图可知，|c|最小值为 2－1，最大值为 2 ＋1.故选A.
题后师说 与向量的模有关的最值(范围)问题的两种常用方法
(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直 角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式， 三角函数，再用求最值的方法求解；
巩固训练4 平面向量a，b满足|a|＝|b|，且|a－3b|＝1，则cos 〈b，3b－a〉的最 小值是________．
答案：2 2
3
1 ． 已 知 向 量a ， b ， c满 足a ＝(3 ，0) ，b ＝(0 ，4) ，c ＝λa ＋(1 －
λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为( )
A．56
答案：B
题后师说 与数量积有关的最值(范围)问题的两种常用解法
(1)坐标法：通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数 问题处理．
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、函数性质等有关知识 解决．
巩固训练2
[2024·山东滨州模拟]在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，
M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是( )
答案：C
与平面向量有关的最值或范围问题
与平面向量有关的最值或范围问题与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中,这类问题常和其他知识交汇考查,解法比较灵活,对能力要求较高,往往成为试卷中的亮点.本文总结解决这类问题的几种基本方法,供同学们参考.例1.若非零向量,a b 满足31-≤a b ,则⋅a b 的最小值为 . 【解析】31-≤a b 22961⇔+-⋅≤a b a b , 又22966+≥≥-⋅a b a b a b , 所以121-⋅≤a b ,112⋅≥-a b , 当132==a b ,且,a b 方向相反时取等号, 所以⋅a b 的最小值为112-.例2.若1===+=a b c b ,求()()-⋅-a c b c 的最小值.【解析】由,=+=a b a b 得2222+⋅+=a a b b ,即222+⋅=a b ,所以0⋅=a b ,又1=c ,所以()⋅+≤+=c a b c a b ,所以()()-⋅-a c b c =()2⋅-⋅++=a b c a b c ()11-⋅+≥c a b 当c 与+a b 方向相同时取等号,所以()()-⋅-a c b c 的最小值为1-.【点评】这两道题均在平面向量与不等式知识的交汇,试题新颖,解法灵活.-≤⋅≤a b a b a b 是数量积性质⋅≤a b a b 的等价转换,其应用往往被同学们忽略,注意例1是利用≥-⋅a b a b 利用进行缩小变换,例2是利用()⋅+≤+c a b c a b 进行放大变换,解决这类问题要紧盯目标,进行有目的的放缩.二、建立直角坐标系求最值或范围例 3.已知平行四边形ABCD 中,2,1,AB AD BD === ,,E F 分别在边,BC CD 上,BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r,求AE AF ⋅u u u r u u u r的最大值与最小值【解析】由2,1,AB AD BD ===60BAD ∠=o ,以A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则()2,0B ,52C ⎛ ⎝⎭,12D ⎛ ⎝⎭,由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2EB CF =u u u r u u u r ,设)()112E x x -,2,2F x ⎛ ⎝⎭,其中1522x ≤≤, 由BE CD CF BC =u u u r u u u r u u u r u u u r 可得2CF BE =u u u r u u u r 可得212142x x =-,所以AE AF ⋅u u u r u u u r =)1212x x x +-)11121422x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=2114123x x -+-=23462x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,所以当12x =时AE AF ⋅u u u r u u u r 取到最大值5,当152x =时AE AF ⋅u u ur u u u r 取到最大值2.例4.已知a ,b 均为单位向量,0,1⋅=⋅=⋅=a b a c b c ,求证：对任意正实数m,恒有m m++≥bc a 并指出等号成立的条件.【解析】由题意,可设()()()1,0,0,1,,x y ===a b c , 由1⋅=⋅=a c b c 可得11==y x ，,即()1,1=c , 所以11,1m m m m ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭b c a ,m m++≥=≥=bc a 当1m =时取等号.【点评】坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果（如例3）．另外,若题中由互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识问求解（如例4）.三、转化为三角函数求最值或范围例5.△ABC 中2π3ACB ∠=,△ABC 的外接圆O 的半径为1,若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r求x y -的取值范围. 【解析】由2π3ACB ∠=可得2π3AOB ∠=,设2π03AOC αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,则2π3BOC α∠=-, 则,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v即1cos ,221cos ,32x y x y απα⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以2121222πcos cos 3232333x y x y x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=221cos cos cos 332ααααα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 由2π03α<<可得ππ5π666α<+<, 根据cos y x =在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数,可得πcos 6α⎛⎫<+< ⎪⎝⎭, 所以x y -的取值范围是()1,1-.【点评】本题若直接从这一向量表达式出发去求x y -的最大值,显然有困难．该解法通过利用向量的数量积运算实现了用三角函数表示x y - ,进而巧妙利用三角函数的有界性求出x y -的取值范围,体现了三角函数的工具性.