北师大2014(量子力学)

北京师范大学
2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试题
部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学
（所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上一律无效）
参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
一、单选或多重选择题（共25分）多选、少选、选错均不得分。

1.以下几对算符中，存在共同本征态的有_______
（A）ˆˆ,x y p p (B)ˆˆ,x x p (C)ˆˆ,x y s s (D)ˆˆ,x y
l l 2.三维各向同性谐振子（不考虑自旋）可能的简并度有________
（A）2（B）3（C）4（D）5
3.以下哪个（些）算符一定为厄米算符________
(A)ψψ(B)ψϕ(C)ψϕϕψ+(D)ψϕϕψ
-4.以下叙述正确的是________
（A）两个定态的叠加是定态
（B）若两算符存在共同本征态，则两算符必对易
（C）在定态下，几率密度满足
（D）定态必定是能量本征态
5.厄米算符ˆA
、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。

若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则________(A)ψ必为ˆB
的本征态(B)ˆB
ψ必为ˆA 的本征态(C)ˆA
ψ必为ˆB 的本征态(D)ˆB
在ψ中的平均值必为零第1页共3页
科目代码：959科目名称：量子力学
二、（25分）一根长为l无质量的绳子一端固定，另一端系质量为m的质点。

在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。

（1）写出质点运动的哈密顿量；（2）在小角度下求系统的能级；（3）求由于小角度近似的误差而产生的基态能量最低阶修正。

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三、（25分）1/2自旋算符可以用泡利矩阵表示为，其中的两个本征态为和。

（1）求的本征态，其中；
（2）求算符对的两个本征态和作用的结果；
（3）说明以上两小题的结果之间的关系和的物理意义。

四、（25分）已知轨道角动量在n方向上的分量为
其中，为已知的方位角，求在算符与的共同本征态上算符
n和n 的平均值。

五、（25分）质量为μ的粒子在一维势场V（x）=中运动。

求：
（1）求粒子定态能量E n与归一化定态波函数ψn（x）；
（2）设t=0时粒子波函数为ψ（x,0）=，其中A为归一化常数，求（a）在ψ（x,0）态上粒子能量取值E n的概率；
（b）粒子的平均能量；
（c）任意t>0时粒子波函数ψ（x,t）表示式。

科目代码：959科目名称：量子力学
六、（25分）一维谐振子受到微扰的作用，其中c是常数。

在粒子数表象中
，与分别是湮没算符和产生算符，满足如下公式:
a|n>=|n-1>,|n>=|n+1>,其中|n>是一维谐振子哈密顿量
的本征态。

（1）用微扰论，准确到二级近似，求能量修正值；
（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果比较。