2019年福州市质检理科数学试卷
福建省福州市2019届高三质检数学(理)试题
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试卷第1页,总21页2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟;满分150分)第Ⅰ卷1.设复数z 满足i 1i z ,则z 的共轭复数为A.1iB. 1iC.1iD.1i2.已知集合2213,20A x x Bx xx ,则A B U =A.12x xB.11x x C.211x x x ,或 D.1x x3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:参加场数0 1 2 3 4 5 6 7 参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%以下四个结论中正确的是A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本,则分段间隔为25 4.等比数列na 的各项均为正实数,其前n 项和为n S .若3264,64a a a ,则5S A. 32 B. 31C. 64D.635. 已知sinπ162,且2θπ0,,则π3cos=A. 0B.12C. 1D.326.设抛物线24y x 的焦点为F ,准线为l ,P 为该抛物线上一点,PAl ,A 为垂足.若直线AF的斜率为3,则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.32 B.16C.323D.8038.已知函数()2sinf x x0,图象的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数()f x 的图象向左平移3个单位长度后,得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数,则函数()f x 在区间0,2上的值域是A. 1,12B.1,1 C.0,2D.1,29. 已知g x 为偶函数,h x 为奇函数,且满足2xg x h x.若存在11x,,使得不等式0m g x h x有解,则实数m 的最大值为A.-1B.35C. 1D.35第7题图。
2019年福州市质检理科试卷与解答
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2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学(理科)试卷 (完卷时间:120分钟;满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-,则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -【简解】因为1i1i iz -==--,所以1+i z =-,故选A . 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<,则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>,或 D. {}1x x >- 【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<,所以{}1AB x x =>-,故选D .3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本,则分段间隔为25【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20,故选C . 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数,其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==,则5S =A. 32B. 31C. 64D.63【简解】解法一:设首项为1a ,公比为q ,因为0n a >,所以0q >,由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩,所以531S =,故选B .解法二:设首项为1a ,公比为q ,由226464a a a ==,又34a =,∴2q =,又因为214a q ⋅=所以11a =,所以531S =,故选B .5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 32【简解】解法一:由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得,π3θ=,代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得, πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=,故选C .解法二:由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得,π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选C . 6.设抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为该抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足.若直线 AF 的斜率为3-,则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 83【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3-, 2FQ =,60AFQ ∴∠=, 4FA =,又因为PA PF =,所以PAF △是边长为4的等边三角形,所以PAF △的面积为22334=4344FA ⨯=⨯.故选B . 解法二:设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n (,因为直线 AF 的斜率为3-, 2FQ =,60AFQ ∴∠=,所以23AQ =,所以23n =±,又因为24n m =,所以3m =,又因为4PA PF ==, 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯.故选B . 7.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三第7题棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12.故选D . 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数,则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以T =π,又因为0ω>,所以2ωπ=π,解得=2ω.0,ωϕ><π2,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.因为函数()g x 为偶函数,所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ,由ϕπ<2,解得 =6ϕπ- ,所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为02x π<<,所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-,故选D .9. 已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2xg x h x -=.若存在[]11x ∈-,,使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为A.-1B.35 C. 1 D. 35- 【简解】由()()2xg x h x -=,及()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,得()()2222,22x x x xg x h x --+==-.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++-,∵2141xy =-+为增函数,∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭,故选B .10.如图,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ,且Q 为2PF 的中点.若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距,则C 的离心率为A.22157-+ B. 23 C. 22157+ D.32【简解】连结1QF ,由条件知12QF PF ⊥,且22c QF =.由双曲线定义知122cQF a =+,在12Rt F QF △中,()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得C 的离心率22157e +=,故选C .11.如图,以棱长为1的正方体的顶点A 为球心,以2为半径做一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如,与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=.故选C. 12. 已知数列{}n a 满足11a =,()2122124n n n n n a a a na n ++=++,则8a =A.64892- B. 32892- C. 16892- D. 7892- 【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++,所以()22212411n n n na na n a n a +++=+, 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭, 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭,令2n n n b a =+,则21n n b b +=,两边取对数得1lg 2lg n n b b +=,又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,所以数列{}lg n b 是首项为lg 3,公比为2的等比数列. 所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=,所以123n n b -=,即1232n n n a -+=,从而1232n n na -=-,将8n =代入,选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++,所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+, 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭, 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭,令2n n n b a =+,则21n n b b +=,因为13b =,所以223b =,所以()224333b ==,所以()248433b ==,…,所以7264839b ==。
福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
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2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟:满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式,求出集合A,之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得,所以,又,所以,故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算,属于简单题目.2.已知复数满足,则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则,求出复数z,再应用复数的模的运算公式,求得结果.【详解】由,得,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则,还有复数的模,属于简单题目. 3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式求出函数的导函数,把代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分别令和,求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解. 【详解】由题意得,所以,则在点处的切线斜率为, 所以切线方程为:,即,令,得,令,得,所以切线与坐标轴围成三角形的面积, 故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线的切线方程,直线方程的点斜式,三角形的面积公式,熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 4.已知等差数列的前项和为,且,,则A. 20B. 40C. 60D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等差数列的性质,以及题中所给的条件,求得,之后应用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】等差数列中,前n 项和为,且, 因为由等差数列的性质可知,所以,故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题,涉及到的知识点有等差数列性质,等差数列的求和公式,属于基础题目.5.给出下列说法:①“”是“”的充分不必要条件;②定义在上的偶函数的最大值为30;③命题“,”的否定形式是“,”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①,利用充分不必要条件的定义判读其正确性,对于②,利用偶函数的定义求得参数的值,结合二次函数的性质,求得其最大值,得出其正确性,对于③,应用特称命题的否定形式,判断其是否正确,即可得结果.