椭圆中的焦点三角形问题
过椭圆焦点的内接三角形的几个结论
过椭圆焦点的内接三角形的几个结论过椭圆焦点的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，且这个三角形内接于椭圆。
对于这样的三角形，有以下几个结论：1. 这个三角形的三个内角和等于180度。
这个结论可以通过椭圆的性质来证明。
椭圆的焦点是指到椭圆上任意一点的距离之和相等的两个点。
因此，对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点到椭圆上的距离之和相等。
又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆上的距离之和等于椭圆的周长。
而椭圆的周长等于两个焦点之间的距离乘以π，即2πa，其中a是椭圆的长半轴。
因此，三角形的三个顶点到椭圆上的距离之和等于2πa。
由于三角形的三个内角和等于三个顶点到椭圆上的距离之和除以椭圆的半周长再乘以180度，即180度×(三个顶点到椭圆上的距离之和÷2πa)，因此可得到结论：过椭圆焦点的内接三角形的三个内角和等于180度。
2. 这个三角形的重心和椭圆的中心重合。
这个结论可以通过三角形的性质来证明。
三角形的重心是指三条中线的交点，其中中线是指一个三角形的一个顶点和对边中点之间的线段。
对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点都在椭圆的焦点上，因此三个顶点到椭圆的中心的距离相等。
又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆的中心的距离等于椭圆的半径。
因此，三角形的重心和椭圆的中心重合。
3. 这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。
这个结论可以通过椭圆的性质来证明。
椭圆的面积等于长半轴和短半轴的乘积再乘以π，即πab，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
而过椭圆焦点的内接三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，因此这个三角形的周长等于椭圆的周长的一半，即πa。
又因为这个三角形是内接三角形，所以它的面积等于半周长乘以内切圆的半径，即πa×(a/2)，即πa²/4。
因此，这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。
综上所述，过椭圆焦点的内接三角形有以上三个结论，这些结论可以通过椭圆的性质和三角形的性质来证明。
椭圆焦点三角形圆周角最大问题
椭圆焦点三角形圆周角最大的证明已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点P 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一动点。
通常我们把以12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图）若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？法一：不妨设12,PF m PF n ==，于是2222221212124cos 22PF PF F F m n c PF PF mnθ+-+-==⋅我们知道：当,0a b >)2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号，故而当,0a b >时，有()22222a b a bab a b ++⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号 故()222222222222424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==≥≥+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以()222222224242cos 12222m n c a c c a a m n θ+⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭≥==- ⎪⎝⎭+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2mincos 12c a θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。
故cos θ最小时，θ恰有最大值。
故点P 在短轴的端点()12,B B 处，θ最大。
法二：我们仍然设12,PF m PF n ==，于是2m n a += 于是()()2222421a m n m n mn=+=++又据余弦定理得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-即()22242cos 2c m n mn θ=+-由()()12-得出()()22421cos a c mn θ-=+，故()221cos b mn θ=+，故221cos b mn θ=+于是122222(2sin cos )1sin 22sin tan 21cos 212cos 12PF F b b S mn b θθθθθθθ∆⋅====+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 因为()0,θπ∈，0,22θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，我们易得122tan 2PF F S b θ∆=是θ的增函数。
椭圆中焦点三角形的性质
焦点三角形习题性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
例1. 若P是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积. 例1．解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ.3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F 故选答案A.例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故选D.1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PFF .故选D.2. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PFF ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故选A.3. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D. 4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1B ．31 C ．34D ．32解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PFF ，又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PFF ⋅=⋅=∆θ，∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF .故答案选C.5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，求椭圆的标准方程.解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PFF θ，又 3522=-==a b a ac e ，∴95122=-ab ，即952012=-a. 解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y .专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为．3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，1F 2|2＋2|2＝1|2，即4c 2＋b 2＝1|2.而1|＋2|＝＋b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2， 所以3b ＝2a .所以＝.∴e 2＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：2。
椭圆中焦点三角形面积公式
