函数的性质及应用

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线性函数的性质与应用

线性函数的性质与应用线性函数是数学中重要的一类函数，它在多个领域中具有广泛的应用。

本文将介绍线性函数的性质以及在实际中的应用，并探讨其对数学和工程学的重要性。

一、线性函数的定义及性质在数学中，线性函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b，其中a和b是实数，并且a不等于0。

线性函数的图像是一条直线，因此得名。

线性函数具有以下重要的性质：1. 直线性质：线性函数的图像是一条直线，通过任意两个点即可画出完整的图像。

2. 斜率：线性函数的斜率即为常数a，表示函数图像在x轴上的变化率。

斜率为正数时，图像向上倾斜；斜率为负数时，图像向下倾斜；斜率为零时，图像平行于x轴。

3. y轴截距：线性函数的y轴截距即为常数b，表示函数图像与y轴的交点。

二、线性函数在实际中的应用线性函数在许多实际问题中具有重要的应用价值。

以下是其中几个典型的应用领域：1. 经济学：线性函数可以用来表示供需关系、成本函数、收益函数等经济学中的重要概念。

例如，一家公司的成本可以通过线性函数来表示，从而了解其增长和变化的规律。

2. 物理学：线性函数可以用来描述物体的运动过程中的速度、加速度等物理量。

例如，匀速直线运动可以通过线性函数的图像来表示。

3. 工程学：线性函数可以用来描述电路中的电压、电流关系，从而帮助工程师设计和优化电路。

4. 金融学：线性函数可以应用于投资组合的风险与收益关系的分析，帮助投资者做出理性的决策。

5. 统计学：线性函数可以用于拟合实验数据，建立数学模型，辅助数据分析和预测。

三、线性函数对数学和工程学的重要性线性函数是数学中最简单、最基础的函数之一，它的研究和应用对数学和工程学具有重要的意义。

首先，线性函数是学习高等数学的基础。

在微积分、线性代数等高等数学课程中，线性函数是学习和理解更复杂的函数和方程的必要先修知识。

其次，线性函数的应用贯穿于各个专业领域。

无论是理工科还是经济管理领域，掌握线性函数的性质和应用能够帮助我们更好地解决实际问题。

函数的性质应用知识点总结

函数的性质应用知识点总结1. 函数的定义及性质函数是将一个自变量的取值对应到一个因变量的取值的规则。

函数的性质包括定义域、值域，单调性，奇偶性，周期性等。

1.1 定义域和值域函数的定义域是指自变量可能的取值范围，而值域则是因变量可能的取值范围。

在应用中，定义域和值域的确定对于建立函数模型、分析函数图像等都有重要作用。

1.2 单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性。

分为严格单调增、非严格单调增、严格单调减、非严格单调减等四种情况。

函数的单调性在优化问题、曲线的切线斜率、函数的极值等问题中有重要应用。

1.3 奇偶性函数的奇偶性指的是函数图像关于原点、y轴对称的性质。

奇函数满足f(x)=-f(-x)，即关于原点对称；偶函数满足f(x)=f(-x)，即关于y轴对称。

奇偶函数在函数的积分、对称性、解方程等问题中有应用。

1.4 周期性函数的周期性是指存在正数T，使得对于函数f(x)有f(x+T)=f(x)，即在区间[T,∞)上有函数值相同。

周期函数在周期性信号、振动问题、波动问题等方面有重要应用。

2. 函数的导数及应用函数的导数是函数在某一点的切线斜率，表示函数的变化速率。

导数的应用包括函数的极值、函数的凹凸性、函数的图像等方面。

2.1 函数的极值函数的极值包括极大值和极小值，是函数的局部最值。

通过导数的符号和次序可以判断函数的极值，从而在优化问题、生产实践、资源配置等方面有重要应用。

2.2 函数的凹凸性函数的凹凸性描述的是函数图像的曲率，通过导数的次序和符号可以判断函数的凹凸性。

凹凸函数在优化问题、物理问题、经济问题等方面有应用。

2.3 函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的特征，包括拐点、切线、凹凸性等。

函数的图像在科学研究、工程设计、数学建模等方面有重要作用。

3. 函数的积分及应用函数的积分是函数的反导数，表示函数的面积、体积等。

积分的应用包括求面积、求体积、求物理量等方面。

3.1 函数的不定积分函数的不定积分是原函数的一种形式，通过不定积分可以求解函数的积分。

必修三函数——函数的性质及应用

必修三函数——函数的性质及应用函数是高中数学的重要课程之一。

在必修三函数中，我们将学习到函数的性质以及函数在实际生活中的应用。

本文将从以下几个方面展开讲述：一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入的自变量的取值范围，函数的值域是指函数的输出范围。