【详解】对于①,当时,一定有,但是当时,,所以“”是“”的充分不必要条件,所以①正确;对于②,因为为偶函数,所以,因为定义域为,所以,所以函数的最大值为,所以②正确;对于③,命题“,”的否定形式是“,”,所以③是错误的;故正确命题的个数为2,故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题,涉及到的知识点有充分必要条件的判断,偶函数的性质,含有一个量词的命题的否定,考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程,再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可建立几何量之间的关系,从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,将圆化为标准方程得,所以其圆心为,半径为2,根据题意,可得圆心到直线的距离等于半径,即,整理得,因为,所以有,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程,直线与圆相切的条件,双曲线中之间的关系,双曲线的离心率,属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分别为3、3,则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值为48.【详解】初始值,程序运行过程如下表所示:,,,,,不满足条件,跳出循环,输出的值为48,故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题,在解题的过程中,注意在什么情况下跳出循环,属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个侧面中,面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图,还原几何体,得出其为底面是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,利用面积公式求得各个侧面的面积,比较大小得出结果.【详解】分析其三视图,可以确定该几何体是底面是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是;;;;利用面积公式求得各侧面的面积,比较大小可知最大的是,故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题,涉及到的知识点有利用三视图还原几何体,判断侧面三角形的形状,比较各三角形面积的大小,属于中档题目.9.已知点是内部一点,且满足,又,,则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心,根据重心的性质得出的面积与面积的关系,利用向量的数量积公式,求出三角形两邻边的乘积,据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为,所以O为的重心,所以的面积是面积的,因为,所以,因为,所以,所以,所以的面积为1,故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题,涉及到的知识点有三角形的重心的性质,向量的数量积运算,三角形的面积公式,属于中档题目.10.已知函数,将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图像向上平移1个单位长度,得到函数的图像,若,则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简,求得的解析式,之后根据图象变换的原则,求得的解析式,根据,得到和都是函数的最大值3,从而得出的值为周期的整数倍,求得结果.【详解】由题意得,所以,所以的最小正周期为,由,可知和都是函数的最大值3(或都是最小值-3),所以的值为周期的整数倍,所以其最小值为,故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题,涉及到的知识点有三角式的化简,三角函数的图象变换,函数的最值,函数的周期,熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图,函数的图像为两条射线,组成的折线,如果不等式的解集中有且仅有1个整数,那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f(x)的分段函数式,由条件可得a≥x2﹣x﹣f(x),令g(x)=x2﹣x﹣f(x),画出g(x)的图象,结合图象可得a的范围.【详解】根据题意可知f(x),不等式f(x)≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f(x),令g(x)=x2﹣x﹣f(x),可得g(x)的大致图象,如图所示,又g(0)=﹣2,g(1)=﹣1,g(﹣1)=2,∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数,则﹣2≤a<1,即a取值范围是{a|﹣2≤a<1}.故选:B.【点睛】本题考查直线方程的求法,含参不等式的解法,注意运用分离法,考查数形结合思想方法,属于中档题.12.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件,结合函数的定义域,对不等式进行变形,之后将恒成立问题转化为最值来处理,利用导数研究函数的单调性,求得函数的最大值,从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立,因为,所以不等式可化为:恒成立,令,,可求得当时,,当时,,所在上单调增,在上单调减,所以,所以的取值范围是,故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题,在解题的过程中,将恒成立问题转化为最值问题,构造新函数,利用导数研究函数的最大值,再者就是利用题的条件,大于其最大值,可以到正无穷,只有A项满足条件,从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年福建省普通高中毕业班质量检查(数学理)
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2019年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),本试卷共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时,将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。
4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式:样本数据1x ,2x ,…,n x 的标准差:x =,其中x 为样本平均数; 柱体体积公式:V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高;锥体体积公式:13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高; 球的表面积、体积公式:24S R π=,343V R π=,其中R 为球的半径。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的。
1.已知复数+i1ia z =-(a R ∈,i 为虚数单位),若是纯虚数...,则实数....a 等于.. A .12B .12-C .1D .-12.已知向量(30)a =,,(01)b =,,若a b λ-与2a b +共线,则实数的λ值为 A .1B .-1C .12D .12-3.等比数列{}n a 中,135a a +=,2410a a +=,则68a a +等于 A .80B .96C .160D .3204.设α、β、γ是三个不重合的平面,m 、n 为两条不同的直线。
给出下列命题: ①若n ∥m ,m α⊂,则n ∥α;②若α∥β,n β⊄,n ∥α,则n ∥β; ③若β⊥α,γ⊥α,则β∥γ;④若n ∥m ,n ⊥α,m ⊥β,则α∥β。
福建省福州市2019届高三上学期教学质量抽测理科数学(解析版)
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离心率为( )
3
A.
2
6.答案:A
2
B.
3
6
C.
2
9
D.
4
解析:双曲线的渐近线方程为 y b x ,即 bx ay 0 ,圆 x2 y2 6 y 5 0 化为标准方程是 a
x2 ( y 3)2 4 ,若渐近线与此圆相切,则
3a
3a
c3
2 ,即 e .
a2 b2 c
a2
p
p
2p 1 1 2
则 AF
, BF
, AB
, ;
1 cos
1 cos
sin2 AF BF p
(4)以 AB 为直径的圆与其准线相切,以 AF 为直径的圆与 y 轴相切.
16.函数
f
(x)
cos 2x
(sin
x
cos
x)
在区间 0, 2
上单调递增,则实数
的取值范围是
.
16.答案:[ 2, )
边);
2 2 2 (4) OA OB OC O 为△ABC 的外心;
(5)若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的内心;
AB AC
(6)若 AP
AB
AC
, [0, ) 点 P 的轨迹经过△ABC 的垂心;
AB cos B AC cos C
8.某个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个侧面中,面积最大的侧面的面积为( )
1
正视图 2
1 侧视图
1 俯视图
A. 2
B.1
3
C.
2
6
D.
2
8.答案:D
福建省2019届高三质量检查数学试卷(理)
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准考证号 姓名(在此试卷上答题无效)保密★启用前普通高中毕业班质量检查理 科 数 学注意事项:1.本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。
4.考试结束或,将本试卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知复数z 满足z i z ,21-=为z 的共轭复数,则()2016z z -等于A.20162B.20162-C.i 20162D.i 20162-(2)已知全集为R ,集合{},086|121|2≤+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x,则=)(B C A RA.{}20|<≤x xB.{}42|≤≤x xC.{20|<≤x x 或}4>xD..{20|≤<x x 或}4≥x(3)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺(4)已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F,P 为C 上一点,若,4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3,则点F 的坐标为A.(-1,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(-2,0)(5)执行如图所示的程序框图,则输出的k 值为A.7B.9C.11D.13(6)现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为A.101 B.51 C.103 D.52(7)如图,网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是A.π6B.π7C.π12D.π14(8)()622--x x 的展开式中2x 的系数等于 A.-48 B.48 C.234 D.432(9)设x ,y 满足,0223010⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥y x y ax y 若2210y x x z +-=的最小值为-12,则实数a 的取值范围是A.21-≤a B.23-<a C. 21≥a D.23<a (10)已知A,B,C 在球O 的球面上,AB=1,BC=2, 60=∠ABC ,直线OA 与截面ABC 所成的角为 30,则球O 的表面积为 A.π4 B.π16 C.π34D.π316 (11)已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2,当0>x 时,()0≤x f ,则实数a 的取值范围为 A.0>a B.10≤<a C.1≥a D.1≤a(12)已知数列}{n a 的前n 项和为,,,046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ,成等比数列,12221-2,++n n n S S S ,成等差数列,则2016a 等于A.1008-B.1009-C.21008D.21009第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2019届高三第三次(5月)质量检测数学(理)试题(wor版,图片答案)
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第6题福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学理科注意事项:1.本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分;2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小出的四个选项中只有一项是符合题目求的。
