高一数学必修二期末测试题及答案解析
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而 面 ， 平面 ，∴ 面 ……10分
17．(本题12分)已知圆 .
(1)此方程表示圆，求 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线 相交于 、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 的值；
(3)在(2)的条件下，求以 为直径的圆的方程．
解析：(1)方程 ，可化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圆，
②水面四边形 的面积不改变；
③棱 始终与水面 平行；
④当 时， 是定值．
其中正确说法是．
11．四面体的一条棱长为 ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积 表示成关于 的函数 ，则函数 的单调递减区间为．
12．已知两圆 和 相交于 两点，则公共弦 所在直线的直线方程是．
13．在平面直角坐标系中，直线 的倾斜角是．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： .
17．(本题12分)
已知圆 .
(1)此方程表示圆，求 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线 相交于 、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 的值；
(3)在(2)的条件下，求以 为直径的圆的方程．
18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是 、边长为 的菱形，又 ，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
C．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 ⊥平面
D．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
7．设直线过点 其斜率为1，且与圆 相切，则 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点B(4,0)重合．若此时点 与点 重合，则 的值为（）
（总分100分时间100分钟）
班级：______________姓名：______________
一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）
１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）
2．过点 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （）
(A)１条 （B）２条(C)３条(D)４条
3．如图2，已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设 为二面角 的平面角，则 ＝（）
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是 、边长为 的菱形，又 ，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN …………………4分
（2）
又因为底面ABCD是 ,边长为 的菱形，且M为 中点，
所以 .又 所以 .
………………8分
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.
（1）证明：DN
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9． ；10．①③④；11． ；
12． ；13．150°；14．2：1．
三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（Ⅰ）求直线 的方程；
（Ⅱ）求与直线 切于点（2，2），圆心在直线 上的圆的方程.
解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得
14．正六棱锥 中，G为侧棱PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC的体积之比 ＝．
三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)
已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（Ⅰ）求直线 的方程；
（Ⅱ）求与直线 切于点（2，2），圆心在直线 上的圆的方程.
16．(本题10分)
如图所示，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点.
整理，得所求直线方程为 ……………4分
（Ⅱ）过点（2，2）与 垂直的直线方程为 ，……………5分
由 得圆心为（5，6），……………7分
∴半径 ，……………9分
故所求圆的方程为 ．………10分
16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： .
(A) （B）
(C) (D)
4．点 是直线 ： 上的动点，点 ，则 的长的最小值是( )
(A) （B） (C) (D)
5．一束光线从点 出发，经 轴反射到圆 上的最短 路径长度是（）
（A）4（B）5（C） （D）
6．下列命题中错误的是()
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9．在空间直角坐标系中，已知 、 两点之间的距离为7，则 =_______．
10．如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
解析：（Ⅰ）在直三棱柱 中，
侧面 ⊥底面 ，且侧面 ∩底面 = ，
∵∠ =90°，即 ，
∴ 平面
∵ 平面 ，∴ .……2分
∵ ， ，∴ 是正方形，
∴ ，∴ . …………… 4分
（Ⅱ）取 的中点 ，连 、 . ………………5分
在△ 中， 、 是中点，
∴ , ，又∵ , ，∴ , ，………6分
故四边形 是平行四边形，∴ ，…………8分
过点D作 于H，由（2）平面PMB 平面PAD，所以 ．
故DH是点D到平面PMB的距离.
所以点A到平面PMB的距离为 .………12分
￥
16－8× ＋5× ＝0，解之得m＝ .
(3)由m＝ ，代入5y2－16y＋m＋8＝0，
化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝ ，y2＝ .
∴x1＝4－2y1＝－ ，x2＝4－2y2＝ .∴ ， ，
∴ 的中点C的坐标为 .
又|MN|＝ ＝ ，
∴Biblioteka Baidu求圆的半径为 .
∴所求圆的方程为 2＋ 2＝ .
∴5－m＞0，即m＜5.
(2)
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0， 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得
17．(本题12分)已知圆 .