2023年高考数学椭圆焦点三角形的面积问题【考点梳理】焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①焦点三角形的周长为2(a ＋c )；②4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ；③当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；④S ＝12r 1r 2sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .【题型归纳】一、求椭圆焦点三角的面积1．已知点P 是椭圆22:1259x y C +=上一点，12,F F 是其左右焦点，且1260F PF ∠=，则三角形12F PF △的面积为_________2．已知点P 是椭圆221259x y +=上的点，点12,F F 是椭圆的两个焦点，若12F PF △中有一个角的大小为3π，则12F PF △的面积为______．3．设12,F F 是椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F △的面积为（）A ．22B ．42C ．4D ．64．设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A ．6B ．62C ．8D ．825．已知点F 1，F 2分别是椭圆22:14x C y +=的左右焦点，点M 在椭圆C 上，且满足1223MF MF += ，则12MF F △的面积为___________.6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，若椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅= ，且△12F PF 的面积等于4.则实数b 的值为___________.二、椭圆焦点三角形面积的最值问题7．已知1F 、2F 为椭圆22:14xy Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）A ．3B ．2C ．23D ．4三、已知椭圆焦点三角形面积求边8．设1F 、2F 是椭圆22:110x C y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上，且12PF F △的面积为7，则OP =（）A ．3B ．73C ．83D ．39．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点M 是椭圆C 上的一点，且1212,2F MF F MF π∠= 的面积为1，则椭圆C 的短轴长为（）A ．1B ．2C ．22D ．4四、与内切圆相结合10．已知椭圆2212516x y +=两焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若123F PF π∠=，则12F PF △的内切圆半径为______五、与平面向量相结合11．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（）A ．33B ．93C ．3D ．912．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．【巩固训练】一、单选题13．已知点P 在椭圆221164x y +=上，1F 与2F 分别为左、右焦点，若1223F PF π∠=，则12F PF △的面积为（）A ．43B ．63C ．83D ．13314．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（）A ．离心率45e =B ．12F PF △的周长为18C ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值925-D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为815．已知椭圆2221(10)y x b b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F MF F MA π∠=∠=，3||2MA =，则该椭圆的离心率为（）A ．32B ．12C ．223D ．33二、多选题16．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为256-17．已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △面积的最大值为3C ．12PF PF -的最大值为23D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个18．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，则下列结论正确的是（）A ．12MF F △的周长为6B ．12MF F △的面积为153C ．12MF F △的内切圆的半径为159D ．12MF F △的外接圆的直径为321119．双曲线22:1124x y C -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上.若12PF F △是直角三角形，则12PF F △的面积为（）A ．833B ．433C ．4D ．220．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，过11,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线与椭圆交于,M N 两点，则（）A ．C 的焦距为5B ．当Q 为MN 中点时，直线MN 的斜率为3-C ．C 的离心率为306D ．若1290F PF ︒∠=，则12F PF △的面积为121．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．离心率62e =B ．12PF F △面积的最大值为2C ．以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切D ．12PF PF ⋅的最小值为0三、填空题22．设12F F ，是椭圆22196x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且1221PF PF =：：，则12F PF △的面积等于_______.23．已知F 1，F 2是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，2PF ⊥x 轴，则12PF F 的面积为_________．四、解答题24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，Q 为椭圆C 上任意两点，且()110PF QF λλ=< ，若2PQF 的周长为8，12PF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 内切于矩形ABCD （椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD 面积的最大值．25．已知椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，P 为椭圆上一点，且12122F F PF PF =+．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 在第二象限，12120F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．26．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点(3,0)N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点Q 是曲线C 上一点，且60QMN ∠=︒，求 QMN 的面积.参考答案1．33【分析】由椭圆方程可得,,a b c ，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得12PF PF ⋅，由三角形面积公式可求得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则22216c a b =-=；由椭圆定义知：12210PF PF a +==，由余弦定理得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，()2212121243100364c PF PF PF PF PF PF ∴=+-⋅=-⋅=，解得：1212PF PF ⋅=，12121213sin 63322F PF S PF PF F PF ∴=⋅∠=⨯= .故答案为：33.2．33或63##63或33【分析】由椭圆方程可求得,,a b c ；当123F PF π∠=时，由焦点三角形面积公式可求得12F PF S ；当123PF F π∠=时，利用余弦定理可构造方程求得1PF ，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =，3b =，则224c a b =-=；若123F PF π∠=，则12212tan9tan 3326F PF F PF S b π∠=== ；若123PF F π∠=，设1PF m =，则2210PF a m m =-=-，由余弦定理得：22222112112122cos 648PF PF F F PF F F PF F mm =+-⋅∠=+-=()210m -，解得：3m =，1211212113sin 3863222F PF S PF F F PF F ∴=⋅∠=⨯⨯⨯= ；同理可得：当21π3PF F Ð=时，1263F PF S = .