求曲线在点某处或过某点的切线方程
求函数在的切线方程和法线方程
求函数在的切线方程和法线方程
求函数在某一点的切线方程和法线方程是微积分中的基本问题之一。
在求解这个问题时，我们需要先求出函数在该点的导数，然后利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式或斜截式求出切线方程和法线方程。
我们来看一下什么是切线和法线。
在平面直角坐标系中，对于一条曲线上的某一点P，过该点的切线是与曲线在该点相切的直线，而过该点且垂直于切线的直线称为法线。
切线和法线的斜率分别是曲线在该点的导数和导数的负倒数。
接下来，我们来看一下如何求函数在某一点的切线方程和法线方程。
假设函数为y=f(x)，在点(x0,y0)处的导数为k，则该点的切线方程为：
y-y0=k(x-x0)
其中，k=f'(x0)。
如果我们已知函数在该点的导数，那么就可以利用点斜式求出切线方程。
而法线方程则是过点(x0,y0)且垂直于切线的直线的方程。
由于切线的斜率为k，所以法线的斜率为-k的倒数，即-k^-1。
因此，法线方程为：
y-y0=-k^-1(x-x0)
其中，k=f'(x0)。
同样地，我们可以利用点斜式求出法线方程。
需要注意的是，有些函数在某些点处不存在导数，此时无法求出切线和法线。
例如，函数y=|x|在x=0处不存在导数，因此在该点处无法求出切线和法线。
求函数在某一点的切线方程和法线方程是微积分中的基本问题之一。
在求解这个问题时，我们需要先求出函数在该点的导数，然后利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式或斜截式求出切线方程和法线方程。
(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线
利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；等价于，解得x，故解集为（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范围为：[1，+∞）（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，①设g（x）=，则∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ． （1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；三.切线与切线之间的关系 【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是 .23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，∴235sin()b c βϕ+=+，故a+c ∈[﹣，]，【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）设，求函数t （x ）在[m ，m+1]（m ＞0）上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，则，∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，∴x1=e，∴综上，a=0或．【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a ＜﹣．四．求公切线的方程【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x ）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x）=3e，f′（x）=g'（x）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．五.与公切线有关的参数取值范围问题【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得a=b=1．（Ⅱ）设P（x0，y），则由题设有lnx=ax2﹣x…①，又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x），∴，∴a=，代入①得lnx0=x，设h（x）=lnx ﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=+4a（lnt﹣1）=0，即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．∴正实数a的最小值为1．【例8】．（2017•韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②：=2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，当b=时，G（b）最大=G（）=e+﹣＜0，∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b ＜，综上所述，b 的取值范围（，）．【作业4】．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．六．公切线的条数问题【例9】．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）确定方程f（x）=实数根的个数；（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f （x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【作业5】．