数学分析19含参量积分总练习题(含参考答案)

第十九章 含参量积分

总练习题

1、在区间1≤x ≤3内用线性函数a+bx 近似代替f(x)=x 2，试求a,b 使得积分⎰-+3

122)(dx x bx a 取最小值. 解：设f(a,b)=⎰-+3

122)(dx x bx a ， 由f a (a,b)=2⎰-+3

12)(dx x bx a =4a+8b-3

52=0, f b (a,b)=2⎰-+3

12)(dx x bx a x =8a+

352b-40=0, 得驻点a=3

11

-,b=4. 又f aa =2⎰31dx =4, f bb =2⎰312

dx x =3

52, f ab =f ba =2⎰31xdx =8, 即f aa ·f bb -f ab 2=316>0，

∴(311-,4)是f 唯一的极小值点，即a=3

11

-,b=4时，积分取最小值.

2、设u(x)=⎰1

0)(),(dy y v y x k ，其中k(x,y)=⎩⎨⎧>-≤-y

x x y y

x y x ),1(),1(与v(y)为[0,1]上

的连续函数，证明：u ”(x)=-v(x).

证：当0≤x ≤1时，u(x)=⎰10)(),(dy y v y x k =⎰-x dy y v x y 0)()1(+⎰-1

)()1(x dy y v y x . 由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续知， u ’(x)=⎰-x

dy y yv 0

)(+x(1-x)v(x)+⎰-1

)()1(x

dy y v y -x(1-x)v(x)

= -⎰x

dy y yv 0)(+⎰-1

)()1(x dy y v y . u ”(x)=-xv(x)-(1-x)v(x)=-v(x).

3、求函数F(a)=⎰∞

+-0

2)1sin(dx x

x

a 的不连续点， 并作函数F(a)的图像. 解：由⎰+∞

sin dx x ax =2

π

sgna ，

得⎰∞

+-0

2)1sin(dx x x a =2

π

sgn(1-a 2)， 可知其在a=±1处不连续，其图像如图：

4、证明：若⎰+∞

0),(dt t x f 在x ∈(0,+∞)上一致收敛于F(x)，且

+∞

→x lim f(x,t)=φ(t)对任意t ∈[a,b]⊂(0,+∞)一致地成立，即对任意ε>0,

存在M>0，使当x>M 时，|f(x,t)-φ(t)|< ε对任何t ∈[a,b]成立，则有

+∞

→x lim F(x)=⎰+∞

)(dt t ϕ.

证：∵⎰+∞

0),(dt t x f 在x ∈(0,+∞)上一致收敛，∴∀ε>0, ∃N >0， 对一切A ’, A ”>N 和一切x ∈(0,+∞), 都有⎰''/'A

A dt t x f ),(<ε. ∵f(x,t)对任意t ∈[a,b]一致收敛于φ(t), ∴对

||A

A ''/-'ε

>0, ∃X>0, 对一切x ∈(X,+∞)和t ∈[a,b], 都有|f(x,t)-φ(t)|<

||A

A ''/-'ε

, 从而

⎰

''/'

A

A dt t )(ϕ≤⎰''/'-A A

dt t x f t )),()((ϕ+⎰''/'A

A

dt t x f ),(<2ε. ∴⎰+∞

0)(dt t ϕ收敛.

从而对上述的ε, 存在N 1>0，对一切A>N 1有⎰+∞

A dt t )(ϕ<3

ε

. 由⎰+∞

0),(dt t x f 一致收敛于F(x)知，对ε, ∃N 2>0，

对一切A>N 2和一切x ∈(0,+∞), 都有⎰-A

dt t x f x F 0),()(<3

ε. 由

+∞

→x lim f(x,t)=φ(t),对

A

3ε>0, ∃X>0,对一切x ∈(X,+∞)和t,有|f(x,t)-φ(t)|<

A

3ε,

从而有dt t t x f A

))(),((0ϕ-⎰<3

ε. 综上, ∀ε>0, ∃X >0, 对一切x ∈(X,+∞),有

⎰+∞

-0

)()(dt x x F ϕ=⎰⎰⎰⎰+∞

-+-+-0

)()())(),((),()(dt t dt t dt t t x f dt t x f x F A

A

A

ϕϕϕ

≤⎰-A dt t x f x F 0),()(+dt t t x f A ))(),((0ϕ-⎰+⎰⎰+∞

-00)()(dt t dt t A ϕϕ<ε. ∴+∞

→x lim F(x)=⎰+∞

0)(dt t ϕ.

5、设f(x)为二阶可微函数，F(x)为可微函数，证明函数 u(x,t)=2

1[f(x-at)+f(x+at)]+

⎰+-at x at x dz z F a

)(21满足弦振动方程：u tt = a 2

u xx 及初值条件u(x,0)=f(x), u t (x,0)=F(x). 证：u x =2

1

[f ’(x-at)+f ’(x+at)]+a

21

[F(x+at)-F(x-at)], u xx =21[f ”(x-at)+f ”(x+at)]+

a 21

[F ’(x+at)-F ’(x-at)]；

u t =21[-af ’(x-at)+af ’(x+at)]+a 21

[aF(x+at)+aF(x-at)], u tt =21[a 2f ”(x-at)+a 2f ”(x+at)]+2

1

[aF ’(x+at)-aF(x-at)]=a 2u xx .

u(x,0)=21[f(x)+f(x)]+⎰x

x dz z F a )(21=f(x)；

u t (x,0)=21[-af ’(x)+af ’(x)]+a

21

[aF(x)+aF(x)]=F(x).

6、证明：(1)⎰-1

01ln dx x x

=62π-；(2)⎰-u dt t t 0)1ln(=∑∞=-12n n n

u , 0≤u ≤1.

证：(1)由lnx=∑∞

=--1)1(n n n x ，得⎰-101ln dx x x =⎰∑∞=---1011)1(dx n x n n =∑∞=-121n n

=62

π-. (2)⎰-u

dt t t 0

)1ln(=⎰∑⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∞=-u n n dt n t 011=∑∞=-12n n n u , 0≤u ≤1.