综上所述：12F PF △的面积为33或63.故答案为：33或63.3．D【分析】根据椭圆的定义求出12||4,||3PF PF ==，从而判断出12PF F △为直角三角形，然后即可求出12PF F △的面积.【详解】易知2494a =，26b =，所以222254c a b =-=，72a =，即52c =，由椭圆的定义，知12||||27PF PF a +==，又因为12||:||4:3PF PF =，所以12||4,||3PF PF ==，又1225F F c ==，所以12PF F △为直角三角形，所以13462ABC S =⨯⨯=△.故选：D.4．B【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PF PF a +==，12243F F c ==，进而利用1213cos F PF ∠=得出1218PF PF ⋅=，进而可求出12S PF F 【详解】解：由椭圆2211224x y +=的方程可得2224,12a b ==，所以22212c a b =-=，得26,23a c ==且12246PF PF a +==，12243F F c ==，在12PF F △中，由余弦定理可得222221212121212121212||||||(||||)2||||||cos 2||||2||||PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+--∠==22212121212442||||42||||2||||2||||a c PF PF b PF PF PF PF PF PF ---==12124122||||2||||PF PF PF PF ⨯-=，而121cos 3F PF ∠=，所以，1218PF PF ⋅=，又因为，121cos 3F PF ∠=，所以1222sin 3F PF ∠=，所以，1212121122sin 1862223S PF F PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯= 故选：B 5．1【分析】设00(,)M x y ，则可得1200(2,2)MF MF x y +=-- ，再由1223MF MF += 可得22003x y +=，而点00(,)M x y 在椭圆上，则有220014x y +=，求出0y ，从而可求出12MF F △的面积【详解】由题意可得2,1,3a b c ===，则12(3,0),(3,0)F F -，设00(,)M x y ，则12000000(3,)(3,)(2,2)MF MF x y x y x y +=---+--=--，因为1223MF MF +=，所以22004412x y +=，所以22003x y +=，因为点00(,)M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，解得033y =，所以12MF F △的面积为1323123⨯⨯=，故答案为：16．2【分析】由三角形面积公式、向量数量积的坐标表示及P 在椭圆上列方程可得||4P c y =、2||P b y c=，即可求参数b .【详解】由题设，12||||42P P c y c y ⨯⨯==，且(,)(,)0P P P P c x y c x y ---⋅--=，可得222P P x c y =-，又222222222:1P P P Px y c y y C a b a b-+=+=，则2||P b y c =，综上，24b =，又0b >，则2b =.故答案为：27．A【分析】由于12F F 为定值，所以当点M 到12F F 的距离最大时，12MF F △面积取得最大值，即当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大【详解】由2214x y +=，得224,1a b ==，所以222,1,3a b c a b ===-=，由椭圆的性质可知当M 与短轴的一个端点重合时，12MF F △面积的最大，所以12MF F △面积的最大值为1211231322F F b =⨯⨯=，故选：A 8．A【分析】根据三角形12PF F △的面积可求得点P 的坐标，由此可求得OP 的值.【详解】在椭圆C 中，10a =，1b =，则223c a b =-=，所以，1226F F c ==，12121372PF F P P S F F y y =⋅==△，所以73P y =，所以253P x =，则223P P OP x y =+=，故选：A.9．B【分析】首先分别设1MF x =，2MF y =，再根据椭圆的定义和性质列出等式，即可求解椭圆的短轴长.【详解】设1MF x =，2MF y =，所以22221124x y a xy x y c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，即()222222244x y x y xy x y a +=++=++=，即22444c a +=，得2221b a c =-=，短轴长为22b =.故选：B 10．233##233【分析】根据椭圆的方程求得c ，得12||F F ，设出11||PF t =，22||PF t =，利用余弦定理可求得12t t 的值，得到△12F PF 的面积，再由等面积法求出△12F PF 内切圆的半径．【详解】由题意方程可得，5a =，4b =，223c a b ∴=-=，即12||6F F =,设11||PF t =，22||PF t =，则根据椭圆的定义可得：1210t t +=，①在12F PF △中，123F PF π∠=，∴根据余弦定理可得：22212122cos 63t t t t π+-⋅=，②联立①②得12643t t ⋅=，∴121211643163sin 232323F PF S t t π=⋅=⨯⨯= ,设△12F PF 内切圆半径为r ，△12F PF 的周长为10616L =+=，面积为1633S =，则1112F PF S Lr =，2233S r L ∴==，故答案为：23311．A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A12．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解.【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒，所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=，()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅，1212192F PF S PF PF =⋅=△，所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =；综上，b =3.13．A【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得1216PF PF =，通过三角形面积公式即可求得答案.【详解】由12222121212128cos 2PF PF PF PF F F F PF PF PF ⎧+=⎪+-⎨∠=⎪⎩，，又1243F F =，解得1216PF PF =，1212121sin 313422162F PF S PF P PF F F =⨯⨯==∠△.故选：A.14．D【分析】根据离心率的定义可判断A ；利用椭圆的定义可判断B ；求出PA PB k k ⋅可判断C ；利用勾股定理以及椭圆的定义求出12PF PF 可判断D.【详解】由221259x y +=，可得5a =，3b =，224c a b =-=，A ，离心率45c e a ==，故A 正确；B ，12F PF △的周长为12122218PF PF F F a c ++=+=，故B 正确.C ，设()00,P x y ，2020002200009125955252525PA PBx y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，故C 正确；D ，1290F PF ︒∠= ，222121264PF PF F F ∴+==，又因为12210PF PF a +==，所以()212100PF PF +=，即2212122100PF PF PF PF ∴++=，解得1218PF PF =,所以1212192F PF S PF PF ==△，故D 错误.故选：D 15．B【分析】由椭圆定义得12MF MF +，由余弦定理可得12MF MF ，再由三角形面积公式得12MF MF +和12MF MF 的关系，从而求得c ，然后可得离心率．【详解】解：设11||MF r =，22||MF r =，则1222r r a +==，由余弦定理得2221212122||||||2||||cos3F F MF MF MF MF π=+-，即222212*********()4c r r r r r r r r r r =++=+-=-，所以21244r r c =-，因为1212F MF F MA AMF S S S =+ ，所以12121211sin ||sin ||sin 232323r r r MA r MA πππ=⋅⋅+⋅⋅，整理得1212()||r r r r MA =+⋅，即234422c -=⨯，整理得214c =，所以12c =，1a =，12c e a ==，故选：B.16．ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =，1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．17．ABC【分析】利用余弦定理可判断A 选项；利用三角形的面积公式可判断B 选项；利用椭圆的定义可判断C 选项；利用平面向量的数量积可判断D 选项.【详解】在椭圆M 中，2a =，1b =，3c =，且1223F F =，对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得2221122121123cos 22PF F F PF PF F PF F F +-∠==⋅，因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠= ，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为1232c b bc ⨯⨯==，B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即22323PF -≤≤+，所以，()1222222223PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()1003,F P x y =+ ，()2003,F P x y =- ，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，所以，033y =±，0263x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.18．ABC【分析】求得0y ，进而求得12,MF MF ，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，04,3M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点，220041531,433y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+==，所以2212715884,433333MF MF ⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以12MF F △的周长为22426a c +=+=，A 正确.12MF F △的面积为001151521233c y c y ⨯⨯=⨯=⨯=，B 正确.设12MF F △的内切圆的半径为r ，则115156,239r r ⨯⨯==，C 选项正确.1212641641199cos 0,8416233F MF F MF +-∠==>∠⨯⨯为锐角，12121135315sin 12561616F MF ∠=-==，所以12MF F △的外接圆的直径为12122323215sin 4531531516F F F MF ===∠，D 选项错误.故选：ABC 19．AC【分析】根据双曲线方程求出c ，再根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入双曲线方程，求出y ，即可求出三角形面积，当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知1243PF PF -=，再由勾股定理求出12PF PF ，即可得解；【详解】解：由双曲线22:1124x y C -=可得221244c a b =+=+=.根据双曲线的对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥.当12PF PF ⊥时，将4x =-代入221124x y -=可得233y =±，所以12PF F △的面积为12118323F F PF =.当12PF PF ⊥时，由双曲线的定义可知，12243PF PF a -==，由勾股定理可得()22221212264PF PF F F c +===.因为()222121212264PF PF PF PF PF PF +=-+⋅=，所以128PF PF =，此时12PF F △的面积为12142PF PF ⋅=综上所述，12PF F △的面积为4或833.故选：AC .20．CD【分析】由题知226,1a b ==，25c =，进而根据离心率公式和焦距可判断A ，C ；对于B ，利用中点弦的直线的斜率公式直接计算即可判断；对于D 选项，结合椭圆定义得122PF PF =，进而计算面积即可判断.【详解】解：由题知226,1a b ==，所以2615c =-=，故焦距为225c =，故A 选项错误；对于B 选项，当Q 为MN 中点时，由中点弦公式得2020121364MNb x k a y =-=-=-⨯，故B 选项错误；对于C 选项，椭圆的离心率为53066c e a ===，故C 选项正确；对于D 选项，1290F PF ︒∠=，则12222121226PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即()1222121212262PF PF PF PF PF PF F F ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，代入数据得122PF PF =，所以12F PF △的面积为12112S PF PF ==，故D 选项正确；故选：CD 21．CD【分析】求出离心率可判断A ；计算12PF F △面积的最大值1212F F b ⋅可判断B ；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C ；设(),P x y 进行数量积的坐标运算结合2212x y +=可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由椭圆22:12x C y +=可知，2a =，1b =，1c =，所以左、右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，离心率22c e a ==，故选项A 错误；对于B ：122F F =，当P 点与椭圆的上下顶点重合时，12PF F △面积的最大，所以12PF F △面积的最大值为11221122b ⨯⨯=⨯⨯=，故选项B 错误；对于C ：以线段12F F 为直径的圆的圆心()0,0，半径为1，由圆心()0,0到直线20x y +-=的距离222111d c ===+，所以以线段12F F 为直径的圆与直线20x y +-=相切，故选项C 正确；对于D ：设(),P x y ，()()121,,1,PF x y PF x y =---=--，2222212111022x x PF PF x y x ⋅=+-=+--=≥ ，则12PF PF ⋅ 的最小值为0，故选项D 正确；故选：CD ．22．23【分析】先利用定义求出12F PF △的各边，再求出123sin 2F PF ∠=，即可求出12F PF △的面积.【详解】由126PF PF +=，且1221PF PF =：：，12124229623PF PF F F ∴===-=，，又在12PF F △中，cos ∠2221242(23)12422F PF +-==⨯⨯，123sin 2F PF ∴∠=12121S sin 232PF PF F PF ∴=∠=.故答案为：2323．32##132【分析】2PF ⊥x 轴可得P 点横坐标，再根据点P 在椭圆上，求出P 的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】由题意不妨设1(F ﹣3，0)，2(F 3，0)，∵P 2F ⊥x 轴，∴P (3，±12)，∵△P 12F F 的面积＝12|P 2F ||12F F |＝12⨯12⨯23＝32，故答案为：32．24．(1)22142x y +=(2)12【分析】（1）根据椭圆的定义可知24PQF C a = ，即可求出a ，再根据()12max122PF F S c b =⨯⨯ 及a 、b 、c 的关系计算可得；（2）当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，直接求出矩形的面积，当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，消元、根据0∆=求出2242m k =+，同理得2242n k =+，再由平行线之间的距离公式求出AD ，AB ，即可求出ABCD S ，最后利用基本不等式计算可得；(1)解：由()110PF QF λλ=<得P 、1F 、Q 三点共线，因为三角形2PQF 的周长为8，即22211224PQF C PQ PF QF PF QF PF QF a =++=+++=，所以48a =，则2a =．当P 点为椭圆上或下顶点时12PF F △的面积最大，即121222=⨯⨯== PF F S c b bc ，由222244=-=-b ac b，解得22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=．