1.已知集合2={|230},{|11}M x x x N x x+-<=-≤≤,则=M N⋂( )A.{|31}x x-<≤ B. {|11}x x-≤< C. {|11}x x-<≤ D. {|31}x x-≤<2.已知复数z满足(z()34)25ii+=-,则|z|=( )B.C.3D.3.已知等比数列{}n a满足1,n na a+<且24320,8a a a+==,则数列{}na的前10项的和为( )A.1022B.1024C.2046D.20484.已知向量(2,1),(m,1)a b==-,且2),b a b⊥-(则m的值为( )A.1B.3C.1或3D.45.已知不等式组0208xy≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域为M,记直线4y x=与曲线3y x=在第一象限内围成的封闭图形为D.若随机从M内取一个点,则该点取自D内的概率为( )A.58B.12C.13D.146.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3+B. 3+C. 2D.2+7.执行如图所示的程序框图,若输人1a=时,运行输出的结果为m则4(1)mx-展式中第3项的系数为( )A.24B.6C.-6D.-248.已sin(026)()t tαπ+>=,则2cos()3sin()26πααπ-+的取值范围是( )A.( 1.1]- B.0+∞(,) C.(,1)-∞, D.(,1]-∞第12题9.若,y 满足约束条件2101010x y x y x y -+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩,则2y z x +=的取值范围为( ) A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.42][,)3(-∞-+∞, C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ D. 4]([2,)3-∞-+∞, 10.已知O 为坐标原点,过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作一条直线,与圆222=x y a +相切于点T ,与双曲线右支交于点P ,M 为线段FP ,则|MF||OM||TF |-=() A.4B.2D.2 11.数列{}n a ,满足*121111(1)(1)(1),n n n N a a a a ---=∈,记n b =,则数列{}n b 的最大项是( )A.8bB. 7bC.6bD. 5b12.如图所示,四边形ABCD 和BEFC 是两个边长为1的正方形,点P 是边BC 上的一个动点设CP =x ,函数)(.g x AP PF +=函数()f x 满足()1()f x x f =+ 且当1][0.x ∈时())(f x g x =,则函数()cos22y f x x π=+-在区间[0.3]内的零点之和为( )A.3B.5C.7D.9二填空题:本题共4小题每小题5分共20分13.已知函数()()2x x f -,则不等式(lg )0f x >的解集为 。
福建省福州市2019届高三毕业班3月质检数学理
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2019年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷(完卷时间:120分钟;满分:150分)第I卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题•每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的•1•已知集合A={( x,y)|y=lgx}, B={(x,y)|x=a},若A A B= 一,则实数a的取值范围是( ).A. a<1B. a< 1C. a<0D. a< 02•“实数a=1 ”是“复数(1 ai)i ( a€ R ,i为虚数单位)的模为2 ”的().A.充分非必要条件B.必要非充分条件3.4.5. C.充要条件执行如图所示的程序框图D.既不是充分条件又不是必要条件,输出的M的值是( )开始J 」—►M=2―►i=1A . 2B. -11c.—命题” x R,使得f (x )二xA. _X R,都有f (x)二XC. —x R,都有f (x) = x是i<5?否”的否定是B.不存在x -D. x R,使输出MR,使f (x) x已知等比数列{a n}的前n项积为二n,若a3 d a8A.512B.256C.81i=i+1M 二结束).D.166.如图,设向量OA = (3,1),OB =(13),若OC =入OA +卩OB,且入》卩> 1,则用阴影表示C点所9.若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x), f(2- x)=f(x), 且当x € [0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数A. f(x)=x+sinxB. f (x ) =cos x xC.f(x)=xcosx兀3兀D.f (x )= x(--)(-云)8.已知F i 、22x yF 2是双曲线—22 " (a>0,b>0)的左、右焦点a b,若双曲线左支上存在一点 P 与点F 2关于直线y =■ bx对称”则该双曲线的离心为().a、5A.-2B. 5C.2D.2H(x)= |xej —f(x)在区间[—3,1]上的零点个数为()3210.已知函数f (x )=x +bx+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x € (0,1)时取得极大值,当x € (1,2)时取极小值,则1 2 2(b -) (c- 3)的取值范围是().2nH x(-1) sin 2n,x [2n,2n 1)9f(x)二-2,(n N)n ' :1z x(-1)n 1sin 2n 2,x [2 n 1,2 n 2)I. 2若数列{a m }满足 a m = f (m )(m N ),且的前 m 项和为 S m ,则 S 2014 - S 2006 = _____________2三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.A •(旦,5)B. .5,5)2C. (37,25)4D.(5,25)第H 卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为(用数字作答)12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 ____________ .2 213.若直线 x - y • 2 =0 与圆 C: (x -3) • (y -3) =4 相交于 A 、两点,则CA CB 的值14.已知某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的表面积为15.已知函数A.5B.4C.3D.216. (本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:甲地乙地8 01 2 4 7 8 8 92 0 0 1 2(优质品件数/总件数);规定:当产品中的此种元素含量羽5毫克时为优质品(I )试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(n )从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数■的分布列及数学期望E().17. (本小题满分13分)已知函数f (x) = 2cos2x 2、3sin xcosx(x R)..(I)当[0,—]时,求函数f(x)的单调递增区间;2(n)设ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c = 3, f(C)=2,若向量m=(1,sinA)与向量n = (2,sinB)共线,求a,b 的值.18. (本小题满分13分)如图,直角梯形ABCD中,.ABC =90°AB = BC二2AD=4,点E、F分别是AB、CD的中点,点G在EF上,沿EF将梯形AEFD翻折,使平面AEFD丄平面EBCF .(I)当AG+ GC最小时,求证:BD丄CG ;(n)当2V B- ADGE = V D-GBCF时,求二面角D- BG- C平面角的余弦值.19. (本小题满分13分)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x= —1相切.(I)求动圆圆心C的轨迹方程;(H)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为:-和一:,①当:;亠= _时,求证直线AB恒过一定点M;2②若很亠卩为定值v(0 ::: v :::二),直线AB是否仍恒过一定点若存在,试求出定点的坐标;若不存在请说明理由•20. (本小题满分14分)1已知函数f (x) = In (x+ ) -ax,其中a R且a = 0a(I)讨论f (x)的单调区间;(n)若直线y二ax的图像恒在函数f (x)图像的上方,求a的取值范围1(川)若存在为:::0 , x2• 0 ,使得f (x1) = f (x2) = 0 ,求证:x1 x2 0.a21. 本题设有(1 )、(2)、( 3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做, 则按所做的前两题计分•作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中•(1) (本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换.3 3^一£已知矩阵A= 若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为S = ,属于特征值1的一个特征JC d丿<1丿曰一*3 \向量a = .1-2丿(I)求矩阵A的逆矩阵;(n)计算A3的值•<4丿(2) (本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为(I)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 I 的普通方程 (n)若 P( - 2,-4),求 |PM|+|PN| 的值.(3) (本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x — 4|+|x - 3|,(I)求f(x)的最小值 m(n)当 a+2b+3c=m(a,b,c € R)时,求 a 2+ b 2+c 2的最小值.2019年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 —10 DABCA DCBBD16.解:(1)甲厂抽取的样本中优等品有乙厂抽取的样本中优等品有(II) 的取值为1, 2, 3. .......................... 5分v -4cosr ,直线I 的参数方程为(t 为参数),两曲线相交于M,N 两点.11.9612.1/313.014.18+ 2.3 cm 2 15.80427件,优等品率为—.10 左848件,优等品率为10 51 21 7 7 12故 的数学期望为(E ') 1 — 2 — 3 —二一 ........................... 13分15 15 15 517.解:(l) f (x) = 2cos 2 x . 3sin 2xA JIJ[ JI令-2k ?x z 2x2k 二,k Z ,26 22兀 n 兀 兀解得 2k … _2 x 岂 2k 二-即 k 二-一 一 x 一 k 二■一 ......... 4 分3 3 3 6JIJI■/[0,-]< f(x)的递增区间为[0,6】........... 6分 二二 1(n )由 f (C ) =2sin(2C —)1=2,得 sin(2C —)二—6 6 213二二 5二,’而C 0,二,所以2C,亘,所以2C 得C8分616 6 丿6P( =1)C8C2Cwi15P(C 1015 P ( =3)C83 10715= cos2x 、、3si n2x 1 =2sin2xsin A sin B1 26 3因为向量 m =(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线,所以a 1由正弦定理得:一=—① ................ 10分b 2由余弦定理得:c 2 = a 2 - b -2abcos —,即 a 2+b 2— ab=9 ② ........ 1 2分 3k =1即 EG=1 .............................. 8 分 T设平面DBG 的法向量为m =(X, y, Z ), •/ G(0,1,0),由①②解得a = ... 3, b = 2』313分18•解:(I )证明:•••点E 、F 分别是AB 、CD 的中点J EF//BC 又/ABC=90 °J AE 丄 EF , :•平面 AEFD 丄平面 EBCF ,J AE 丄平面 EBCF , AE 丄EF , AE 丄BE , 又 BE 丄 EF ,如图建立空间坐标系E - xyz. ........................... 2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G ,此时点G 使得AG+GC 最小.1EG= — BC=2,又•/ EA=EB =2 .2则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),J =( -2,2,2),CG=(-2,-2,BD 丄 CG ...................... 5 分(n )解法一:设 EG=k,:AD //平面EFCB ,.点D 到平面EFCB 的距离为即为点 A 到平面EFCBC1=1 一2 V=AE — (7 k )又V ADGES四形ADGE3?B E=3(2' 2V B- ADGE = V D- GBCF ,'4 23(2 k)=3(7 -k),的距离..BG =(—2,1,0), BD =(—2,2,2),…h BD =0 2x+2y + 2z = 0 则: ,即n 1 BG =0 -2x y =04取 x = 1,则 y = 2,z = — 1,A n =(1,2, -1)...................... 10 分由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角(n )解法二:由解法一得 EG=1,过点D 作DH _ EF,垂足H,过点H 作BG 延长线的垂线垂足 O ,连接 OD. T 平面 AEFD 丄平面 EBCF,. DH _平面EBCF , OD _ OB,所以三DOH 就是所求 的二面角D- BG- C 的平面角 ..... ........ 9分2由于HG=1,在也OHG 中OH =三匸5 ,DH 又 DH=2,在:DOH 中 tan . DOH 511分OH所以此二面角平面角的余弦值为 丄6. .................. 1:分619. 解:(I )设动圆圆心 M(x,y),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=— 1为准线的抛物线 ........ 2分 其方程为y 2=4x.- ................ 3分(n )设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2).2 2由题意得X 1枚2(否则■-二二)且X 1X 2丰(则X 1二丫1, X 2二匹44所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将 y=kx+b 与 y 2=4x 联立消去 x,得 ky 2— 4y+4 b=0面BCG 的一个"(0,0,1)则 cos<I m II r )2| 所以此二面角平面角的余弦值为13分mm >=4 4b由韦达定理得 Yi 亠y 2 =—, y 1 y 2 = ------------- ................ 6分k k① 当= _时,tan : tan 1: =1所以上上二1,也 - ym = 0 , .................................. 7分2X i x 2—b 所以y i y 2=16,又由※知:y i y 2=—-所以b=4k;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+ 4k,所以直线AB 恒 k过定点(一4,0)............ 