限定定义域和值域可以保证函数在定义范围内的有效性。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指将函数的自变量取相反数能否得到相同的函数值。

奇函数的奇偶性表现为-f(x) = f(-x)，偶函数的奇偶性表现为f(x) = f(-x)。

根据函数的奇偶性可以进行分析和求解。

3. 单调性：函数的单调性是指函数的值是否随着自变量的变化而单调增加或单调减少。

可以根据函数的单调性求出函数的极值点。

4. 周期性：函数的周期性是指函数的值是否会在特定的自变量值处重复出现。

例如正弦函数和余弦函数具有周期性。

二、函数的应用1. 函数图像：函数的图像是指将函数的自变量和函数值分别作为横轴和纵轴，按照函数的定义域和值域画成的曲线。

函数图像可以通过函数的性质进行推导和分析，也可以进行数学建模。

2. 一次函数和二次函数：一次函数和二次函数是函数的两种特殊形式，它们都具有很好的实际应用。

例如，一次函数可以用来表示速度、经济增长率等，二次函数可以用来表示抛物线运动和调和振动等。

3. 指数函数与对数函数：指数函数是指以指数为自变量，底数为常数的函数。

指数函数的应用非常广泛，例如在描述生物学、金融、物理、化学等方面都有应用。

对数函数是指将对数运算作为函数的函数，它在科学计算、信息处理和金融领域有着重要的应用。

4. 三角函数：三角函数是描述周期性现象的数学工具，它们在物理学、工程、电子、地理和天文学等领域都有着广泛的应用。

总结：必修三函数是高中数学的重要课程，学习函数的性质可以帮助我们更好地理解函数的本质，学会函数的应用可以帮助我们应用数学知识解决实际生活中的问题，同时也可以帮助我们培养数学建模和解决实际问题的能力。

常用函数的性质和应用

常用函数的性质和应用函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在数学中，函数是从一个集合到另一个集合的映射关系，它将每一个输入值映射到唯一的输出值。