(2)解：当矩形ABCD 中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，矩形ABCD 的两条边长分别为24a =，222b =，此时42282ABCD S =⨯=．当矩形ABCD 的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线AB 的方程为：y kx m =+，则CD 的方程为：y kx m =-，AD 的方程为：1y x n k =-+，BC 的方程为：1y x n k =--．由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222124220k x kmx m +++-=，令0∆=得2242m k =+，同理得2242n k =+，矩形ABCD 的边长分别为221m AD k =+，2211n AB k =+，∴()22222222821122411111ABCD kk m n mnk k S k kk k⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⨯==++++，2211828212142k k=+≤+=++，当且仅当1k =±时取等号，所以矩形ABCD 面积的最大值是12．综上所述，矩形ABCD 面积的最大值是12．25．(1)22143x y +=(2)33【分析】（1）根据椭圆的定义得1,2c a ==，进而得答案；（2）根据余弦定理，结合椭圆定义，解决焦点三角形的面积问题即可.(1)解:∵椭圆C 的两焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，∴设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1c =，12||||42PF PF a ∴+==，2a ∴=．222413b a c ∴=-=-=，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．(2)解：在△12PF F 中，由余弦定理得222121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF =+-120︒，即212124(||||)||||PF PF PF PF =+-，212124(2)||||16||||a PF PF PF PF ∴=-=-，12||||12PF PF ∴=，1212113||||sin1201233222PF F S PF PF ∴=︒=⨯⨯= ．26．(1)221167x y +=；(2)213.5【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点P 的轨迹为椭圆，写出其方程即可；（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得MQ ，再求三角形面积即可.(1)由已知PN PA =，故8PM PN PM PA AM MN +=+==>，所以P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设P 点轨迹方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则228,3,7a c b ===，所以P 点轨迹方程为221167x y +=.(2)不妨设MQ m =，由椭圆定义可得28QN a m m =-=-，又26MN c ==，则在MNQ 中，由余弦定理可得：()222681cos 212m m QMN m+--∠==，解得145m =.故 QMN 的面积13314213sin 2322255S QMN m c c m =⨯∠⨯⨯=⨯=⨯⨯=.。
椭圆中的焦点三角形
椭圆中的焦点三角形定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形考点1 有关周长和距离问题：例1.（08浙江）已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212F A F B +=，则AB =变式（06年四川）如图把椭圆22221x y a b +=的长轴分成8等分，过每个点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127,,,P P P 七个点。
F 是椭圆的一个焦点，则127PF PF PF ++=变式2 已知12F F ,是椭圆2212516x y +=的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则12PF PF 的最大值是考点2 有关角的问题：例2（2000全国）椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是变式：椭圆22194x y +=的焦点为12F F ,，点P 为其上的动点，当12FPF ∠为直角时，点P 横坐标的取值范围是性质一：当点P 从右至左运动时，12FPF ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，12FPF ∠达到最大变式: (2004湖南卷)12F F ,是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数考点3 有关离心率的问题：例3已知椭圆22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，若椭圆上存在一点P ，使得12FPF ∠0120=，求椭圆离心率e 的取值范围性质二：已知椭圆方程为22221x y a b +=，(0)a b >>的两焦点分别为12F F ,，设焦点三角形12F PF 中，12FPF ∠θ=，则2cos 12e θ≥-（当且仅当动点为短轴端点时取等号）变式（09江西）已知12F F ,是椭圆的两个焦点，满足12MF MF 0=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围考点4 有关面积的问题：（122tan2F PF S b θ∆=）（θ为焦点三角形顶角）例4P 是椭圆22154x y +=上的点，12F F ,是椭圆的焦点，若12FPF ∠6π=，则12PF F 的面积等于变式：P是椭圆2214xy+=上的点，12F F,是椭圆的焦点，若12FPF∠3π=，则12PF F的面积等于变式：（04湖北）已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别是12F F,，点P在椭圆上，若12,,P F F是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A 95B 3 C94D94或7性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为22b a（2007天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=． 解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F AOF F A=． 由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-， 解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=， 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412km x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，． 所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=， 解得22023x b =． 这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=． 综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=． 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥。
椭圆焦点三角形问题
椭圆焦点三角形问题
1. 已知1F ,2F 为椭圆22
11625
x y +=的两个焦点,过2F 作椭圆弦AB,则1AF B ∆的周长为 2. 椭圆22
1259
x y +=的焦点为1F ,2F ,P 为椭圆上一点,已知1290F PF ∠=°,则12F PF ∆的面积为
3. 已知椭圆2
2y 19
x +=的两个焦点分别为1F ,2F ，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=°,则12PF F ∆的面积为
4. P 为椭圆22
12516
x y +=上一点, 1F ,2F 分别为左右焦点. (1若P 1F 的中点为M,求证1152
MO PF =-; (2)若1260F PF ∠=°,求1PF ,2PF 的值;
(3)求1PF ,2PF 的最值.