已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f （x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是．【作业1解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H （a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H （）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．【作业2解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x，f'（0）=0，所以f （x）=（ax2+x﹣1）e x．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x．①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．②若a=0，f（x）=（x﹣1）e x，f'（x）=xe x，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．，当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）；（2）证明：g（x）=e﹣x f（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）e x+lnx=ax2+x﹣1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e．由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），则．又，即，令，在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故．【作业3解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=﹣，由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0，∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）．因为f′（x）=，g′（x）=，所以分别以P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）为切线的切线方程为y=+lnx﹣1，y=+2﹣．令，即2lnx1+﹣（3+ln3）=0．令h（x）=2lnx1+﹣（3+ln3）．所以由h′（x）=﹣=0，得x1=3．显然，当0＜x1＜3时，h'（x）＜0，当x1＞3时，h'（x）＞0，所以h（x）min=ln3﹣1＞0，所以方程2lnx1+﹣（3+ln3）=0无解，故二者没有公切线．所以曲线y=f（x）和y=g（x）不存在公切线；（3）（1+1×2）（1+2×3）•…•（1+2012×2013）＞e4021．理由：由（1）可得lnx＞2﹣（x＞0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1））＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣），则ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+2012×2013）＞2×2012﹣3（1﹣+﹣+…+﹣）=4024﹣3+＞4021．即有（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）＞e4021．【作业4解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x），得=2x，即2x3﹣ax2+2x﹣a=0，即（x02+1）（2x﹣a）=0，则x=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x，y）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。
导数之切线题型归纳总结教师版
切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）； （5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值； （2）判断位置关系 （3）讨论方程的根的情况 （一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+． 总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程． 变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =， 所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1： 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2： 已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C． 【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题 题型一：公切点 例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ， 联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=， 设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点， 则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。