常用函数具有一些特定的性质和应用，下面将对几个常用函数的性质和应用进行探讨。

一、线性函数线性函数是函数中最简单且最基础的一种类型。

它的定义可以表达为f(x) = ax + b，其中a和b是给定的常数。

线性函数的性质有以下几点：1. 一次函数: 线性函数也称为一次函数，因为它的最高次项的指数为1。

2. 直线特征: 线性函数的图像是一条直线，具有线性关系。

通过两个不同的点，就可以唯一确定一条直线。

3. 恒定斜率: 不同的线性函数可能具有不同的斜率，但在函数的定义域中，斜率是一个常数。

线性函数的应用非常广泛，比如在经济学中，用于描述供求关系、成本函数等；在物理学中，用于描述直线运动的速度、时间关系；在工程学中，用于建立线性电路的分析模型等。

二、指数函数指数函数是以一个正实数a为底数的函数，表达式为f(x) = a^x。

指数函数的性质如下：1. 多样增长趋势: 指数函数的图像可以呈指数增长或指数衰减的趋势。

2. 渐进性: 当x趋向正无穷时，指数函数趋于正无穷；反之，当x趋向负无穷时，指数函数趋于0。

3. 递增或递减性: 当底数a大于1时，指数函数递增；当底数a小于1时，指数函数递减。

指数函数在自然科学、经济学等领域中有广泛的应用。

比如在生物学中，用于描述生物群体的增长模型；在金融学中，用于计算复利的增长；在物理学中，用于描述一些衰变过程等。

三、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数。

对数函数的性质如下：1. 反函数关系: 对数函数和指数函数互为反函数，即logₐ(a^x) = x。

2. 变化的增长速度: 对数函数的增长速度随x的增大而减小，也就是说，对数函数的斜率随着自变量的增加而逐渐减小。

3. 特殊底数的用途: 常用的底数是10和e(自然对数的底数)，对数函数能够方便地将复杂的指数运算转化为简单的乘法和加法运算。

关于函数的应用知识点总结

关于函数的应用知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

具体来说，设A和B是两个非空集合，如果存在一个规则f，使得对于A中的任意元素x，都有一个对应的元素y∈B，那么我们就说f是从A到B的一个函数。

我们通常用f(x)来表示函数f对元素x的映射结果。

2. 函数的符号表示函数通常用f(x)、g(x)、h(x)等符号表示，其中x称为自变量，f(x)称为因变量。

自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。

3. 函数的性质函数可以分为线性函数、多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等不同类型。

不同类型的函数具有不同的性质，例如线性函数的图像是一条直线，多项式函数的图像是曲线等。

二、函数的图像和性质1. 函数的图像函数的图像是自变量和因变量之间的关系在坐标系中的表示。

通常在直角坐标系中，自变量沿横轴，因变量沿纵轴，可以用一个曲线或者一系列点来表示函数的图像。

2. 函数的性质函数的性质可以通过图像的形状来进行观察和判断。

例如，函数的增减性、奇偶性、周期性等性质可以通过函数的图像来了解。

通过分析函数的性质，可以更好地理解函数的规律和特点。

三、函数的应用1. 函数在数学中的应用函数在数学中有着广泛的应用，例如在微积分中，函数被用来描述曲线的斜率、曲率、面积等概念。

在代数学中，函数被用来解方程、求极限、求导等。

在概率论和统计学中，函数被用来描述随机变量之间的关系等。

函数的应用贯穿于数学的方方面面，为数学的发展提供了重要的支撑。

2. 函数在物理中的应用函数在物理中有着重要的应用，例如在描述物体运动的过程中，速度、位移、加速度等物理量都可以用函数来表示。

在描述能量转化和传递的过程中，功率、能量等物理量也可以用函数来表示。

函数在物理学中有着广泛的应用，为理解和研究物理现象提供了重要的工具。

3. 函数在工程中的应用函数在工程中有着广泛的应用，例如在建筑设计中，通过函数来描述建筑物的结构和材料的力学性质。

函数的基本性质单调性的应用

函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。

应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。

下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。

一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。

若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。

2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。

3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。

二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。

若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。

2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。

通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。

三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。

2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。

如何学函数的性质及应用

如何学函数的性质及应用学习函数的性质及应用是理解数学的关键部分之一。

函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、经济等。

学习函数的性质及应用，可以帮助我们更好地理解数学规律和解决实际问题。

下面我将从以下几个方面逐步回答这个问题。

一、函数的性质1. 定义：函数是一个“映射”关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

函数通常用f(x) 表示，其中x 是自变量，f(x) 是因变量。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量取值的范围，值域是函数所有可能的取值范围。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数的增减特性。

当x1 < x2 时，若f(x1) < f(x2)，函数单调递增；若f(x1) > f(x2)，函数单调递减。

4. 奇偶性：当对于任意x，若f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；若f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。

5. 对称轴和顶点：奇函数的对称轴是y 轴，偶函数的对称轴是x 轴。

对称轴和顶点可以帮助我们画出函数的图像。

6. 有界性：函数的有界性描述了函数的取值范围。

若函数f(x) 在某个区间内取值有上界和下界，则函数是有界的。

二、函数的应用1. 函数建模：函数在数学建模中有广泛应用。

通过观察实际问题，我们可以将其抽象为函数关系，从而用数学方法研究和解决问题。

2. 统计分析：函数在统计学中有重要应用。

例如，概率密度函数可以用来描述随机变量的分布情况；回归函数可以用来拟合数据并预测未知的数值。

3. 物理学中的运动学函数：运动学函数描述了物体的位置、速度和加速度之间的关系。

例如，位置函数描述了物体在不同时间点的位置信息，速度函数描述了物体在不同时间点的速度信息。

4. 经济学中的生产函数：生产函数描述了生产过程中输入与产出之间的关系。

通过研究生产函数，可以帮助经济学家优化生产过程，并预测产出的最大化。

三、学习函数的方法及技巧1. 理论学习：学习函数的性质和应用需要先掌握相关的理论知识。

《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》

备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称．其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)．当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0，所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)．答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45，又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1，且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数，于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。

函数的概念、性质及应用

函数的概念、性质及应用
函数是数学中用来表达一切变化及关系的基本概念，它与变量完全脱离，一般情况下
可以抽象为某一变量与另一变量之间的某种关系，用函数的方法可概括出变量之间的规律。

因此，许多数学定理的证明和应用，都是通过函数的形式来进行的，从而使得理论研究更
加严密。

函数的性质：
1、定义：定义域是函数的第一个性质，即函数之所以被称为函数，是因为它定义了
某个集合中的每个元素都分配一个唯一的值。

2、单调性：即定义域内的不同元素之间的函数值都是单调不断的。

3、可微性：可微性是指函数的值可以在任意定义域内微分并可以解出导数值。

4、对称性：对称性是指当函数定义域内的一个元素的偏导数值等于某个常数时，该
函数就具有与另一个元素的函数值之差等于此常数的特性。

应用：
1、函数在数学上的应用是最为广泛的，函数可以用来研究相关数学定理，可以用于
解决实际问题，也可以用来研究一些比较复杂的数学问题。

2、函数可以用来表示不同实际情况的转换关系，正是因为有了函数的表示，我们才
能够轻而易举的把实际问题转换成抽象数学问题。

3、函数可以用来分析物理和化学模型，例如我们可以用一些特殊的函数来表示物体
运动规律，而化学方程也是通过用函数表达出来的。

4、函数可以用来描述计算机程序操作，实际开发中函数是最重要的组成部分，通过
函数可以简化程序的复杂性。

函数的性质综合应用

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)，则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上－30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)