5.以椭圆上一点和椭圆的两焦点为顶点的三角形的面积最大为1时，求椭圆长轴的最小值.
6.若1F ,2F 分别为椭圆2212x y +=的左右两个焦点,.过2F 作倾斜角4
π的弦AB ，则1F AB ∆的面积为
7. P 为椭圆22
194
x y +=上的点,1F ,2F 是焦点，在12F PF ∆在中,若12F PF ∠为钝角,求P 点横坐标的取值范围.
8.若AB 是过椭圆中心22
12516
x y +=的弦,1F 为椭圆焦点,则1F AB ∆面积最大值为。
高中数学破题致胜微方法(椭圆的基本性质)11.椭圆中焦点三角形的周长问题 Word版含答案
高中数学破题致胜微方法（椭圆的基本性质）11.椭圆中焦点三角
形的周长问题 Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。
利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点
的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的倍。
先看例题：例：如图,椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,求△的周长.
规律整理：椭圆
的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
椭圆的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。
再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系
中，椭圆的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过的
直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）
即.
又,所以,所以.故椭圆的方程是. 练习：
. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，△的周长为，求；若，求椭圆的离心率.
. 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( ) . . . .
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
椭圆焦点三角形
椭圆焦点三角形定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形 题型一：焦点三角形的周长【例1】已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ）A ．20B ．16C ．18D ．14【练1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12，则椭圆C 的方程是__________．【练2】若椭圆22221x y a b+=的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）题型二：焦点三角形的面积【例2】已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）【练2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =__________．【练3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，，若12PF F △的面积为34，短半轴长2，则21PF F ∠=__________．题型三：焦点三角形与离心率【例3】设椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 ( )【练3】已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b +=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ） 【例4】已知12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）【练4】设椭圆22221x y a b +=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（ ）【例5】已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）【练2】记1F ，2F 为椭圆22:1x C y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=，则实数m 取值范围是( )。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
怎样解答与焦点三角形有关的问题
焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。
椭圆中的焦点三角形案例分析
《椭圆中的焦点三角形》的案例分析（一）：复习引入：1：椭圆的定义（二）：基础训练及例题问题(一)利用焦点三角形求轨迹方程例1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，且△ABC 周长为16，则顶点A 的轨迹方程。
变题1：在△ABC 中，已知B,C 坐标分别为(-3,0)和(3,0)，AB,AC 边上中线长为15，则此三角形重心G 的轨迹方程。
变题2：（93年全国高考卷）若△ABC 面积为1，tan ∠ABC=21, tan ∠ACB=2-建立适当坐标系，求以B,C 为焦点并且过点A 的椭圆方程【设计说明】结合高考，逐层深入。
其实变题1，2还是要回归例题1中焦点三角形的边的关系实行求解。
问题(二)焦点三角形的性质例2122y x 的2个焦点，若A 、B 是椭圆过焦点F 1的弦，则B A C(1)求△AF 1F 2，△ABF 2的周长。
(2)求21AF AF ⋅最大值？(3)求∠F 1AF 2的最值？（4） 若∠F 1AF 2为钝角时，求点A 横坐标的范围（2000年全国高考卷）（5）△AF 1F 2面积的最大值。
（6）设∠F 1AF 2为θ，求21F AF S ∆的面积【设计说明】把不等式、三角、面积等等知识实行融会贯通，让学生形成一个整体的认知结构，实现新旧知识的贯通。
（三） 巩固练习（一）必做题（1）（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（2）动圆与定圆x 2+y 2+4y-32=0内切且过定圆内的一个定点A （0，2），求动圆圆心P 的轨迹方程。
（3）已知M 为椭圆上一点，F 1、F 2为2个焦点，且∠MF 1F 2=600, ∠MF 2F 1=300，则椭圆的离心率为 。
（4）已知F 1，F 2为椭圆14922=+y x 的2个焦点，M （1，1）为椭圆内一定点，A 为椭圆上任意一点，求AM AF +1的最大值。
高中数学椭圆的焦点三角形
则SPF1F2
_b_2__ta_n____
2
，设F1PF2
yP
，
.
