动量和能量观点的综合应用

动量和能量观点的综合应用
一、滑块——木板类模型
1. 把滑块、滑板看作一个整体，摩擦力为内 力，则在光滑水平面上滑块和滑板组成的系 统动量守恒。 2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，则系
统机械能不守恒。应由能量守恒求解问题。
1.有一质量为m＝20千克的物体，以水平速度v＝5米／ 秒的速度滑上静止在光滑水平面上的小车，小车质量 为M＝80千克，物体在小车上滑行距离ΔL＝4米后相对 小车静止。求： （1）物体与小车间的滑动摩擦系数。 （2）物体相对小车滑行的时间内，小车在地面上运动 的距离。
解析 木块m和物体P组成的系统在相互作用过程中遵守动 量守恒、能量守恒． (1)以木块开始运动至在斜面上上升到最大高度为研究过 程，当木块上升到最高点时两者具有相同的速度，根据动 量守恒，有 mv0＝(2m＋m)v①
根据能量守恒，有 1 2 1 mv0 ＝ (2m＋m)v2＋fL＋mgh② 2 2
碰后木块1停留在木板3的正中央，木板3碰撞前的初速
度v0为多大？(已知木块与木板之间的动摩擦因数为μ)
解析 设木板3的初速度为v0，对于3、2两木板的系统，设碰撞后 的速度为v1，据动量守恒定律得：
mv0＝2mv1
量守恒定律得：
2mv1＝3mv2 木块1恰好运动到木板3的正中央， 则据能量守恒有：
解析 画出运动示意图如图示 由动量守恒定律（m+M)V=mv
V=1m/s
由能量守恒定律 μmg L = 1/2 ×mv2 - 1/2 ×(m+M)V2 v m ∴μ= 0.25
M
对小车 μ mg S =1/2×MV2 ∴ S=0.8m S
L
m
M
V
2.如图所示，两块质量均为m，长度均为L的木板放置 在光滑的水平桌面上，木块1质量也为 m(可视为质点 )， 放于木板2的最右端，木板3沿光滑水平桌面运动并与 叠放在下面的木板2发生碰撞后粘合在一起，如果要求
二、子弹打木块类模型
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减速直线 运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。 2.符合的规律：子弹打木块的过程很短暂，认为该过程 内力远大于外力，则子弹和木块组成的系统动量守恒； 但在子弹打木块过程中摩擦生热，则系统机械能不守恒， 机械能向内能转化。 若子弹不穿出木块，则二者最后有共同速度，机械 能损失最多。 3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用 下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒。
2 M m g
2
m 2 v0 2
。
2.如图所示,光滑水平面AB与粗糙斜面BC在B处通过圆 弧衔接,质量M=0.3kg的小木块静止在水平面上的A点。 现有一质量m=0.2kg的子弹以v0=20m/s的初速度水平 地射入木块(但未穿出),它们一起沿AB运动,并冲上BC。 已知木块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5,斜面倾角 θ=45°,重力加速度g=10m/s2,木块在B处无机械能损 失。试求: (1)子弹射入木块后的共同速度; (2)子弹和木块能冲上斜面的最大高度。
Mmv (2) 2 M ＋ m
2
3. 子弹的质量为 m ，木块的质量为 M ，若木块固定，子
弹以v0水平射入，射出木块时速度为 设作用过程中子弹所受阻力不变。
［解析］ 当木块固定时，由动能定理得
fd 1 1 v 3 2 2 mv 0 m( 0 ) 2 mv 0 2 2 2 8
1 v 0，求：如木 2
1.用不可伸长的细线悬挂一质量为M的小木块, 木块静止,如图所示。现有一质量为m的子弹自 左方水平地射向木块并停留在木块中,子弹初 速度为v0,求: (1)子弹射入木块瞬间子弹和木块的速度大小; (2)子弹与木块上升的最大高度。
解析 (1)子弹射入木块瞬间动量守恒 mv0=(M+m)v mv0 v 解得 Mm (2)子弹和木块一起上升,上升过程只有重力做功,机械能守恒, 则有 1 (M+m)v2=(M+m)gh 2 解得h=
①
离开桌面后，A、B分别做平抛运动，设平抛运动的时间为 t，由
则：vA∶vB＝(vA·t)∶(vB·t)＝xA∶xB＝2∶3 联立①②并代入数据解得：vA＝20 m/s，vB＝30 m/s.