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函数的性质及其应用

第二专题函数的性质及其应用第一课时函数的性质一、考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面： 1、定义域：2、值域：3、奇偶性：4、单调性：5、周期性：二、典例精讲：例1 设函数)(||1)(R x x x x f ∈+-=，区间)](,[b a b a M <=，集合}),(|{M x x f y y N ∈==，则使N M =成立的实数对),(b a 有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个例2 已知函数c bx ax x x f +++=22131)(23在)1,0(内取极大值，在)2,1(内取得极小值，求12--a b 的取值范围.例3 设偶函数)(x f 在区间)0](,[>>a b b a 上是增函数，试判断xx f x F -=)(21()(在区间],[a b --上单调性，并加以证明.三、提高训练：姓名____________（一）选择题：1）A 222．设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若)32)(1()2(,0)1(-+=>a a f f , 则a 的取值范围是（）A 、23<a B 、123-≠<a a 且 C 、123-<>a a 或 D 、231<<-a 3．设函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且，若8)(200521=x x x f ，则)()(2221x f x f +)(22005x f ++ 的值等于（）A 、4B 、8C 、16D 、8log 2a4．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值之和为3，则a 等于（）A 、21 B 、2 C 、4 D 、415．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 A 、)0,(-∞ B 、),0(+∞ C 、)3log ,(a -∞ D 、),3(log +∞a（二）填空题：6．函数2x y =的图象F 按向量)2,3(-=a 平移得到/F ，则/F 的解析式为__________.7．已知)(x f 是R 上的奇函数，且)21()21(x f x f +=-，则)3()2()1(f f f ++=_____.8．定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001sgn x x x x ，则不等式x x x sgn )12(2->+的解集为_____. （三）解答题： 9．已知函数)42)((log )(log 212≤≤⋅=x ax x a y a a 的最大值是0，最小值是81-，求a 的值.10．已知)(x f 是定义在]1,1[-的奇函数，当]1,1[,-∈b a ，且0≠+b a 时，有0)()(>++ba b f a f .（Ⅰ）判断函数)(x f 的单调性，并给以证明；（Ⅱ）若1)1(=f ，且12)(2+-≤bm m x f 对所有]1,1[-∈x ，]1,1[-∈b 恒成立，求实数m 的取值范围.11．已知1=x 是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中0,,<∈m R n m .（Ⅰ）求m 与n 的关系表达式；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当]1,1[-∈x 时，函数)(x f y =的图象上任意一点的斜率恒大于m 3，求m 的取值范围.第二课时函数的图象一、考点核心整合1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.2．函数图象的作法有两种：一种是描点法；另一种是图象的变换法.（1）描点法作图：一般要考虑定义域，化简解析式，描出能确定图象伸展方向的几个关键点.（2）利用图象变换法作图： ①平移变换：②对称变换：③翻折变换：④伸缩变换：例2 已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于点)1,0(A 对称. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若xax f x g +=)()(，且)(x g 在区间]2,0(上为减函数，求实数a 的取值范围.例3 已知函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+=. （Ⅰ）求)(x g 的表达式；（Ⅱ）解不等式|1|)()(--≥x x f x g ；（Ⅲ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在]1,1[-上是增函数，求实数λ的取值范围.三、提高训练：姓名____________（一）选择题：1．已知)10()(1<<-=+aaxf x，若2121,xxRxx≠∈且，则（）A、)2(2)()(2121xxfxfxf+<+B、2(2)()(2121xxfxfxf+=+C、)2(2)()(2121xxfxfxf+>+D、2(2)()(2121xxfxfxf++与的大小关系不确定 2．当函数mxf x+=+12)(的图象不过第二象限时，则mA、2≥m B、2-≤m C、2>m D、2-<m3．函数bxaxf-=)(的图象如右图，则下列结论正确的是（）A、0,1<>ba B、0,1>>baC、0,10><<ba D、0,10<<<ba4-xx)1(log+x的图象是5称，这种变换是（）A、向左平移1个单位B、向右平移1个单位C、向上平移1个单位D、向下平移1个单位（二）填空题：6．若函数],[,3)2(2baxxaxy∈+++=的图象关于直线1=x对称，则=b_______.7．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 的图象关于直线21=x 对称，则)2()1(f f + )5()4()3(f f f +++=_________.8．设函数)(x f 的图象关于点)2,1(对称，且存在反函数0)4(),(1=-f x f，则)4(1-f=________.（三）解答题：9．给定实数1,0≠≠a a ，设函数)1,(11ax R x ax x y ≠∈--=且.求证：（Ⅰ）经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x 轴；（Ⅱ）这个函数的图象关于直线x y =对称.10．已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f xa .（Ⅰ）证明函数)(x f 的图象在y 轴的一侧；（Ⅱ）设))(,(),,(212211x x y x B y x A <是图象上两点，证明直线AB 的斜率大于0；（Ⅲ）求函数)()2(1x f y x f y -==与的图象的交点坐标.11．