.
F1 0
F2
x
7
例题、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，
且 F1PF2 600 ，求△PF1F2 的面积. 4 3
3
变式
1、已知 F1 、 F2 是椭圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，P
1(a b 0)
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
2
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形 叫做椭圆的焦点三角形。
3
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
4
1 焦点三角形的周长问题
例题、
设椭圆 x2
椭圆的焦点三角形
1
复习回顾
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点
的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在x轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
当焦点在y轴上时
y2 a2
x2 b2
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
P是椭圆上一点 (长轴端点除外) ，设F1PF2 ，
则当点P在短轴端点时， 最大。
椭圆
9
例题、若 P 在椭圆
x2 9
椭圆双曲线焦点三角形问题
椭圆、双曲线的焦点三角形问题一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理2 2例1.如图，F2分别是椭圆C: a + 1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，/ F!AF2 = 60°.(1)求椭圆C的离心率；A⑵已知△ AF1B的面积为40W，求a, b的值.解(1)由题意可知，△ AF1F2为等边三角形，a= 2c,1所以e= *y=- 3（x —c）.将其代入椭圆方程3x2+ 4y2= 12c2，得B g,—j所以|AB| = yj1 + 3 • 5c —0 =喘.由S△ AF I B = ^AF i llA BI sin/ F1AB =寺寮宁=^^孑二40.3，解得a= 10，b= 5 , 3.方法二设|AB| = t.因为|AF2|= a,所以|BF2|= t— a.由椭圆定义|BF11+ |BF2|= 2a 可知，|BF1|= 3a—t，8再由余弦定理（3a —t）2= a2+ t2—2atcos 60 可得，t = 8a5由S △ AF1B = 1a fa 于=253a2= 40 .3知，a= 10，b = 5"』3.例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P,/ F j PF2，且△ PF| F2的面积为2 3，双曲线的离心率3为2,求该双曲线的方程.2 2解析：设双曲线的方程为令- 1(a 0, b 0) , F1( -c, 0), F2 (c, 0),a bP(x0, y0).在^ PF1F2中，由余弦定理，得2 2 \ 2 乂 2 -IF1F2I2=|PF『-1PF212-2| PF11 •|PF2| • cos (IPF1L IPF2I) |PF1| TPF2I，3三、有关内切圆的问题，方法：椭圆________X 2y 2例4椭圆—-=1(a b 0)上一点P ，两个焦点a bR(-c,0)，F 2 (c,0)，F 1PF 2 的内切圆记为 L M ，求证：点P 到 M 的切线长为定值.证明：设OM 与厶PF 1F 2的切点为 A B C ，如图1，因OM 是厶PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F £|、即 4c 2 =4a 2 |PF i | • IPF 2I , — 1 又因为 S △并忻=2、..3，所以—IPRI • |PF 2|sin 2、. 3 , 2 3所以 |PF i | • |PF 2>8，所以 4c 2 =4a 2 8即 b 2=2 , 又因为 2 e 丄=2，所以a a c 2 2 3x y 故所求双曲线方程为 1.2 2、有关 F 1PF 2的问题，方法： 正弦定理、等比定理 例3已知椭圆的焦点是 F i ( — 1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点, 的等差中项. 且| F 1F 2丨是丨PF 1丨和丨PF 2 | (1)求椭圆的方程；⑵若点P 在第三象限，且/ PF 1F 2= 120°，求tanF 1PF 2 • 解：(1)由题设 2 | F 1F 2 1 = 1 PF 1 | + | PF 2 |222a =4，又 2c = 2，二 b = , 3，二椭圆的方程为= 14 3 1⑵设/ F 1PF 2 = 0，则/ PF 2F 1 = 60° — e ，椭圆的离心率 e = —2则 1 _ sin(180° -巧 _sin 二込 ''灯Sin(60° "厂尹 sin(60。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对cos 21PF F ∠=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。
能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2221||||PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ⋅，二者的关系是 ()||||24||||2||||||||212212212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅-=⋅++=+ ，于是目标式可分成两部分1||||2212-⋅PF PF b ，最后对||||21PF PF ⋅ 利用均值不等式，即可大功告成。
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F ________.21cos 2e -≥θ_______________（当且仅当动点为短轴端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
1由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 2⇒22≤e ＜1 变式1：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
过椭圆焦点的三角形面积公式
过椭圆焦点的三角形面积公式在学习椭圆的过程中，我们常常会遇到与焦点相关的三角形问题。
而关于过椭圆焦点的三角形面积公式，那可是解决这类问题的一把利器！先来说说椭圆的基本定义哈。
椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点轨迹。