8分■J T② 当.::■ 为定值”0 ::: V :::二)时若二=—,由①知,2直线AB 恒过定点 M (— 4,0) ............... 9分 当';_ 时,由「• - _ J ,得 tan J - tan (芒-1:,)=24所以直线AB 恒过定点(-4,) ............ 12分tan 6所以当二-2时,直线AB 恒过定点(—4,0).,「"兀4当时直线AB 恒过定点(-4,) . ........... 13分2tan 日120. 解:(I)f(x)的定义域为(-一,;).a1其导数f (x) = —- a =1 x +a1① 当a ::: 0时,f '(x) • 0 ,函数在(-丄,;)上是增函数; 2分atan”:亠 tan : 1 - tan : tan :4( % y 2) y i y 2 -16将※式代入上式整理化简可得此时,直线AB 的方程可表示为4b- 4 ky=kx + 4 k ,所以b= 4k11分2a xax+ 11②当a 0时,在区间(-,0) 上, f'(x) 0;在区间(0,+ m)上,f'(x):::0 .a1所以f(x)在(-一,0)是增函数,在(0,+ m )是减函数. ....... 4分a1(II)当a :::0时,取x = e -a1 1 1则f (e ) = 1 -a(e ) = 2 -ae 0 ae -1 = a(e ),不合题意.a a a2」1当 a . 0时令 h(x) = ax 一 f (x),则 h(x)=2ax_ln(x ) ...................... 6 分a问题化为求h(x) 0恒成立时a 的取值范围•1 .2a(x+p 由于h(x) =2a牛 ......... 7分1 1 xx -aa1 1 i.在区间(-,-)上,h '(x) 0 ;在区间(-一,•::)上,h '(x ) 0 .a 2a 2a1 1-h(x)的最小值为h( ),所以只需h( ) 02a 2a1 1 1 1 e即 2a () -ln()0, ln1, a .................... 9 分2a2a a 2a21 (川)由于当a :: 0时函数在(-一,;)上是增函数,不满足题意,所以a 0a1 构造函数:g(x)二 f (-X )- f(x)( x :: 0) a1 1.g (x)二 ln( x)「ln(x ) 2ax ........................... 11 分a a,/、1 1小2ax小则g(x ^^-^2^v^::0贝 y x xx 2a aa、 11所以函数g(x)在区间(一一,0)上为减函数.T 一一 £捲£0,则g(xj > g(0) = 0,a a于是 f (- xj- f (x )> 0,又 f (xj = 0,f (- xj> 0= f(X 2),由 f (x)在(0,址)上为减函数可知21. (1)(本小题满分7分)选修4-2 :矩阵与变换2 3 一 ~ 3-(3 d ) • 3d - 3c = 0的两个根为6和1,c+d = 6 1 = 2 3 3" ,.A =、3c — 2d = -2 d = 42 4解:(I )法一:依题意, x 2 -x 1.即 x x 2 014分所以A 4「3■'■■■ -'d丄3 3)故 d=4,c=2.- A =............. 2 分<2 4丿(2)(本小题满分7分)选修4-4 :坐标系与参数方程.解:(I )(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x,直线I 的普通方程x — y — 2=0. (4)x = _2+空 t| +42y _ _4 I. 2代入y 2=4x,得到t 2 -12J2t + 48 =0,设M,N 对应的参数分别为t i ,t 2则 11 ' 12 =12 \2,11t 2 - 48所以 |PM|+|PN|= |t i +t 2|= 12.2 ............. 7 分 (3))(本小题满分7分)选修4-5 :不等式选讲解:(I )法 1: f(x)=|x — 4|+|x — 3|> |(x — 4)— (x — 3)|=1, 故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分A 3-1法二:A 2 -14=2 X633 A分*3、 |429〕.严丿= 1434丿152r— J 4 22」A3—13伦7 129 丫-1电6 130^4巾5 21 丫3 3) 〔87 129、14 22 人2 4 丿(86 130 y7分(n )直线I 的参数方程为(t 为参数),2x - 7, x _ 4法2: f (x ) = * 1,3 兰x< 4 . ----------------- 1分1-2 x, x v 3x> 4 时,f(x) > 1;x<3 时,f(x)>1,3 < x<4 时,f(x)=1, ----------------- 3 分故函数f(x)的最小值为1. m=1. ............. 4分2 2 2 2 2 2 2(n )由柯西不等式(a +b +c )(1 +2 +3 )泊+2b+3c) =1 ------------------ 5 分1故a2+b2+c2> - ............... 6 分14113当且仅当a二一,b二-,c —时取等号........7分14 7 14。
2019年福州市高三下学期第二次市质检理科数学试卷(word版,有答案)(2021年整理)
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2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟;满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 1i -+设复数z 满足i 1i z ⋅=-,则z 的共轭复数为A 。
B. 1i + C 。
1i -- D. 1i -2。
已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<,则A B = A. {}12x x << B 。
{}11x x -<< C 。
{}211x x x -<<>,或 D. {}1x x >-3。
中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现。
为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D 。
福州市2019届5月高三综合质量数学理科试题含答案(WORD版)

2019年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试(完卷时间:120分钟;满分:150分)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分 考生注意:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知全集为R ,集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->,则()M N =R ð (A ){1,1,2}-(B ){1,2}(C ){4}(D ){}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+,则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+(0A >)在π3x =处取得最小值,则(A )π()3f x +是奇函数 (B )π()3f x +是偶函数(C )π()3f x -是奇函数 (D )π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中,5AB AC ⋅=,4BA BC ⋅=,则AB = (A )9 (B )3 (C )2 (D )15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响,施工期间的年降水量X (单位:mm )对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示:在降水量X 至少是100的条件下,工期延误不超过15天的概率为 (A )0.1 (B )0.3 (C )0.42 (D )0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个,则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 20030X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3(A )2- (B )32-(C )12-(D )127、执行右面的程序框图,若输入n 值为4,则输出的结果为 (A )8 (B )21 (C )34(D )558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数为(A )45 (B )60(C )90(D )1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128,则下列结论正确的是 (A )n ∀∈*N ,12n n n a a a ++… (B )n ∃∈*N ,212n n n a a a +++=(C )n ∀∈*N ,1n n S a +< (D )n ∃∈*N ,312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是E左支上一点,112PF F F =,直线2PF 与圆222x y a +=相切,则E 的离心率为 (A )54(B )3(C )53(D )23311、一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积等于 (A )2 (B )423(C )433(D )312、设m ∈R ,函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-.若存在0x 使得01()5f x …成立,则m = (A )15(B )25 (C )35(D )45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数,则实数a = .14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 .正视图 侧视图俯视图212215、抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点M ,过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点,则tan AMB ∠= .16、数列{}n a 的前n 项和为n S .已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=,则100S =________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,已知tan 21tan A cB b+=. (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若BC 边上的中线22AM =,高线3AH =,求ABC ∆的面积. 18、(本小题满分12分)为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).(Ⅰ)(i )请根据图示,将2×2列联表补充完整;(ii )据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学 科成绩与性别有关”?(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率. 附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.19、(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P ABCD -的底面是梯形,且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ,E 是PB 中点,12CD PD AD AB ===. (Ⅰ)求证:CE ⊥平面PAB ;(Ⅱ)若3CE =,4AB =,求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 20、(本小题满分12分)优分 非优分总计 男生 女生总计 50 ()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中,已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-.直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积是14-.记点P 的轨迹为Γ. (Ⅰ)求Γ的方程; (Ⅱ)已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ,轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ,求MQ NQ的值.21、(本小题满分12分)已知a ∈R ,函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切. (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)当1x >时,()(1)ln f x m x x >-,求实数m 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示,ABC ∆内接于圆O ,D 是BAC 的中点,∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F .(Ⅰ)求证:BF 是ABE ∆外接圆的切线;(Ⅱ)若3AB =,2AC =,求22DB DA -的值.23、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数).以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系.(Ⅰ)写出1C 的极坐标方程;(Ⅱ)设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ,射线π3θ=(0ρ>)分别与1C 和3C 交于A ,B 两点,求||AB . 24、(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)设关于x 的方程1||||x t x m t-++=(0t ≠)有解,求实数t 的值.2019年福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分60分. (1)A (2)D (3)B (4)B (5)D (6)C (7)C (8)D (9)C (10)C (11)A (12)B 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分20分.