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使得000)(x x f y ==，则称以),(00y x 为坐标的点为函数图象上的不动点. （Ⅰ）若函数bx ax x f ++=3)(的图象上有两个关于原点对称的不动点，求b a ,满足的条件；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若8=a ，记函数)(x f 图象上的两个不动点分别为/、A A ，P 为函数)(x f 的图象上的另一点，且其纵坐标3>P y ，求点P 到直线/AA 距离的最小值及取得最小值时点P 的坐标；（Ⅲ）命题“若定义在R 上的奇函数)(x f 的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.第三课函数的综合问题及应用一、考点核心整合函数几乎渗透到中学数学的各个角落，它与其他知识互相渗透、相互融合，函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性构成了本课时的重点.（1）函数与不等式的综合；（2）函数与方程的综合；（3）函数与数列的综合；（4）利用导数研究函数的单调性、最值等.在解决函数综合问题时，要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是要注意数学思想方法的运用.这部分内容在高考中多以大题形式出现，有一定的难度.二、典例精讲：例1 设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（） A 、)0,(-∞B 、),0(+∞C 、)3log ,(a -∞D 、),3(log +∞a例2 已知函数0,21)(,ln )(2≠+==a bx ax x g x x f .（Ⅰ）若2=b ，且函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点、Q P ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21、C C 于点、N M .证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.例3 设平面内两向量a 与b 互相垂直，且1||,2||==，又k 与t 是两个不同时为0的实数.（Ⅰ）若t )3(2-+=与t k +-=垂直，求k 关于t 的函数关系式)(t f k =；（Ⅱ）试确定)(t f k =的单调区间.课后思考：对于函数)(x f ，若存在R x ∈0，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点，已知函数)0)(1()1()(2≠-+++=a b x b ax x f .（Ⅰ）当2,1-==b a 时，求函数)(x f 的不动点；（Ⅱ）若对任意实数b ，函数)(x f 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若)(x f y =图象上、B A 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且、B A 两点关于直线1212++=a kx y 对称，求b 的最小值.三、提高训练：姓名____________（一）选择题：1．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，并且满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.105(f 等于（） A 、5.2- B 、5.2 C 、5.5 D 、5.5-2．设)(1x f -是)1)((21)(>-=-a a a x f xx 的反函数，则使1)(1>-x f成立的x 的取值范围为（）A 、),21(2+∞-a a B 、)21,(2aa --∞ C 、),21(2a a a - D 、),[+∞a 3．设函数)(x f 的定义域为D ，如果对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使 )(2)()(21为常数C C x f x f =+成立，则称函数)(x f y =在D 上的均值为C .给出下列四个函数：①3x y =；②x y si n 4=；③x y lg =；④xy 2=.则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（） A 、①② B 、③④C 、①③④D 、①③4．已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+xx 的根，则21x x +等于（） A 、6 B 、3 C 、2 D 、15．若)(x f 是R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（） A 、)2,(-∞ B 、),2(+∞ C 、),2()2,(+∞-∞ D 、)2,2(- （二）填空题：6．对于函数)(x f 定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①)()(121x f x x f =+)(2x f ⋅；②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③0)()(2121>--x x x f x f ； ④2)()(2(2121x f x f x x f +<+. 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是 7．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间]1,0[上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间]2,1[上，=)(x f __________. 8．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象关于_____________对称，则函数=)(x g ______________.（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（三）解答题：9．已知函数⎩⎨⎧∈≤≤--+--≤=*Nn n x n n f n x n x x f ,1),1()]1([,0,0)(. （Ⅰ）求))((*∈N n n f ；（Ⅱ）设)0)((≥a a S 表示由x 轴、)(x f y =与a x =所围成的图形的面积，求))(1()(*∈--N n n S a S .10．设0>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.11．已知函数]5,5[,22)(2-∈++=x ax x x f .（Ⅰ）当1-=a 时，求函数)(x f 的最大值与最小值；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使)(x f y =在区间]5,5[-上是单调函数.。