函数在某一点的切线方程的一般形式
函数在某一点的切线方程的一般形式
以P为切点的切线方程:y-f(a)=f'(a)(x-a);若过P另有曲线c的切线，切点为Q(b, f(b)), 则切线为y-f(a)=f' (b) (x-a), 也可y-f(b)=f' (b) (x-b), 并[f(b)-f(a)]/(b-a)=f (b)切线方程的一般表达式切线方程是研究切线以及切线的斜率方程,涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。
分析方法有向量法和解析法。
1、如果某点在曲线上:
设曲线方程为y=f(x), 曲线上某点为(a, f(a))求曲线方程求导,得到f(x),将某点代入,得到t'(a),此即为过点(a, f(a))的切线斜率,由直线的点斜式方程,得到切线的方程。
y-f(a)=f' (a) (x-a)
2、如果某点不在曲线上设曲线方程为y=f(x),曲线外某点为(a, b)求对曲线方程求导,得到t'(x)设:切点为(x0, f(x0)),将x0代入' (x),得到切线斜率t' (x0),由直线的点斜式方程,得到切线的方程y-f(x0)=f' (x0) (x-x0),因为(a, b)在切线上,代入求得的切线方程,有: b-f(x0)=f' (x0) (a-x0),得到x0,代回求得的切线方程,即求得所求切线方程。
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
两边对 ! 689h%
]求 导 曲 线 上 一 点
5 6% 8% 9%
处的
{ } 切向量为
#
;h
(6$ (9
(8 (8
注 )求解切线的过程中暗含了两种方法一种是建立求
解过程中的隐函数求导法把曲线看成关于 f 或 ]或 W 的参
数方程用参数式方程的结论曲线上一点 56% 8% 9% 处的切
!科技风 "#"$ 年 % 月
科教论坛 !"#$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)$$%%)%
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
张雪飞4宫 雷4王素云
陆军装甲兵学院基础部!北京!'$$$+%
摘4要本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧指出了六种常见的计算思路如参数方程法公 式法隐函数求导法边隐函数求导边代入点的方法利用切平面的法向量的向量积来求切向量 除此之外切线仍可看作两 个相交曲面在该点的切平面的交线 结合相关的题目用不同的方法作出解答
$ <!
$ <!
$ <!
当
$89 $96 $68
5
5
5
作公式来记忆
则在点 56% 8% 9% 有切线方程
6i6% h 8i8% h 9i9% $<! $<! $<! $89 5 $96 5 $68 5
在点 56% 8% 9% 有法平面方程
h%光滑曲线
(不能表示为
8h"6
9h#6
其中 f为参数 也就不能继续使用方程组两边对 f求导的
方法
此时若$ <! $ 96
双曲线在某点的切线方程
双曲线在某点的切线方程
双曲线是微积分中比较重要的几何曲线，其中包括双曲线的切线方程的概念。
双曲线的切线方程是建立在双曲线上的某一点处的切线的数学方程式。
双曲线的切线方程遵循一般的导数定理，可以得到：若双曲线的函数的表达式
为y=f(x)，那么某点c处的切线的方程可以表示为：y-f（c）=f'(c)（x-c），其
中f'(c)是函数在c点处的一阶导数。
另外，双曲线的切线方程还可以用参数化表示，令双曲线上某一点位于C(c,
f(c))，那么这条切线则可以参数化表示为：x=c+t，y=f（c）+f'(c)t，其中t为参数，它代表切点坐标与原点横坐标的距离。
同时，双曲线的切线还可以用双曲线函数表达式方程来表示，例如，假设双曲
线函数为x2y2-2y2+1=0，则某点C(c, f(c))处的切线方程为：x2(y-f(c))2-2(y-
f(c))2+1=0，可以把f(c)当作常量，对y求导得到：2xx2y'-2x2y'+2yy'-2y2'=0，整理式子，得到：(x2+2y)y'=2(x2-y)，令y'=k，则k=2x2-2y/x2+2y ，将此式代
入切线方程，即可得到所求的双曲线的切线方程。
总之，双曲线的切线方程可以用多种方式来求解，不论是使用一般的导数定理，还是使用参数化表示或是使用双曲线函数表达式来求解，都可以有效地解决双曲线的切线方程问题。
高考复习第二单元曲线的切线求法
．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 • 例4
1 0) 且与曲线 y 相切的 求过点 (2， x
直线方程．
1 解：设 P( x0，y0 ) 为切点,则切线的斜率为 y |x x0 2 ． x0 1 1 1 y y ( x x ) 2 ( x x0 ) ． ∴切线方程为 0 0 ，即 y 2
解：设 P( x0，y0 ) 为切点， 则切点的斜率为 y| ． 2 x 2 x x0 0 ∴ x0 1 ， 1) ． 由此得到切点 (1 故切线方程为 y 1 2( x 1) ， 即， 2 x y 1 0 故选Ｄ．
x0 1
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
则在(1,-1)点处率 k