(13)12- (14)8π (15)43 (16)198三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分12分.解:(Ⅰ)因为tan 21tan A c B b +=,所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=, ······················ 2分 即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=, 因为sin()sin 0A B C +=≠,sin 0B ≠,所以1cos 2A =, ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈,所以π3A =. ····························································· 5分(Ⅱ)由M 是BC 中点,得1()2AM AB AC =+,即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅,所以2232c b bc ++=,① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅,得332bc a =,即2bc a =,② ····························································· 9分 又根据余弦定理,有222a b c bc =+-,③ ·············································· 10分联立①②③,得2()3222bcbc =-,解得8bc =.所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==. ·············································· 12分(18)本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想、化归与转化思想.满分12分. 解:(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整如下:······································································································ 2分 假设0H :该学科成绩与性别无关,2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯, 因为3.125 2.706>,所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关.·············································································································· 6分(Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率.··············································································· 7分 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,优分人数为X ,则X 服从二项分布(3,0.4)B , ································································································ 9分 所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=. ···································································································· 12分(19)本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分.(Ⅰ)证明:取AP 的中点F ,连结,DF EF ,如图所示.因为PD AD =,所以DF AP ⊥. ··························································· 1分 因为AB ⊥平面PAD ,DF ⊂平面PAD , 所以AB DF ⊥.又因为AP AB A =,所以DF ⊥平面PAB . ········································································ 3分 因为点E 是PB 中点,所以//EF AB ,且2ABEF =. ······························································ 4分又因为//AB CD ,且2ABCD =,所以//EF CD ,且EF CD =, 所以四边形EFDC 为平行四边形,所以//CE DF ,所以CE ⊥平面PAB . ··················································· 6分 (Ⅱ)解:设点O ,G 分别为AD ,BC 的中点,连结OG ,则//OG AB , 因为AB ⊥平面PAD ,AD ⊂平面PAD , 所以AB AD ⊥,所以OG AD ⊥. ·························································· 7分 因为3EC =,由(Ⅰ)知,3,DF = 又因为4AB =,所以2AD =,所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形,所以PO AD ⊥, 因为AB ⊥平面PAD ,PO ⊂平面PAD , 所以AB PO ⊥.又因为AD AB A =,所以PO ⊥平面ABCD .········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直,可以点O 为原点,分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向,优分 非优分 总计 男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -,如图所示.(0,0,3)P ,(1,2,0),(1,0,0)C D --,13(,2,)22E ,所以(1,0,3)PD =--,(1,2,3)PC =--,33(,0,)22EC =--, ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ,则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =,则(3,0,1)=-n , ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α,则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n , ···················································· 11分 因为π[0,]2α∈,所以π6α=,所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6. ············································· 12分(20)本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等.满分12分. 解法一:(Ⅰ)设点P 坐标为(),x y ,则直线AP 的斜率2AP yk x =+(2x ≠-); 直线BP 的斜率2BP yk x =-(2x ≠). ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-(2x ≠±), ······················································· 3分 化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=(2x ≠±). ····································· 4分(注:没写2x ≠或2x ≠-扣1分)(Ⅱ)设()00,P x y (02x ≠±),则220014x y +=. ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++,令4x =,得点M 纵坐标为0062M yy x =+; ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--,令4x =,得点N 纵坐标为0022N yy x =-; ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-,由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. ············· 8分 由0∆=,得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,整理得22220000214y kx y k x k -+=+. 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得004x k y =-, ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--.令4x =得,点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===.··········································································································· 10分设MQ QN =λ,所以()Q M N Q y y y y -=-λ,所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ. ······················································· 11分 所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ.将220014x y =-代入上式,002+(2+)22x x-=-λ,解得1=λ,即1MQNQ=. ··········································································· 12分解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设()00,P x y (02x ≠±),则220014x y +=. ············································ 5分 直线AP 的方程为()0022y y x x =++,令4x =,得点M 纵坐标为0062M yy x =+; ······ 6分 直线BP 的方程为()0022y y x x =--,令4x =,得点N 纵坐标为0022N yy x =-; ······· 7分 设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-,由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. ············· 8分 由0∆=,得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦,整理得22220000214y kx y k x k -+=+. 将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得004x k y =-, ·· 9分 所以切线方程为()00004xy y x x y -=--.令4x =得,点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===.··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---, ············· 11分 所以Q 为线段MN 的中点,即1MQ NQ=. ······················································ 12分(21)本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解:(Ⅰ)()1e x f x a -'=-,设切点为0(,0)x , ················································· 1分依题意,00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-.当1x <时,()0f x '<;当1x >时,()0f x '>.故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞,单调递增区间为(1,)+∞. ························· 5分 (Ⅱ)令()()(1)ln g x f x m x x =--,0x >.则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-,令()()h x g x '=,则1211()e ()x h x m x x-'=-+, ··············································· 6分(ⅰ)若12m …,因为当1x >时,1e 1x ->,211()1m x x+<,所以()0h x '>,所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增.又因为(1)0g '=,所以当1x >时,()0g x '>, 从而()g x 在[1,)+∞上单调递增,而(1)0g =,所以()0g x >,即()(1)ln f x m x x >-成立. ······························· 9分(ⅱ)若12m >,可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增.