函数的性质及应用

函数的性质及应用函数是数学中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。

本文将介绍函数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、函数的定义与性质函数可以简单地理解为一种“对应关系”，其定义如下：设有两个非空集合A和B，如果对于集合A中的每个元素a，都有集合B中唯一确定的元素b与之对应，那么我们就称这种对应关系为函数。

记作f：A→B，表示函数f从集合A到集合B的映射。

1. 定义域和值域：对于函数f：A→B，集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。

2. 单射与满射：如果每个B中的元素只对应于一个A中的元素，则称函数f为单射。

如果每个B中的元素都有至少一个与之对应的A中的元素，则称函数f为满射。

3. 反函数和复合函数：设函数f：A→B，如果对于B中的每个元素b，都存在A中的一个元素a与之对应，则我们可以定义一个函数g：B→A，称为f的反函数。

此外，对于两个函数f：A→B和g：B→C，我们可以定义一个新函数h：A→C，称为复合函数，即h(x) = g(f(x))。

二、函数的应用领域函数作为数学的基础概念，广泛应用于各个领域，例如数学、物理、经济学等。

以下将分别介绍函数在这些领域中的应用。

1. 数学中的函数应用在数学中，函数的应用非常广泛。

例如，函数可以用于描述空间中的曲线、曲面等几何图形，如圆的方程可以表示为f(x, y) = x^2 + y^2 -r^2。

函数还可以用于描述各种变量之间的关系，例如指数函数、对数函数、三角函数等。

在微积分中，函数被用于描述曲线的斜率、变化率等概念。

2. 物理中的函数应用在物理学中，函数的应用尤为突出。

例如，位移-时间函数可以描述物体在空间中的位置变化；速度-时间函数可以描述物体在不同时间点的速度变化；加速度-时间函数可以描述物体在不同时间点的加速度变化。

这些函数在物理学中的应用具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和预测各种物理现象。

3. 经济学中的函数应用在经济学中，函数的应用也非常普遍。

正弦函数的性质与应用

正弦函数的性质与应用正弦函数是数学中常见的一种三角函数，具有许多独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨正弦函数的性质，并介绍一些常见的应用领域。

一、正弦函数的性质1. 周期性：正弦函数在自变量增加或减少2π倍时，函数值将重复。

即sin(x+2π) = sin(x)。

该性质使得正弦函数在周期性事件的建模中非常有用。

2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数在原点对称，左右对称轴为y轴。

3. 定义域和值域：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

即正弦函数的函数值永远在-1和1之间。

4. 单调性：正弦函数在定义域内不是严格单调递增或递减。

它在每个周期内先增后减或先减后增。

二、正弦函数的应用1. 音波分析：正弦函数具有周期性，因此在声音和音波的分析中广泛应用。

正弦函数可以用于描述声音的频率和振幅，帮助识别音乐和语音中的音调和音量变化。

2. 信号处理：正弦函数在信号处理领域发挥着重要的作用。

它可以用于调制和解调，傅里叶变换中的信号分析以及数字信号的表示和处理。

3. 电子工程：正弦函数在电子工程中具有广泛的应用。

例如，交流电信号可以用正弦函数表示，并通过频率和振幅来描述电流和电压的变化。

4. 运动模拟：正弦函数可以用于模拟运动的周期性变化。

例如，摆动的运动可以由正弦函数描述，帮助解释摆钟和摆锤的运动规律。

5. 自然界中的周期性现象：正弦函数可以用于描述自然界中的周期性现象，如天体运动、潮汐变化和动植物的季节性循环。

6. 音乐和艺术：正弦函数在音乐和艺术创作中具有重要的地位。

音乐中的音调和和弦可以用正弦函数表示，艺术家们也常常使用正弦曲线的美学特性来设计物体的形状和结构。

7. 统计分析与预测：正弦函数可用于进行数据的拟合、预测与分析。

通过使用正弦函数来描述周期性趋势，例如经济波动、气候变化和股市指数，我们可以更好地理解数据的规律。

三、小结正弦函数是一种重要的数学工具，在各个领域中都有广泛的应用。

数学函数的性质与应用

数学函数的性质与应用一、引言数学函数是数学中的重要概念，在许多实际问题中具有广泛的应用。

本节将介绍数学函数的性质和应用，帮助学生更好地理解和运用函数的知识。

二、函数的定义与基本性质1. 函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合的每个元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。