②
（2）子弹刚穿出砂箱A时，A与B的速度是相等的，设子弹的 速度的大小为v，则：mv0＝2MvA＋mv 代入数据解得：v＝50 m/s. （3）由能量守恒定律，在子弹穿过砂箱A的过程中 ③
1 2 1 2 1 FL＝2mv0 －2mv －2×2MvA 2
得：F＝6 400 N
拓展模型——冲击摆模型 1.模型构建 冲击摆模型一般由细线悬挂一般为完全非弹性碰撞,动量守恒, 动能有损失。 (2)碰撞的子弹和木块一起向上摆动,机械能守恒。 3.分析冲击摆问题应注意以下两点 (1)子弹打击木块的过程中,由于时间很短,故可以应 用动量守恒定律。 (2)明确解题过程分为两个阶段,第一阶段为打击过 程,第二阶段为摆动过程。整个过程中动量、机械能 都不守恒,但分阶段过程中可以应用动量守恒定律、 机械能守恒定律。
6 M 得：v1＝ v0＝ ×2 m/s＝1.5 m/s. M＋m 6＋2 1 2 1 Q＝2×Mv0 －2×(M＋m)v1 2 由功能关系得：
代入数据得：Q＝3 J
设物块相对小车的位移为x，则由功能关系：μmgx＝Q
得：x＝0.75 m 因为开始物块放在小车中央，故平板小车的最小长度
L＝1.5 m.
3 1 1 2 μmg· L＝ ×2mv1 － ×3mv2 2 2 2 2
由①②③联立方程得：v0＝3 2μgL
①
对于木板3、2整体与木块1组成的系统，设共同速度为v2，则据动 ②
③
答案 3 2μgL
3. 如图所示，一质量 M ＝ 6 kg 的平板小车在光滑的水
平面上以v0＝2 m/s的速度做匀速直线运动，将一个质
二者一起沿地面滑动，前进的距离为s，由动能定理得：
1 2 －μ(M＋m)gs＝0－ (M＋m)v′ 2 ②
m2 v2 由①②两式解得：s＝ 2 2M＋m μg
1 2 1 2 (2)射入过程中的机械能损失 ΔE＝ mv － (M＋m)v′ 2 2
③
Mmv2 解得：ΔE＝ 2 M ＋ m
m2 v 2 答案 (1) 2 2M＋m μg
4.一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上，其截面如图所 示．图中ab为粗糙的水平面，长度为L；bc为一光滑斜面，斜 面和水平面通过与ab和bc均相切的长度可忽略的光滑圆弧连 接．现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左 运动，在斜面上上升的最大高度为h，返回后在到达a点前与 物体P相对静止．重力加速度为g. 求：(1)木块在ab段受到的摩擦力f； (2)木块最后距a点的距离s.
v0
（2）、木板的最小速度？ （3）、此过程中因摩擦而产生的内能是多少？
（1）设物块与小车对静止 由动量守恒： MV 0 =（M+m）V 则V=13.3m/s 因qVB=1.33N＞mg=1N 故小车、物块不会相对静 止 当洛仑兹力等于重力时，是B物体在小车上的最大 速度，所以qv Bm B=mg 则v Bm =10m/s （2）当B在小车的上的速度最大时，A的速度最小， 所以，由动量守恒有Mv 0 =mv Bm +Mv A 解之得 v A =13.5m/s （3）由能量守恒得 Q= 1/2 M v 0 2 -1/2 M v A 2 -1/2 m v Bm 2 =8.75J
(3) 若砂箱A 的厚度 L＝ 0.1 m ，则子弹在穿过 A 的过程中受到的
平均阻力多大？
解析
（1）在子弹穿过A进入B的过程中，A、B和子弹组成的系
统满足动量守恒定律，设A、B离开桌面的瞬时速度分别为 vA、vB， 规定子弹初速度方向为正方向，则有：
mv0＝MvA＋(m＋M)vB
于平抛运动的时间是相等的，
量 m ＝ 2 kg 的物块 ( 可视为质点 ) 无初速度地放在小车
中央，最终物块停在小车上的某位置 . 已知物块与小
车之间的动摩擦因数 μ ＝ 0.2 ，取 g ＝ 10 m/s2. 求物块
与小车因摩擦产生的内能Q和小车的最小长度L.