即
y 3x 2
，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 • 例2 与直线 2 x y 4 0 平行且与抛物线 2 y x 切线方程是（ D ） Ａ． 2 x y 3 0 Ｂ． 2x y 3 0 Ｃ． 2 x y 1 0 Ｄ．2 x y 1 0
A．－e B．－1 C．1 (2)求下列函数的导数：
D． e
e ＋1 ① y＝ x ； e －1 1 ③ y＝ 4； （1－3x）
x
x x ②y＝x－sin cos . 2 2 ④y＝x 1＋x .
2
1 (1)解析 f′(x)＝2f′(1)＋x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
用导数求切线方程的四种类型
• 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 3 2 y x 3 x 1 在点 (1， 1) 处的切线 例1 曲线 方程为（ B ）
Ａ．y=3x-4 Ｂ．y=-3x+2 Ｃ．y=-4x+3 Ｄ．y=4x-5
切线法的名词解释
切线法的名词解释切线法是数学中一种常用的方法，用于确定曲线上某一点的切线。
在微积分中，切线被定义为曲线上通过该点且与曲线重合的直线。
切线法通过计算曲线的斜率来确定切线的方程。
本文将对切线法进行详细的解释，并探讨其在实际问题中的应用。
首先，我们来介绍切线法的基本原理。
切线的斜率可以通过计算曲线在该点的导数来确定。
导数表示了曲线在某一点的瞬时变化率，可以被视为曲线在该点的切线斜率。
所以，要确定曲线上某一点的切线，我们需要计算该点处的导数。
在实际计算中，切线法可通过求取函数在给定点的导数，得到切线的斜率，并根据斜率点斜式建立方程，从而确定切线的表达式。
举个简单的例子来说明切线法的应用。
考虑一条曲线y = x^2，在点(1, 1)处求其切线。
首先，我们求取曲线在该点的导数。
对y = x^2求导得到y' = 2x。
在点(1, 1)处，x的值为1，则导数的值为2。
因此，切线的斜率为2。
接下来，我们可以利用点斜式建立切线的方程。
根据点斜式，切线的方程为y - y1 = m(x - x1)，其中m为斜率，x1和y1为切点的坐标。
代入斜率和切点的坐标，切线的方程化简为y - 1 = 2(x - 1)。
这样，我们就求得了曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线方程。
切线法在数学研究中的应用非常广泛。
它不仅可以用于确定曲线的切线，还可以用于解决一些实际问题，尤其是涉及变化率的问题。
例如，在物理学中，切线法可以用来分析物体的运动轨迹。
通过计算物体在某一时刻的速度，即其位移关于时间的导数，我们可以确定物体在该时刻的运动方向和速度大小。
这样，我们就能够得到物体的切线和运动轨迹。
类似地，在经济学中，切线法可以用来研究市场的变化。
通过计算市场需求或供给曲线在某一点的导数，我们可以确定该点的价格弹性和需求/供给的变化率，从而分析市场的变化趋势和特征。
切线法还有一些进阶的应用。
例如，在数值计算中，切线法可以用来求取函数的根。
求曲线在某点的切线方程
求曲线在某点的切线方程
求曲线在某点的切线方程方法如下：
1、如果某点在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线上某点为(a，f(a))
求曲线方程求导，得到f'(x)，
将某点代入，得到f'(a)，此即为过点(a，f(a))的切线斜率，由直线的点斜式方程，得到切线的方程。
y-f(a)=f'(a)(x-a)
2、如果某点不在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线外某点为(a，b)
求对曲线方程求导，得到f'(x)
设：切点为(x0，f(x0))，
将x0代入f'(x)，得到切线斜率f'(x0)，
由直线的点斜式方程，得到切线的方程y-f(x0)=f'(x0)(x-
x0)，
因为(a，b)在切线上，代入求得的切线方程，
有：b-f(x0)=f'(x0)(a-x0)，得到x0，
代回求得的切线方程，即求得所求切线方程。
切线方程知识点总结
切线方程知识点总结切线的定义在解析几何中，切线是曲线在某一点的切线，它是曲线在该点处的局部近似，可以用直线来近似曲线的局部性质。
切线方程就是描述切线的数学表达式，它可以用来计算切线在给定点的斜率和截距，从而求出切线的具体位置和性质。
切线方程的方法1. 利用导数公式求切线方程对于给定的曲线，我们可以通过求导来求得曲线在某一点处的斜率，然后利用点斜式或斜截式来得到切线方程。
这种方法适用于曲线具有显式函数表达式的情况。
2. 利用参数方程求切线方程对于参数方程表示的曲线，我们可以分别对参数方程中的x和y求导得到切线的斜率，然后利用点斜式或斜截式来得到切线方程。
这种方法适用于曲线具有参数方程表示的情况。
3. 利用切线斜率和给定点求切线方程如果我们已知曲线上的某一点和该点处的切线斜率，我们可以直接利用点斜式来得到切线方程。
这种方法适用于已知曲线上的某一点和该点处的切线斜率的情况。
切线方程的性质1. 切线的方向和曲线的切点有关切线方程描述了曲线在某一点处的切线，因此切线的方向和曲线在该点的切点有密切的关系。
切线方程中的斜率描述了切线的方向，而切线方程中的截距描述了切线与坐标轴的交点，从而能够确定切线的具体位置和性质。
2. 切线斜率和曲线的导数有关对于显式函数表示的曲线，切线斜率可以通过曲线的导数来求得。
这说明切线和曲线的导数有着密切的关系，它们描述了曲线在某一点的局部性质和切线的方向。
3. 切线和曲线的性质有关切线是曲线在某一点的局部近似，因此切线和曲线的性质有着密切的关系。