因为(1)120h m '=-<,211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++,所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+,使得1()0h x '=,且当1(1,)x x ∈时,()0h x '<,所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减,又因为(1)0g '=,所以当1(1,)x x ∈时,()0g x '<, 从而()g x 在1(1,)x 上单调递减,而(1)0g =,所以当1(1,)x x ∈时,()0g x <,即()(1)ln f x m x x >-不成立.纵上所述,k 的取值范围是1(,]2-∞. ····················································· 12分请考生在第(22),(23),(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.(22)选修41-:几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分10分.解:(Ⅰ)设ABE ∆外接圆的圆心为O ',连结BO '并延长交圆O '于G 点,连结GE , 则90BEG ∠=︒,BAE BGE ∠=∠.因为AF 平分∠BAC ,所以=BF FC ,所以FBE BAE ∠=∠, ························ 2分 所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒, 所以O B BF '⊥,所以BF 是ABE ∆外接圆的切线. ······································ 5分(Ⅱ)连接DF ,则DF BC ⊥,所以DF 是圆O 的直径,因为222BD BF DF +=,222DA AF DF +=, 所以2222BD DA AF BF -=-. ································································ 7分 因为AF 平分∠BAC ,所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'ECODF BA所以AB AFAE AC=,所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠,所以FBE ∆∽FAB ∆,从而2BF FE FA =⋅, 所以22AB AC AF BF ⋅=-,所以226BD DA AB AC -=⋅=. ····························································· 10分 (23)选修44-;坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分10分.解:(Ⅰ)将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α,化为普通方程为22(2)4x y -+=,即221:40C x y x +-=, ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=,得24cos ρρθ=, ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ······························································ 5分(Ⅱ)将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=,所以3C 的方程为221x y +=.········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=,所以||1OB =.又π||4cos 23OA ==,所以||||||1AB OA OB =-=. ········································································ 10分(24)选修45-:不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 解:(Ⅰ)由|3|21x x +<+得,3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分 解得2x >. 依题意2m =. ·························································································· 5分(Ⅱ)因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…,当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号, ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=(0t ≠)有实数根,所以12t t+…. ························································································ 8分另一方面,12t t+…, 所以12t t+=, ························································································ 9分 所以1t =或1t =-. ·················································································· 10分。
(完整)2019年福州市高三下学期第二次市质检理科数学试卷(word版,有答案)
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19.(12 分) 最近,中国房地产业协会主办的中国房价行情网 调查的一份数据显示,2018 年 7 月,大部分一线 城市的房租租金同比涨幅都在 10%以上.某部门
研究成果认为,房租支出超过月收入 1 的租户“幸 3
第 18 题 图
福指数”低,房租支出不超过月收入 1 的租户“幸 3
A. 2 3
B. 4 3
C.8 D. 8 3
7. 如图,网格纸上的小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几 何体的三视图,则该几何体的体积为
第 7 题图
数学(理科)试卷第 1 页,共 5 页
32
A.32 B.16 C.
3
80
D.
3
8. 已知函数
f (x) 2sinx
0,
图
象的相邻
两条对称轴
福指数”高.为了了解甲、乙两小区租户的幸福指 数高低,随机抽取甲、乙两小区的租户各 100 户
进行调查.甲小区租户的月收入以0,3 ,3,6 ,6,9 ,9,12 ,12,15(单位:千元)
分组的频率分布直方图如上: 乙小区租户的月收入(单位:千元)的频数分布表如下:
数学(理科)试卷第 3 页,共 5 页
2019 年 福 州 市 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 测
数学(理科)试卷
(完卷时间:120 分钟;满分 150 分) 第 Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1. 1 i 设复数 z 满足 i z 1i ,则 z 的共轭复数为 A. B. 1 i C. 1 i D. 1 i
,则 a8
福建省福州市2019届高三质检数学(理科)试题及答案
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2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟;满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足i 1i z ⋅=-,则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<,则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>,或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本,则分段间隔为25 4.等比数列的各项均为正实数,其前项和为.若3264,64a a a ==,则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D.z z {}n a n n S6.设抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为该抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足.若直线 AF的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 7.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数,则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9.已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2xg x h x -=.若存在[]11x ∈-,,使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为A.-1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图,双曲线的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ,且Q 为2PF 的中点.若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距,则的离心率为A.B. 23C. D.3211.如图,以棱长为1的正方体的顶点A正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 第7题图第10题图第11题图A.34πC. 32πD.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =,()2122124n n n n n a a a na n++=++,则8a =A.64892-B.32892-C.16892-D.7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知两个单位向量,a b r r,满足a b += ,则与的夹角为__________.14.已知点()0,2A ,动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩,则PA 的最小值是.15. ()()2511ax x +-的展开式中,所有x 的奇数次幂项的系数和为-64,则正实数a 的值为__________. 16.已知函数()2e()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12分)ABC △的内角,,的对边分别为,,.若角,,成等差数列,且b =(1)求ABC △的外接圆直径; (2)求a c +的取值范围.ab A B C a bc A B C如图,四棱锥P ABCD -,//AB CD ,90BCD ∠=︒,224AB BC CD ===,PAB △为等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,Q 为PB 中点. (1) 求证:AQ ⊥平面 PBC ; (2)求二面角B PC D --的余弦值.第18题最近,中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示,2018年7月,大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上.某部门研究成果认为,房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低,房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高.为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低,随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查.甲小区租户的月收入以[)03,,[)36,,[)69,,[)912,,[]1215,(单位:千元)分组的频率分布直方图如上:乙小区租户的月收入(单位:千元)的频数分布表如下:(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立,记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元,乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率,求M 的概率;(2)利用频率分布直方图,求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数;(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元.请根据条件完成下面的22⨯列联表,并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.附:临界值表参考公式:2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20. (12分)已知圆O :222x y r +=,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径,且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点12D ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线l 与圆O 相切,且与C 相交于,A B 两点,求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.21. (12分) 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ,2m 12e e ()x g x x +=-. (1)求函数()f x 的单调区间;(2)若0a <,[]12,0,e x x ∀∈,不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数m 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-:坐标系与参数方程] (10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数,a ∈R ).