解析 物块相对小车静止时，二者有共同速度为v1，由动量守
恒定律得：Mv0＝(M＋m)v1
v02L－6ghL 联立③④⑤得 s＝ 2 . v0 －3gh
答案 mv02－3mgh v02L－6ghL (1) (2) 2 3L v0 －3gh
5.如图所示：给木板M＝2kg一个向左的初速 度vo=14m/s,物块m=0.1kg静止在M的左端，物 块带负电,q=0.2C,加一个如图所示的匀强磁场 B=0.5T,木板足够长且表面是绝缘的，物体与 木板之间有摩擦力的作用，设木板足够长，地 面光滑,g=10m/s2，求： （1）、物块的最大速度？
穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为 μ，求：
(1)子弹射入木块后，木块在地面上前进的距离； (2)射入的过程中，系统损失的机械能.
解析
因子弹未穿出，故此时子弹与木块的速度相同，而系统
的机械能损失为初、末状态系统的动能之差.
(1) 设子弹射入木块时，二者的共同速度为 v′，取子弹的初速 度方向为正方向， 由动量守恒有：mv＝(M＋m)v′， ①
分析: 系统动量守恒有: 系统能量守恒有:
1 2 1 mv0 (m M )v 2 F d 2 2
mv0 (m M )v
v0
s2
v
d
对木块动能定理有:
s2
s1
d
1 2 F S 2 Mv 2
2.如图所示，在水平地面上放置一质量为M的木
块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未
块放在光滑地面上不固定，则子弹能穿透木块的条件。
当木块在光滑水平面上时，系统动量守恒，设刚好穿出： mv0=(M+m)v
2 ( M m)v 2 由能量转化关系得 fd mv 0
1 2
1 2
整理得：M=3m 故子弹能射穿木块的条件为M≥3m
4.如图所示，有两个长方形的物体A和B紧靠在 光滑的水平面上，已知mA＝2kg，mB＝3kg，有 一质量m＝100g的子弹以v0＝800m/s的速度水平 射入长方体A，经0.01s又射入长方体B，最后 停留在B内未穿出。设子弹射入A时所受的摩擦 力为3×103N。(1)求子弹在射入A的过程中，B 受到A的作用力的大小。(2)当子弹留在B中时， A和B的速度各为多大?
mv+mBvA=(m+mB)VB 解得：vB=68/3.1=21.94m/s
5. 如图所示，两个质量都是 M ＝ 0.2
kg 的砂箱 A 、 B ，并排放在光滑的水
平桌面上，一颗质量m＝0.1 kg的子
弹以v0＝130 m/s的水平速度射向A，
射穿A后，进入B并同B一起运动，测 得 A 、 B 落地点到桌边缘的水平距离 之比为2∶3，求： (1)砂箱A、B离开桌面时的速度的大小vA、vB； (2)子弹刚穿出砂箱A时速度的大小v.
ΔE = f
滑d相对
解决问题的方法
★运动学求解
★图像法求解
★动量和动能定理求解
质量为M的木块静止在光滑水平 光滑 面上， 有一质量为m的子弹以水平速度v0 射 入并留在其中，若子弹受到的阻力恒为 f，问 留在其中 ：子弹在木块中前进的距离L为多大？
模型研究
解：由几何关系： S1 –S2= L … v0 f 以m和 M组成的系统为研究对象， 选向右为正方向，由动量守恒定律 得： mv0 =（M + m）V………... 分别选m 、 M为研究对象， 由动能定理得:
mv02 mgh mv02－3mgh 联立①②得 f＝ － ＝ ③ 3L L 3L
(2)以木块开始运动至与物体 P 相对静止为研究过程，木块和物体
P 相对静止，两者具有相同的速度，根据动量守恒，有 mv0＝(2m＋m)v④
根据能量守恒，有 1 2 1 mv0 ＝ (2m＋m)v2＋f(L＋L－s)⑤ 2 2
对子弹 对木块 L S2
f
S1
V
-f S1= f S2 =
1 2
1 1 2 mV - mv02…. 2 2 1 M V 2 ………… 2
答案：
Mmv02
[2f(M + m)]
能量守恒定律
又由以上两式得 f L= mv0 －
2
1 2 （ m ＋ M ） V 2
=Q
1.设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑 水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再 射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的 平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。