曲线的凹凸性和曲率可以影响切线的位置和方向，因此切线方程可以用来描述曲线在不同点的局部性质。
切线方程的应用1. 空间几何中的切线方程在空间几何中，切线方程可以用来描述曲面在某一点处的切线，从而求得曲面的局部性质和切线的方向。
这对于理解空间曲面的性质和应用有着重要的意义。
2. 物理学中的切线方程在物理学中，切线方程可以用来描述曲线和曲面在某一点处的切线，从而求得曲线和曲面在该点的局部性质和切线的方向。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
![用导数求切线方程的四种类型[精选.]](https://img.taocdn.com/s3/m/61a637510740be1e650e9aff.png)
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
求函数在某一点的切线方程
求函数在某一点的切线方程在高中数学中，求函数在某一点的切线方程是一个重要的问题。
这个问题需要我们掌握一定的数学概念和运算技巧，以及能够熟练地应用它们去解决实际问题。
本文将从以下几个方面进行讲解：1. 切线的定义和性质2. 求解切线的方法和步骤3. 实例分析和应用一、切线的定义和性质在解决具体问题之前，先了解一下切线的基本概念。
切线是指在平面直角坐标系中，曲线上某一点上的一条直线。
它与曲线在该点处相切，并且与曲线在该点处的切点重合。
对于一条曲线来说，它在某一点的切线有以下几个基本性质：1. 切线与曲线在该点处相切，即切线的方向与曲线的切向量在该点处重合。
2. 切线在该点处与曲线的函数值相等，即切线与曲线在该点处有相同的纵坐标。
3. 切线的斜率等于曲线在该点处的导数，即切线的斜率可以用曲线的导数去求解。
二、求解切线的方法和步骤了解了切线的概念和性质之后，接下来我们将介绍如何求解一个函数在某一点的切线方程。
假设我们要求解函数y=f(x)在点P(x0 , y0)处的切线方程，具体步骤如下：1. 求解函数在点P处的导数f’(x0)，即曲线在该点处的切线斜率。
2. 根据点斜式，可得切线方程y-y0=f’(x0)(x-x0)。
3. 化简切线方程，将其转化为一般式Ax+By+C=0的形式。
这里需要特别注意的是，如果函数在某一点处的导数不存在，那么该点是函数的“转折点”或“拐点”，此时切线的存在性和斜率的求解都需要特殊处理。
三、实例分析和应用下面通过一些具体的案例来进一步加深对切线的理解和应用。
这些案例中，我们将以二次函数和三角函数为例，分别讲解如何求解其在某一点的切线方程。
1. 求解二次函数y=x^2-2x+1在点(2，1)处的切线方程。
首先求解导数f’(x)=2x-2，在点(2，1)处的导数值为2。
再利用点斜式，得到切线方程y-1=2(x-2)。
最后将其化简为一般式y=2x-3。
2. 求解三角函数y=sin(x)在点(π/6，1/2)处的切线方程。
过某点的切线方程怎么求例题
过某点的切线方程怎么求例题1. 切线的基本概念切线，哎，听起来就高大上，其实呢，它就像是在数学这个大海里一艘轻巧的小船，轻轻触碰某个点的瞬间，立马就飘走了。
想象一下，你在海边看日出，太阳刚好从海平面升起，那一刹那就是切线和曲线的关系。
切线的好处呢，就是它能够告诉我们在某一点上的变化率，也就是斜率，特别适合那些喜欢了解瞬间变化的小伙伴。
1.1 斜率的定义说到斜率，这玩意儿可有意思了！简单来说，斜率就是一条线的“倾斜程度”。
如果你把这条线想象成一条小溪，斜率就是水流的陡峭程度，流得急的地方，斜率就大；流得缓的地方，斜率就小。
数学上，斜率通常用字母 ( m ) 表示，我们可以用两个点来计算斜率，公式是：m = frac{y_2 y_1{x_2 x_1。
不过，今天我们讨论的切线，最主要的斜率就来自于导数。
别担心，这个导数听起来复杂，实际上一说就明白。
1.2 导数与切线的关系导数就像是数学里的“瞬间速度”，在某一点上的变化率。
假设你有个函数 ( y =f(x) )，你想知道在某一点 ( x_0 ) 的切线斜率，就得先求出导数 ( f'(x) )。
这样，我们就能得到切线在这个点的斜率，然后再用这个斜率来画切线，简单明了。
2. 求切线方程的步骤那么，求切线方程到底怎么做呢？其实，步骤并不复杂，跟做菜差不多，先准备好材料，再按部就班地来。
2.1 第一步：找到斜率第一步就是找到你想求切线的点，比如说，点 ( A(a, f(a)) )。
接下来，计算一下这个点的导数，得出切线的斜率 ( m = f'(a) )。
这一步就像是先把菜洗好，准备入锅。
2.2 第二步：利用点斜式方程有了斜率之后，就可以用点斜式方程来求切线方程了。
点斜式方程长这个样子：y f(a) = m(x a)把你求得的斜率 ( m ) 和点 ( A ) 的坐标代入进去，就能得出切线的方程。
这就像是把所有的材料放到锅里，最后煮出一锅香喷喷的菜，满满的都是成就感！3. 实际例题好啦，下面咱们来个实际的例子，保证让你一看就懂。
曲线过某点的切线方程
曲线过某点的切线方程切线方程是数学中一种重要的几何问题，它指的是过某点的曲线的切线方程。
切线方程有许多应用，例如用于求函数图像最近经过某点处的斜率，以及计算函数图像在某点处的曲率等。
在定义切线方程之前，我们需要熟悉一些有关曲线的基本概念。
曲线对数学领域来说是一个基本的概念。
在数学中，曲线是指一组相关方程式，它可以表示为三维空间或二维空间上的曲面或曲线，用于说明函数变化的规律。
曲线有各种类型，例如平面曲线、双曲线、椭圆形曲线、圆形曲线等等。
而切线方程则是研究如何通过一条曲线中的某一点获得曲线切线的几何问题，它的表达的形式是切点的法线方程。
要计算切线方程，我们必须知道曲线的函数方程，以及要求的求切线方程的点，并根据其函数方程以及点的坐标值，求解它的切线方程。
例如，设曲线的函数方程为 y=x^2-3x+2，给定某一点(2,2)，对于这个点，则曲线的切线则可以表示为：y=-2x+4。