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点,直线与曲线C 交于,A B 两点.(1)求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)当AB OP =时,求a 的值.23.[选修45-:不等式选讲] (10分) 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. (1)求集合;(2)设实数,a M b M ∈∉,证明:1ab a b +≤+.xOy l x l l M2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟;满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足i 1i z ⋅=-,则的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i - 【简解】因为1i1i iz -==--,所以1+i z =-,故选A . 2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<,则A B U = A. {}12x x << B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>,或 D. {}1x x >-【简解】因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<,所以{}1A B x x =>-U ,故选D .3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本,则分段间隔为25 【简解】A 中的m 值应为12; B 中应为380人; C 是正确的; D 中的分段间隔应为20,故选C . 4.等比数列的各项均为正实数,其前项和为.若3264,64a a a ==,则5S =A. 32B. 31C. 64D.63z z {}n a n n S【简解】解法一:设首项为1a ,公比为q ,因为0n a >,所以0q >,由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩,所以531S =,故选B .解法二:设首项为1a ,公比为q ,由226464a a a ==,又34a =,∴2q =,又因为214a q ⋅=所以11a =,所以531S =,故选B . 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1D. 【简解】解法一:由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得,π3θ=,代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得,πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 01=,故选C .解法二:由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得,πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,故选C . 6.设抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为该抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足.若直线 AF 的斜率为PAF △的面积为A.B. C.8D. 【简解】解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF的斜率为,2FQ =,60AFQ ∴∠=o,4FA =,又因为PA PF =,所以PAF △是边长为4的等边三角形,所以PAF △224FA =B . 解法二:设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n (,因为直线 AF的斜率为2FQ =,60AFQ ∴∠=o ,所以AQ =n =±24n m =,所以3m =,又因为4PA PF ==, 所以PAF △的面积为11422PA n ⨯⨯=⨯⨯B . 7.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.803【简解】由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12.故选D . 8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数,则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2- 【简解】由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,所以T =π,又因为0ω>,所以2ωπ=π,解得=2ω.0,ωϕ><π2,将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后,得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.因为函数()g x 为偶函数,所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ,由ϕπ<2,解得=6ϕπ- ,所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 因为02x π<<,所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-,故选D . 9.已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2xg x h x -=.若存在[]11x ∈-,,使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为A.-1B.35 C. 1 D. 35-第7题【简解】由()()2xg x h x -=,及()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,得()()2222,22x x x xg x h x --+==-.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++-,∵2141x y =-+为增函数,∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭,故选B . 10.如图,双曲线的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ,且Q 为2PF 的中点.若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距,则的离心率为A. B. 23C. D.32【简解】连结1QF ,由条件知12QF PF ⊥,且22c QF =.由双曲线定义知122cQF a =+,在12Rt FQF △中,()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得的离心率27e +=,故选C .11.如图,以棱长为1的正方体的顶点A球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A.34πC. 32πD.94π【简解】正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如,与上底面截得的弧长是以1A 为圆心, 1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=.故选C.12. 已知数列{}n a 满足11a =,()2122124n n n n n a a a na n++=++,则8a =A.64892- B.32892- C.16892- D.7892-【简解】因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++,所以()22212411n n n n a na n a n a +++=+, 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C C 第10第11题图所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭, 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭,令2n n nb a =+,则21n n b b +=,两边取对数得1l g 2l g n n b b +=,又111l g l g 2l g 3b a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,所以数列{}lg n b 是首项为lg 3,公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=,所以123n n b -=,即1232n n n a -+=,从而1232n n n a -=-,将8n =代入,选A.法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++,所以()22212411n n n na na n a n a +++=+, 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭, 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭,令2n n n b a =+,则21n n b b +=,因为13b =,所以223b =,所以()224333b ==,所以()248433b ==,…,所以7264839b ==。
【市级联考】福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学(理科)试题(解析版)
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2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学(理科)试卷(完卷时间:120分钟:满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先解绝对值不等式,求出集合A,之后利用交集的定义求得结果.【详解】由解得,所以,又,所以,故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的交集的概念及运算,属于简单题目.2.已知复数满足,则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则,求出复数z,再应用复数的模的运算公式,求得结果.【详解】由,得,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则,还有复数的模,属于简单题目.3.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据求导公式求出函数的导函数,把代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化简,分别令和,求出切线与坐标轴的交点坐标,再代入面积公式求解.【详解】由题意得,所以,则在点处的切线斜率为,所以切线方程为:,即,令,得,令,得,所以切线与坐标轴围成三角形的面积,故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与坐标轴围成三角形面积问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线的切线方程,直线方程的点斜式,三角形的面积公式,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.4.已知等差数列的前项和为,且,,则A. 20B. 40C. 60D. 80【答案】B【解析】【分析】首先利用等差数列的性质,以及题中所给的条件,求得,之后应用等差数列的求和公式求得结果.【详解】等差数列中,前n项和为,且,因为由等差数列的性质可知,所以,故选B.【点睛】该题考查的是有关等差数列的求和问题,涉及到的知识点有等差数列性质,等差数列的求和公式,属于基础题目.5.给出下列说法:①“”是“”的充分不必要条件;②定义在上的偶函数的最大值为30;③命题“,”的否定形式是“,”.其中正确说法的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】对于①,利用充分不必要条件的定义判读其正确性,对于②,利用偶函数的定义求得参数的值,结合二次函数的性质,求得其最大值,得出其正确性,对于③,应用特称命题的否定形式,判断其是否正确,即可得结果.【详解】对于①,当时,一定有,但是当时,,所以“”是“”的充分不必要条件,所以①正确;对于②,因为为偶函数,所以,因为定义域为,所以,所以函数的最大值为,所以②正确;对于③,命题“,”的否定形式是“,”,所以③是错误的;故正确命题的个数为2,故选C.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题个数的问题,涉及到的知识点有充分必要条件的判断,偶函数的性质,含有一个量词的命题的否定,考查的都是基础.6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】A【分析】先将圆的方程化为标准方程,再根据双曲线的两条渐近线均和圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可建立几何量之间的关系,从而可求双曲线离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,即,将圆化为标准方程得,所以其圆心为,半径为2,根据题意,可得圆心到直线的距离等于半径,即,整理得,因为,所以有,所以,故选A.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程,直线与圆相切的条件,双曲线中之间的关系,双曲线的离心率,属于中档题目.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分别为3、3,则输出的值为A. 143B. 48C. 16D. 5【答案】B【解析】由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值为48.