函数可以用数学符号表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。

2. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数的结果集合。

在实际问题中，我们需要确定函数的定义域和值域，以便正确地解决问题。

3. 函数的性质函数可以分为奇函数和偶函数。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

此外，函数还具有单调性、周期性等性质，在实际问题中可根据需要进行应用。

三、函数的应用举例1. 函数在几何中的应用函数可以描述图形的形状、大小和位置。

例如，二次函数y=ax^2+bx+c可以描述抛物线，通过调整系数a、b、c的值，可以改变抛物线的开口方向、大小和位置。

2. 函数在经济学中的应用函数在经济学中被广泛应用，可以用来描述经济现象和规律。

例如，需求函数和供给函数可以描述市场上商品的价格和数量之间的关系，通过对函数求导，可以得到边际效用和边际成本等重要概念。

3. 函数在物理学中的应用物理学中许多物理量的变化可以用函数来描述。

例如，加速度a和时间t的关系可以用函数a=f(t)表示，通过对函数积分可以得到速度v和位移x。

四、总结函数是数学中的重要概念，具有丰富的性质和广泛的应用。

掌握函数的性质和运用，对于理解数学问题和解决实际问题具有重要意义。

希望本节内容能够帮助学生更好地理解和运用数学函数。

五、延伸学习对于对数函数、指数函数、三角函数等特殊函数的应用进行深入学习，拓宽数学知识的广度和深度。

六、参考资料[1] Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.。

函数初步知识和基本性质应用

函数初步知识和基本性质应用一、函数的定义与表示方法1.函数的定义：函数是两个非空数集A和B之间的一个对应关系，记作f: A → B，其中A称为定义域，B称为值域。

2.函数的表示方法：（1）解析法：用公式或方程表示函数的关系。

（2）列表法：用表格的形式表示函数的关系。

（3）图象法：用图像的形式表示函数的关系。

二、函数的性质1.单调性：（1）单调递增函数：对于定义域内的任意两个实数x1、x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)。

（2）单调递减函数：对于定义域内的任意两个实数x1、x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)。

2.奇偶性：（1）奇函数：对于定义域内的任意实数x，有f(-x) = -f(x)。

（2）偶函数：对于定义域内的任意实数x，有f(-x) = f(x)。

3.周期性：函数f(x)是周期函数，如果存在一个非零实数T，使得对于定义域内的任意实数x，都有f(x + T) = f(x)。

三、函数的图像1.直线函数：y = kx + b（k为斜率，b为截距）。

2.二次函数：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a ≠ 0）。

3.分段函数：根据不同的条件，函数的表达式可以为不同的形式。

四、函数的应用1.实际问题中的函数解析式：根据实际问题的特点，选择合适的函数模型，求出函数的解析式。

2.函数的图像分析：通过观察函数的图像，了解函数的性质，解决实际问题。

3.函数的性质应用：利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质解决实际问题。

五、中考常见题型1.求函数的解析式：根据实际问题的条件，求出函数的表达式。

2.函数性质的应用：利用函数的性质解决实际问题。

3.函数图像的分析：根据函数的图像，判断函数的性质。

以上就是函数初步知识和基本性质应用的详细介绍，希望对你有所帮助。

在学习过程中，要注重理论联系实际，加强函数性质的理解和应用，提高解题能力。

习题及方法：一、求函数的解析式1.习题：小明的身高随年龄增长而增加，假设小明的身高h（单位：cm）与年龄x（单位：岁）之间的关系可以近似地用一条直线表示，已知当x=10时，h=140，求该直线的解析式。

函数3.函数性质及其应用

函数三函数性质及其应用一．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数．4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。

(1)、一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。

K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。

（2）、反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时，在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。

（3）、二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。

（4）、耐克函数b y ax x=+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。

（５）、指数函数单调递减。

时，单调递增；时，)(10)(1,x f a x f a a y x<<>= （６）、对数函数单调递减。

时，单调递增；时，)(10)(1,log x f a x f a x y a <<>=（７）、幂函数a x y =α>0时，在第一象限内递增；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象下凸．α<0时，则在第一象限内单调递减，图象下凸.5．函数的最值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的最大值（最小值）。

函数的基本性质和应用

1、函数的概念：设AB 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数(f x）和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：(,y f xx A =∈）．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}(f xx A ∈）}叫做函数的值域．2、函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2) 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.注意：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数。

3、函数的奇偶性：对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，f(x)是奇函数0)()()()(=+-⇔-=-⇔x f x f x f x ff(x)是偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=注意：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．4、函数的对称性：（1）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称；（2）函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b ；知识回顾（3）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+5、复合函数的构成：设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数；此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