(1)此方程表示圆，求 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线 相交于 、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 的值；
(3)在(2)的条件下，求以 为直径的圆的方程．
解析：(1)方程 ，可化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圆，
②水面四边形 的面积不改变；
③棱 始终与水面 平行；
④当 时， 是定值．
其中正确说法是．
11．四面体的一条棱长为 ，其它各棱长均为1，若把四面体的体积 表示成关于 的函数 ，则函数 的单调递减区间为．
12．已知两圆 和 相交于 两点，则公共弦 所在直线的直线方程是．
13．在平面直角坐标系中，直线 的倾斜角是．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： .
17．(本题12分)
已知圆 .
(1)此方程表示圆，求 的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线 相交于 、 两点，且 ( 为坐标原点)，求 的值；
(3)在(2)的条件下，求以 为直径的圆的方程．
18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是 、边长为 的菱形，又 ，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
C．如果平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， ，那么 ⊥平面
D．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
7．设直线过点 其斜率为1，且与圆 相切，则 的值为（）
（A） （B） （C） （D）
8．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点B(4,0)重合．若此时点 与点 重合，则 的值为（）
（总分100分时间100分钟）
班级：______________姓名：______________
一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）
１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）
2．过点 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （）
(A)１条 （B）２条(C)３条(D)４条
3．如图2，已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设 为二面角 的平面角，则 ＝（）
18．（本题12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是 、边长为 的菱形，又 ，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN …………………4分
（2）
又因为底面ABCD是 ,边长为 的菱形，且M为 中点，
所以 .又 所以 .
………………8分
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.
（1）证明：DN
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9． ；10．①③④；11． ；
12． ；13．150°；14．2：1．
三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（Ⅰ）求直线 的方程；
（Ⅱ）求与直线 切于点（2，2），圆心在直线 上的圆的方程.
解析：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，得
14．正六棱锥 中，G为侧棱PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC的体积之比 ＝．
三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)
已知直线 经过点 ，且斜率为 .
（Ⅰ）求直线 的方程；
（Ⅱ）求与直线 切于点（2，2），圆心在直线 上的圆的方程.
16．(本题10分)
如图所示，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点.
整理，得所求直线方程为 ……………4分
（Ⅱ）过点（2，2）与 垂直的直线方程为 ，……………5分
由 得圆心为（5，6），……………7分
∴半径 ，……………9分
故所求圆的方程为 ．………10分
16．(本题10分)如图所示，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： .
(A) （B）
(C) (D)
4．点 是直线 ： 上的动点，点 ，则 的长的最小值是( )
(A) （B） (C) (D)
5．一束光线从点 出发，经 轴反射到圆 上的最短 路径长度是（）
（A）4（B）5（C） （D）
6．下列命题中错误的是()
A．如果平面 ⊥平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B．如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9．在空间直角坐标系中，已知 、 两点之间的距离为7，则 =_______．
10．如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
解析：（Ⅰ）在直三棱柱 中，
侧面 ⊥底面 ，且侧面 ∩底面 = ，
∵∠ =90°，即 ，
∴ 平面
∵ 平面 ，∴ .……2分
∵ ， ，∴ 是正方形，
∴ ，∴ . …………… 4分
（Ⅱ）取 的中点 ，连 、 . ………………5分
在△ 中， 、 是中点，
∴ , ，又∵ , ，∴ , ，………6分
故四边形 是平行四边形，∴ ，…………8分
过点D作 于H，由（2）平面PMB 平面PAD，所以 ．
故DH是点D到平面PMB的距离.
所以点A到平面PMB的距离为 .………12分
￥
16－8× ＋5× ＝0，解之得m＝ .
(3)由m＝ ，代入5y2－16y＋m＋8＝0，
化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝ ，y2＝ .
∴x1＝4－2y1＝－ ，x2＝4－2y2＝ .∴ ， ，
∴ 的中点C的坐标为 .
又|MN|＝ ＝ ，
∴Biblioteka Baidu求圆的半径为 .
∴所求圆的方程为 2＋ 2＝ .
∴5－m＞0，即m＜5.
(2)
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0， 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.将①②两式代入上式得