本题是把含,x y 的代数式借组向量用三角函数表示,有时也可以通过引进角,把向量的数量积表示为三角函数求最值或范围,请看例6:例6.已知△ABC 的外接圆O 的半径为2,CB CA =u u u r u u r,求CB CA ⋅u u u r u u r 的最小值.【解析】设COA α∠=,由CB CA =u u u r u u r可知COB α∠=,2AOB α∠=或2π2α-,所以4cos OC OA α⋅=u u u r u u u r ,4cos OC OB α⋅=u u u r u u u r ,4cos2OA OB α⋅=u u u r u u u r,所以()()CA CB OA OC OB OC ⋅=-⋅-=u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2OA OB OC OA OC OB OC ⋅-⋅-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=4cos24cos 4cos 4ααα--+=2218cos 8cos 8cos 22ααα⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2≥,当π3α=时取等号. 四、构造几何图形求最值或范围OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r例7.已知单位向量a ,b 满足a ⋅b ＝－12,向量c 满足()()12-⋅-=--a c b c a c b c ,求c 的最大值. 【解析】设向量a ,b ,c 的起点为O ,终点分别为A ,B ,C ,由a ·b ＝－12得△AOB ＝120°,由()()12-⋅-=--a c b c a c b c 得△ACB ＝60°, 所以点C 在△AOB 的外接圆上,当OC 经过圆心时,|c |最大,在△AOB 中,AB ＝3,由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°=2.所以c 的最大值为2.【点评】该解法是利用向量的几何意义,构造共圆的四点,再利用正弦定理去求解.由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识．五、利用基本不等式求最值或范围例8.已知△ABC 中,边BC 中点为D ,点E 在中线AD 上,若AD u u u r =4,求()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值.【解析】由边BC 中点为D ,可得2EB EC ED +=u u u r u u u r u u u r,因为点E 在中线AD 上,所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r =22cos π2EA ED EA ED EA ED ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2222822EA ED AD ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪≥-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,点E 为AD 中点时取等号, 所以()EA EB EC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为8-.【点评】本题根据,EA ED u u u r u u u r反向,把数量积转化为转化为长度之积,再利用基本不等式求最值,体现了向量与基本不等式的交汇,一般来说,要利用这种方法求最值,首先需要把数量积转化为正数的和或积,再利用)0,0a b a b +≥>>,22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()()2222a b a b +≤+求最值. 六、平面向量最值或范围练习题1．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=u u u r u u u r,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（） A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦ C．1⎤⎦D ．)1,+∞2．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为 （ ）A ．2116 B ．32C ．2516 D ．3 3．已知a b u r r 、均为单位向量，且0.a b ⋅=r r若435,c a c b -+-=r r r r 则c a +r r 的取值范围是（ ）A．3,⎡⎣B ．[]3,5C ．[]3,4D．5⎤⎦4．在锐角ABC V 中，602B AB AC u u u v u u u v ，=︒-=，则AB AC u u u v u u u v⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2 5．ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC ⋅=u u u r u u u r，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，则||AP uuu r的最大值是（ ）ABCD6．已知a r ， b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．7．如图,菱形ABCD 的边长为3,对角线AC 与BD 相交于O 点,|AC u u u rE 为BC 边(包含端点)上一点,则|EA u u u r|的取值范围是_____,EA ED ⋅u u u r u u u r的最小值为_____.8．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c ⋅r rr 的最大值为________.9．已知平面向量a b r r ，满足：2a b ==r r ，⊥r ra b ，22230-⋅+=r r r r b b c c ，则2a c +r r的最大值是__________．10．已知向量序列：1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，n a ⋅⋅⋅u u r ，⋅⋅⋅满足如下条件：12a =u r ，d =u r ，121a d ⋅=-u r u r ，且1(2,3,4,)n n a a d n --==⋯u u r u u u r r，则1a u r ，2a u u r ，3a u u r ，⋅⋅⋅，n a u u r ，⋅⋅⋅中第______项最小.【答案】1．C 【解析】法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,11d ≤≤． 