这里，我们可以将y=-2x+4表示为“该曲线过某点(2,2)的切线方程”，而x=2， y=2 也表示为“过某点(2,2)”。
有了方程 y=x^2-3x+2，我们可以容易地求得曲线过点(2，2)的切线方程，即y=-2x+4。
要求解切线方程，我们必须求出该曲线在点(2，2)处的斜率，因此我们需要用求导法计算曲线的一阶导数：y=x^2-3x+2y'=2x-3由于我们需要求解切线方程，因此我们的求导的参照点为点(2，2)，即x=2。
由于y'=2x-3，当x=2时，y'=-1，因此，曲线在点(2，2)处的斜率为-1，此时，该曲线的切线方程为：y=-2x+4。
因此，在有关曲线的应用中，有时我们也需要知道在某点处曲线的切线方程。
虽然曲线切线方程的形式十分简单，但在解题过程中我们需要熟练掌握曲线函数，。
指数函数y=e的x方的图形在点(0,1)处的切线方程和法线方程
指数函数y=e的x方的图形在点(0,1)处的切线方程和
法线方程
求曲线y=e^x在点(0,1)处的切线方程和法线方程：
解：点(0,1)在曲线上，切线斜率k=y'=e^x=1
∴切线方程是y-1=1(x-0) y=x+1
法线的斜率k=-1
∴法线方程是y-1=-(x-0) y=-x+1
曲线的切线方程
1、如果某点在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线上某点为(a，f(a))
求曲线方程求导，得到f'(x)，
将某点代入，得到f'(a)，此即为过点(a，f(a))的切线斜率，由直线的点斜式方程，得到切线的方程。
y-f(a)=f'(a)(x-a)
2、如果某点不在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线外某点为(a，b)
求对曲线方程求导，得到f'(x)
设：切点为(x0，f(x0))，
将x0代入f'(x)，得到切线斜率f'(x0)，
由直线的点斜式方程，得到切线的方程y-f(x0)=f'(x0)(x-x 0)，
因为(a，b)在切线上，代入求得的切线方程，有：b-f(x0)=f' (x0)(a-x0)，得到x0，
代回求得的切线方程，即求得所求切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
求曲线在点某处或过某点的切线方程
1.求曲线在某点处的切线
例1．求曲线3
3y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程
分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。
由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数3
3y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程
解：由'
2
()33f x x =+，得切线的斜率为'
(2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+
归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。
可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程
解：由14
()2(21)2121
f x x x x ''=⨯
⨯+=
++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程
例2．已知曲线C ：3
()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'
2
()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。
错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的
2斜率
k 与'(1)f 不一定相等。
比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处
的切线
只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。
正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2
()31f x x =-，
得在点00(,)x y 处的斜率'2
00()31k f x x ==-，
有在点00(,)x y 处的切线的方程为
2000(31)()y y x x x -=--。
又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上，
有3
0002
00022(31)(1)
y x x y x x ⎧=-+⎪⎨-=--⎪⎩，消去0y 得32
0000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =-
，于是2k =或1
4
-， 所以所求切线方程为2y x =或19
44
y x =-+。
归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法
（1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。
（2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率
创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*。