简单函数的性质与应用

简单函数的性质与应用函数是数学中的基本概念之一，它描述了两个集合之间的映射关系。

在数学中，函数有很多种类，有些函数具有特殊的性质和应用。

本文将介绍一些常见的简单函数的性质和应用。

1. 定义函数函数的定义是数学中最基本的概念之一。

一个函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则。

函数通常用符号表示，如f(x)或y= f(x)。

在函数定义中，自变量和因变量可以是任何集合中的元素，如实数集、整数集、复数集等。

函数可以有不同的定义域和值域，其中定义域是自变量可以取值的集合，值域是函数的结果可以取值的集合。

2. 奇偶函数奇函数和偶函数是具有特殊性质的函数。

奇函数的性质是f(-x) = -f(x)，即函数图像关于y轴对称。

例如，f(x) = x^3是一个奇函数。

偶函数的性质是f(-x) = f(x)，即函数图像关于原点对称。

例如，f(x) = x^2是一个偶函数。

奇函数和偶函数可以通过对称性质简化计算，并在某些数学问题中起到重要的作用。

3. 单调性单调性描述了函数在定义域内的变化趋势。

一个函数在某个区间内是单调递增的，如果当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)。

类似地，一个函数在某个区间内是单调递减的，如果当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)。

例如，f(x) = x^2是在非负实数集上的单调递增函数，而f(x) = -x^2是在实数集上的单调递减函数。

单调性在优化问题和不等式求解中有广泛应用。

4. 周期性周期性是函数具有重复性质的一种特殊性质。

一个函数f(x)是周期函数，如果存在正数T满足对于所有x，有f(x+T) = f(x)。

周期函数中最常见的是三角函数，如正弦函数和余弦函数。

例如，f(x) = sin(x)和g(x) = cos(x)都是以2π为周期的函数。

周期函数在振动问题、波动问题等领域中有着广泛应用。

5. 反函数反函数是函数中的重要概念之一。

《函数的性质与应用实例》

摘要：函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。

函数的性质是研究函数特征的重要途径，这些性质在数学的各个领域以及实际应用中都具有重要意义。

本文旨在探讨函数的基本性质，并结合实际应用实例，阐述函数性质的应用价值。

一、引言函数是数学中描述变量之间关系的基本工具，它在数学、物理学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。

函数的性质是研究函数特征的重要途径，掌握函数的性质有助于我们更好地理解和运用函数。

本文将介绍函数的基本性质，并通过实例分析函数性质在实际问题中的应用。

二、函数的基本性质1. 定义域定义域是指函数中自变量x可以取到的所有实数值的集合。

函数的定义域通常分为有界定义域和无穷定义域。

有界定义域是指自变量x的取值范围在一个有限区间内，无穷定义域是指自变量x的取值范围在无限区间内。

2. 值域值域是指函数中因变量y可以取到的所有实数值的集合。

函数的值域可以是有限集合，也可以是无限集合。

3. 单调性函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增大或减小，因变量的变化趋势。

函数的单调性可以分为单调递增和单调递减。

4. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于原点或y轴的对称性。

函数可以分为奇函数、偶函数和既不是奇函数也不是偶函数。

5. 连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的任意一点，自变量无限接近某个值时，因变量也无限接近某个值。

函数的连续性分为连续、不连续和分段连续。

6. 可导性函数的可导性是指函数在其定义域内的任意一点，自变量的增量与因变量的增量之间存在一个确定的比值。

函数的可导性分为可导、不可导和分段可导。

三、函数性质的应用实例1. 数学问题（1）利用函数的单调性证明不等式例：证明对于任意实数x，有x^3 + 3x > 0。

证明：令f(x) = x^3 + 3x，则f'(x) = 3x^2 + 3。

由于f'(x) > 0，所以f(x)在实数域内单调递增。

又因为f(0) = 0，所以对于任意实数x，有f(x) > f(0) = 0，即x^3 + 3x > 0。

函数的性质及应用知识点总结

函数的性质及应用知识点总结函数是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。

本文将对函数的性质以及其应用知识点进行总结。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。

一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量取值的范围。

2. 奇偶性：如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)成立，则称这个函数为偶函数；如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则称这个函数为奇函数；如果函数既不满足偶函数的性质也不满足奇函数的性质，则称其为非奇非偶函数。

3. 单调性：如果对于任意两个x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)成立，则称这个函数为增函数；如果对于任意两个x1和x2，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)成立，则称这个函数为减函数。

4. 周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立，则称这个函数为周期函数。

二、函数的应用知识点1. 最值问题：最大值和最小值问题是函数应用中常见的问题。

通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，并通过比较这些极值点的函数值来确定最大值和最小值。

2. 极值问题：极值问题是在给定条件下，求函数取得最大值或最小值时自变量的取值。

可以通过拉格朗日乘数法等方法求解。

3. 函数图像的绘制：了解函数的形态对于理解函数的性质很有帮助。

可以通过计算函数的值并绘制函数图像，观察函数的波动、交点和拐点等来研究函数的特点。

综上所述，函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等；函数的应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。

理解和掌握这些性质和应用知识点对于深入学习和应用函数具有重要意义。

希望本文对您有所帮助。