【详解】初始值,程序运行过程如下表所示:,,,,,不满足条件,跳出循环,输出的值为48,故选B【点睛】该题考查的是有关程序框图的输出结果的问题,在解题的过程中,注意在什么情况下跳出循环,属于简单题目.8.某个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个侧面中,面积最大的侧面的面积为A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据题中所给的几何体的三视图,还原几何体,得出其为底面是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,利用面积公式求得各个侧面的面积,比较大小得出结果.【详解】分析其三视图,可以确定该几何体是底面是直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,并且根据题中所给的数据可以断定四个侧面分别是直角三角形,从而可以求得该四棱锥的四个从侧面的直角边长分别是;;;;利用面积公式求得各侧面的面积,比较大小可知最大的是,故选D.【点睛】该题考查的是有关棱锥侧面的面积大小问题,涉及到的知识点有利用三视图还原几何体,判断侧面三角形的形状,比较各三角形面积的大小,属于中档题目.9.已知点是内部一点,且满足,又,,则的面积为A. B. 3 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】据向量的平行四边形法则判断出点O为三角形的重心,根据重心的性质得出的面积与面积的关系,利用向量的数量积公式,求出三角形两邻边的乘积,据三角形的面积公式求出面积.【详解】因为,所以O为的重心,所以的面积是面积的,因为,所以,因为,所以,所以,所以的面积为1,故选C.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积问题,涉及到的知识点有三角形的重心的性质,向量的数量积运算,三角形的面积公式,属于中档题目.10.已知函数,将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标保持不变;再把所得图像向上平移1个单位长度,得到函数的图像,若,则的值可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式和辅助角公式对函数解析式进行化简,求得的解析式,之后根据图象变换的原则,求得的解析式,根据,得到和都是函数的最大值3,从而得出的值为周期的整数倍,求得结果.【详解】由题意得,所以,所以的最小正周期为,由,可知和都是函数的最大值3(或都是最小值-3),所以的值为周期的整数倍,所以其最小值为,故选B.【点睛】该题考查的是有关两个变量的差值的问题,涉及到的知识点有三角式的化简,三角函数的图象变换,函数的最值,函数的周期,熟练掌握相关公式是正确解题的关键.11.如图,函数的图像为两条射线,组成的折线,如果不等式的解集中有且仅有1个整数,那么实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得f(x)的分段函数式,由条件可得a≥x2﹣x﹣f(x),令g(x)=x2﹣x﹣f(x),画出g(x)的图象,结合图象可得a的范围.【详解】根据题意可知f(x),不等式f(x)≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f(x),令g(x)=x2﹣x﹣f(x),可得g(x)的大致图象,如图所示,又g(0)=﹣2,g(1)=﹣1,g(﹣1)=2,∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数,则﹣2≤a<1,即a取值范围是{a|﹣2≤a<1}.故选:B.【点睛】本题考查直线方程的求法,含参不等式的解法,注意运用分离法,考查数形结合思想方法,属于中档题.12.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题中的条件,结合函数的定义域,对不等式进行变形,之后将恒成立问题转化为最值来处理,利用导数研究函数的单调性,求得函数的最大值,从而求得结果.【详解】根据题意可得恒成立,因为,所以不等式可化为:恒成立,令,,可求得当时,,当时,,所在上单调增,在上单调减,所以,所以的取值范围是,故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立的问题,在解题的过程中,将恒成立问题转化为最值问题,构造新函数,利用导数研究函数的最大值,再者就是利用题的条件,大于其最大值,可以到正无穷,只有A项满足条件,从而很容易求得结果.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2019年福州市普通高中毕业班质量检测
数学(理科)试卷 (完卷时间:120分钟;满分150分)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-,则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -
2.已知集合{}
{}
2213,20A x x B x x x =+>=--<,则A B U = A. {}
12x x << B. {}
11x x -<< C. {}211x x x -<<>,或 D. {}
1x x >-
3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶,是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化,某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:
参加场数
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10
B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人
C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人
D. 若采用系统抽样方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本,则分段间隔为25 4.等比数列
{}n a 的各项均为正实数,其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==,则5S =
A. 32
B. 31
C. 64
D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭,且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭
= A. 0 B.
12 C. 1 D. 32
6.设抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为该抛物线上一点,PA l ⊥错误!未找到引用源。
,A 为垂足.若直线 AF 的斜率为3-,则PAF △的面积为
A. 23 错误!未找到引用源。
B. 43
C.8
D. 83
7.如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几
何体的三视图,则该几何体的体积为
第7题图
A.32
B.16
C.
323 D.803
8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛
⎫
><
⎪2⎝
⎭
图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,将函数()f x 的图象向左平移3
π
个单位长度后,得到函数()g x 的图象.若函数()g x 为偶函数,则函数()f x 在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝⎭
上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦
B. ()1,1-
C. (]0,2
D.(]
1,2- 9. 已知()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,且满足()()2x
g x h x -=.若存在[]
11x ∈-,,使
得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解,则实数m 的最大值为
A.-1
B.
35 C. 1 D. 35
- 10.如图,双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为
12,F F ,过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ,且Q 为2PF 的中点.若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于
C 的半焦距,则C 的离心率为 A. 22157-+ B. 23 C. 2215
7
+ D.32
11.如图,以棱长为1的正方体的顶点A 为球心,以2为半径做一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34π
B.
2π C.
32π D.94
π 12. 已知数列{}n a 满足11a =,()2
12
2
124n
n n n n a a a na n
++=++,则8a =
A.64892-
B. 32892-
C. 16892-
D. 78
92
-
第10题
图
第11题图
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知两个单位向量,a b r r
,满足3a b b +=,则a 与b 的夹角为__________.
14. 已知点()0,2A 错误!未找到引用源。
,动点(),P x y 错误!未找到引用源。
的坐标满足条件0
x y x
≥⎧⎨
≤⎩,则PA 的最小值是 .
15. ()()2
5
11ax x +-的展开式中,所有x 的奇数次幂项的系数和为-64,则正实数a 的值为__________.
16.已知函数()2e
()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12分)
ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若角A ,B ,C 成等差数列,且32
b =
. (1)求ABC △的外接圆直径; (2)求a c +的取值范围. 18. (12分)
如图,四棱锥P ABCD -,//AB CD ,90BCD ∠=︒,224AB BC CD ===错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
,PAB △为等边三角形,平面PAB ⊥平面
ABCD , Q 为PB 中点.
(1) 求证:AQ ⊥平面 PBC 错误!未找到引用源。
; (2)求二面角B PC D --的余弦值.
19.(12分)
最近,中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示,2018年7月,大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上.某部门研究成果认为,房租支出超过月收入
1
3
的租户“幸福指数”低,房租支出不超过月收入
1
3
的租户“幸福指数”高.为了了解甲、
乙两小区租户的幸福指数高低,随机抽取甲、乙两小区的租户各100户
第18题
进行调查.甲小区租户的月收入以[)03,,[)36,,[)69,,[
)912,,[]1215,(单位:千元)分组的频率分布直方图如上:
乙小区租户的月收入(单位:千元)的频数分布表如下:
月收入 [)03,
[)36,
[)69,
[)912,
[]1215,
户数
38
27
24
9
2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立,记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6
千元,乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率,求M 的概率; (2)利用频率分布直方图,求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数;
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元.请根据条件完成下面的22⨯列联表,并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.
幸福指数低
幸福指数高
总计
甲小区租户 乙小区租户
总计
附:临界值表
()2P K k ≥
0.10 0.010 0.001 k
2.706
6.635
10.828
参考公式:2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
20. (12分)
已知圆O :2
2
2
x y r +=,椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短半轴长等于圆O 的半径,且
过C 右焦点的直线与圆O 相切于点13,22D ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若动直线l 与圆O 相切,且与C 相交于,A B 两点,求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.
21. (12分) 已知函数()()()ln 11x
f x a x a x
=
-+∈+R ,2m 12e e ()x g x x +=-.
(1)求函数()f x 的单调区间;
(2)若0a <,[]
12,0,e x x ∀∈,不等式12()()f x g x ≥恒成立,求实数m 的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题目计分.
22. [选修44-:坐标系与参数方程] (10分)
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1232
x t y a t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数,a ∈R ).以坐标原点
为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,射线
()03
θρπ
=
≥与曲线C 交于,O P 两点,直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;
(2)当AB OP =时,求a 的值. 23.[选修45-:不等式选讲] (10分) 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. (1)求集合M ;
(2)设实数,a M b M ∈∉,证明:1ab a b +≤+.。