这两个定点就叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距。
那过椭圆焦点的三角形面积公式到底是啥呢？假设椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1 （a > b > 0），两个焦点分别为 F1、F2 ，点 P 是椭圆上的一点。
如果∠F1PF2 = θ ，那么三角形 F1PF2 的面积S = b² × tan(θ/2) 。
咱们来举个例子感受一下这个公式的威力。
比如说有一个椭圆，方程是 x²/9 + y²/4 = 1 ，焦点是 F1、F2 ，点 P 在椭圆上，并且∠F1PF2 = 60°。
那我们就可以直接用这个公式来算三角形 F1PF2 的面积啦。
先算出 b² = 4 ，θ/2 = 30° ，tan30° = √3/3 ，所以面积S = 4 × √3/3 = 4√3/3 。
是不是很简单快捷？还记得我之前教过的一个学生小明，他刚开始接触这个公式的时候，总是弄不清楚怎么用。
有一次做作业，遇到了一道求过椭圆焦点三角形面积的题目，他按照自己的想法瞎算一通，结果当然是错得一塌糊涂。
我就把他叫到办公室，给他一步一步地讲解这个公式的推导过程和使用方法。
我拿着笔在纸上画着椭圆，指着焦点和点 P ，跟他说：“你看啊，小明，咱们先根据椭圆的方程找到 a、b 的值，然后再看这个角度，代入公式就能算出面积啦。
”小明一开始还是一脸懵，但在我反复举例和耐心解释下，他终于恍然大悟，眼睛里闪着光，兴奋地说：“老师，我懂啦！”从那以后，小明再遇到这类题目就再也没有出错，成绩也有了明显的提高。
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形关键信息项：1、椭圆的方程及相关参数2、焦点三角形的定义及构成要素3、焦点三角形的边长关系4、焦点三角形的面积计算公式5、与焦点三角形相关的几何性质及应用6、涉及焦点三角形的常见题型及解题方法1、椭圆的基本概念11 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）焦点在 y 轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为椭圆的长半轴，＄b$为椭圆的短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
12 椭圆的焦点焦点在 x 轴上时，焦点坐标为$（＼pm c, 0)＄焦点在 y 轴上时，焦点坐标为$（0, ＼pm c)＄2、焦点三角形的定义21 焦点三角形是指以椭圆的两个焦点$F_1$，＄F_2$和椭圆上任意一点$P$（不与焦点重合）为顶点所构成的三角形，记为$＼triangleF_1PF_2$。
3、焦点三角形的边长关系31 根据椭圆的定义，＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$32 在$＼triangle F_1PF_2$中，由余弦定理可得：＄｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1| ｜PF_2| ＼cos ＼theta$，其中$＼theta$为$＼angle F_1PF_2$。
4、焦点三角形的面积计算公式41 ＄S_{＼triangle F_1PF_2} ＝ b^2 ＼tan\frac{＼theta}｛2}＄42 也可以表示为$S_{＼triangle F_1PF_2} ＝＼frac{1}｛2} ｜PF_1| ｜PF_2| ＼sin ＼theta$5、与焦点三角形相关的几何性质及应用51 当点$P$为短轴端点时，＄＼angle F_1PF_2$最大。
52 焦点三角形的内切圆半径$r$与三角形面积和周长之间的关系。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
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2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
答案为9
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
答案为 3 3 且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积
猜想：已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 ，则△F1PF2 的面积为多少？
此问题可以推广到一般情况为：
若
P
是椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上一点，
.
变式2：F1, F2是椭圆C :
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
例4.已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的两焦点分别为F1, F2 ,
若椭圆上存在一点P,使得F1PF2 1200 ,求椭圆的离心率e
的取值范围。
. y P
..
F1 0
端点时 F1PF2 最小.
例
3、已知
F1 、
F2
是椭圆
C：
x2 4
y2
1的两个焦点，P
为椭
圆 C 上任意一点，则 F1PF2 的取值范围是
．
. y P
.
.
F1 0
F2
变式
1、若 P
在椭圆
x2 4
y2 b2
1(2
b
0) 上的一点，
x
F1 ,
F2
为左右焦点，若
F1PF2
的最大值为
2
，
则椭圆的方程为
. y P
.
.
F1 0
F2
x
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
y
.P0 P
.
.
F1 0
F2
x
1.焦点三角形中的长度问题
. y P
例1.已知椭圆 x2 25
y2 9
1上一点P到两个焦点F1
F1 和
F2
是椭圆的
两个焦点，且 F1PF2 ，求△F1PF2 的面积
焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
c
y0
b2 tan
2
.（ y0 为 P 点的纵坐标）
3.焦点三角形的角度问题
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点，当点 P 在短轴端点时 F1PF2 最大，在长轴
、F 2
的距离
之差为6,试判断PF1F2 的形状。
..
F1 0
F2
x
变式1：已知F1、F2是椭圆
x2 25
y2 9
1的左,右焦点,点P 在
椭圆上运动,则 PF1 • PF2 的最大值是_______
y
A
F1
F2
B
变式2.已知F1、F2为椭圆
x2 25
y2 9
1的两个焦点,过F1
的直线
交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2B 12,则 AB _______
F2
x
归纳小结:
焦点三角形
基本概念 性质及应用
思想方法