故选:C2.A 【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，BD =(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u vAE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=233322t t -+(01)t ≤≤，所以当14t =时，上式取最小值2116，选A. 3.B 【解析】因为a b u r r 、均为单位向量，且0a b ⋅=r r ，所以设()1,0a =r，(0,1)b =r ，(,)c x y =r ，代入435,c a c b -+-=r r r r5=，即点(),x y 到点(4,0),(0,3)A B 的距离和为5，所以点(),x y 的轨迹是点(4,0),(0,3)之间的线段，线段AB 的方程为1(04)43x yx +=≤≤即34120(04)x y x +-=≤≤，c a +=r r(1,0)M -到线段AB 上点的距离，最小值为点(1,0)M -到线段34120(04)x y x +-=≤≤的距离，min31235c a--+==r r，最大值为5MA =.所以c a +r r的取值范围为[]3,5.故答案为：B.4.A 【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，△602B AB AC BC =︒-==u u u v u u u v u u u v，，△C ， 设0A x （，）△ABC V 是锐角三角形，△120A C +=︒，△3090A ︒︒＜＜，即A 在如图的线段DE 上（不与D E ，重合）， △14x ＜＜，则221124AB AC x x x u u u v u u u v （）⋅=-=--， △AB AC u u u v u u u v⋅的范围为012（，）． 故选A ．5.C 【解析】依题意510cos 25AB AC A ⋅=⨯=u u u v u u u v，1πcos ,23A A ==.由余弦定理得BC ==222AB BC AC +=，三角形ABC 为直角三角形.设35AD AB =，过D 作//DP AC '，交BC 于'P ，过'P 作//EP AB '，交AC 于E .由于()3255AP AB AC R λλ=-∈u u u v u u u v u u u v，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，P 点位于线段DP '上，由图可知AP u u u r 最长时为AP 'u u u v .由于π3,2,3AD BD CAB P DB ∠'==∠==，所以πtan 3BP BD '==.所以AP '==u u u v故选C.6.C 【解析】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．7.⎡⎣23 4.【解析】根据菱形性质可得OC=则BO=(1)作AF△BC,则AF==此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故AE≤≤,即|EAu u u r|△⎡⎣;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则AB(C(0,D,0),所以BC:y2x=-设E(m,2m-则2123,,22224EA ED m m m m⎛⋅=-+=++⎝⎭u u u r u u u r,其中m⎡⎤∈⎣⎦对称轴为m⎡⎤=⎣⎦,故当m=EA ED⋅u u u r u u u r最小,最小值为234.故答案为：；234．8.1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m=r()0,,b n m=r、n>0,(),c x y=r，△224mx nym n-=⎧⎨+=⎩，△a cc===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1，故答案为：1 9.6【解析】因为2a b ==r r ，⊥r ra b ，不妨令=u u u r r OA a ，OB b =u u u r r ，以OA u u u r 方向为x 轴，OB uuu r方向为y 轴，建立平面直角坐标系， 则(2,0)=r a ，(0,2)=r b ，设(,)==r u u u rc OC x y ，由22230-⋅+=r r r r b b c c 可得22860-++=y x y ，即22(3)1x y +-=， 所以向量rc 所对应的点(,)C x y 在以(0,3)N 为圆心，以1为半径的圆上运动，又2+=r r a c (,)C x y 与定点(4,0)M -之间的距离，因此max116=+==CMMN .故答案为610.5【解析】1n n a a d --=u u r u u u r r Q ，所以1(1)k a a k d =+-u u r u r r， 因为121a d ⋅=-u r r ，所以112a d ⋅=-u r r ，所以221(1)na a n d ⎡⎤=+-⎣⎦u u r u r u r 22211(1)2(1)a n d n a d =+-+-⋅u r u r r r214(1)(1)8n n =+---21(5)28n =-+.∴当5n =时，2n a u u r 取最小值2.故答案为：5.。
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平面向量与数量积有关的最值和范围问题
1. 已知i 与j 为互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
2. 在△ABC 中，若A ＝120°，AB → ·AC → ＝－1，则|BC → |的最小值是________．
3. (2019·南方凤凰台密题)在等腰直角三角形ABC 中，若AB ＝AC ＝2，P 为BC 的中点，
点M ，N 分别为AB ，AC 上的两个不同点，且|MN → |＝1，则PM → ·PN → 的最小值为________．
4. 在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB → ·AD → ＝－1，点M 在边CD 上，则
MA → ·MB → 的最大值为________．
5. 已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．
6. (2019·南京考前综合题)如图，在△ABC 中，若AE → ＝2EB → ，AD → ＝12
DC → ，且BD ⊥CE ，则cos A 的最小值为________．
(第6题)
7. (2019·长郡中学)已知AD 是△ABC 的中线，若AD → ＝λAB → ＋μAC → (λ，μ∈R )，A ＝120°，
AB → ·AC → ＝－2，则|AD → |的最小值是________．
8. (2019·苏州最后一卷)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3
的一段圆弧AB 上的一点，若AB → ＝2BC → ，则PC → ·P A → 的最小值为________．
(第8题)
9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别
为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上运动．若AP → ＝λED → ＋μAF → ，
其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．
(第9题)
10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．。