高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其

4.类比多项式的减法想一想复数如何相减? 提示:用文字语言描述:两个复数相减就是把实部与实 部、虚部与虚部分别相减用符号语言描述:z1=a+bi, z2=c+di,a,b,c,d∈R,则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
用几何语言描述:设 OZ1，O分Z别2 与复数a+bi,c+di对应,
数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算: ①(3-2i)-(10-5i)+(2+17i); ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2017-2018i)(2018-2019i).
【解题指南】(1)利用复数的加减运算求出z,再看z的 实部和虚部判断对应点的位置.(2)多个复数相加减.
2
2
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
【解析】(1)(-1+ i)+(1+ i)
2
2
=(-1+1)+( + )i=2 i.
22
2
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i
=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.
类型一 复数代数形式的加、减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i),则复
则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运算,得
OZ1
OZ2
=(a-c,b-d).这说明两个向量 与 的差
就OZ是1 与OZ复2 数(a-c)+(b-d)i对应的向量. OZ1 OZ2
结论: 1.定义 对于复数z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a+bi)-(c+di) =_____________.
(a+c)+(b+d)i
2.几何意义
复数的和z1+z2与向量
的坐标对应.
OZ1 OZ2 OZ
【微思考】 两个复数可以相加,那么两个以上的复数能相加吗?具 体怎么运算? 提示:能相加,仍是实部相加、虚部相加.
主题2 复数的减法 1.规定:复数的减法是加法的逆运算,若复数z=z1-z2, 则复数z1等于什么? 提示:z1=z+z2.
【解析】(1)选B.z=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 对应点为(-2,2),在第二象限. (2)①原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i. ②方法一:原式=(1-2+3-4+…+2017-2018)+(-2+34+5+…-2018+2019)i=-1009+1009i.
(a-c)+(b-d)i
2.几何意义
复数的差z1-z2与向量
的坐标对应.
OZ1 OZ2 Z2Z1
【微思考】 通过学习复数的加法,我们知道,可以把复数的代数式 看成关于“i”的多项式进行运算.那么对于两个以上的 复数能否进行减法运算? 提示:能运算,方法同加法.
【预习自测】
1.一个实数与一个虚数的差 ( )
A.5-6i
OA OB B.1-2i
C.-5+6i
D.5-2i
【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知, OA OB
对应的复数即为(3-4i)+(-2+2i),即1-2i.
3.设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )
A.1-3i
B.-2+11i
C.-2+i
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数
C.不可能是实数
D.无法确定是实数还是虚数
【解析】选C.若实数0与纯虚数作差则得纯虚数,故A错. 因虚数的虚部不为0,故一个实数与一个虚数的差一定 不是实数.
2.在复平面内,向量 对应的复数为3-4i,点B对应 OA
的复数为-2+2i,则向量
对应的复数为 ( )
D.5+5i
【解析】选D.因为z1=3+4i,z2=-2-i, 所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i. 又因为f(z)=z, 所以f(z1-z2)=z1-z2=5+5i.
4.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对 应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为 ________.
2.设复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),z=x+yi(x,y∈R), 代入z1=z+z2,由复数相等的充要条件得x,y分别等于什 么? 提示:x=a-c,y=b-d.
3.根据上述分析,设复数 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1-z2等于什么? 提示:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
用几何语言描述:设 OZ1，O分Z别2 与复数a+bi,c+di
对应,则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运
OZ1
OZ2
算,得 =(a+c,b+d).
故 OZ对1＋应OZ的2 复数为a+c+(b+d)i.
OZ1＋OZ2
结论:
1.定义
对于复数z1=a+bi和z2=c+di,a,b,c,d∈R, z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_____________.
分别为
那么向量
的坐标分
OZ1，OZ2， 别是什么?
OZ1，OZ2，OZ1 OZ2
提示: OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，OZ1 OZ2＝(a＋c，b＋d).
3.已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).类比多项 式的加法法则想一想复数如何相加? 提示:用文字语言描述:两个复数相加就是把实部与实 部、虚部与虚部分别相加 用符号语言描述:z1=a+bi,z2=c+di,则 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
【解析】在复平面内A,B,C对应的坐标分别为(1,3),
(0,-1),(2,1),设D的坐标为(x,y),由于 AD BC
因此有(x-1,y-3)=(2,2),所以x-1=2,y-3=2,解得
x=3,y=5,故点D对应的复数为3+5i.
答案:3+5i
5.计算:(1)(-1+ i)+(1+ i).
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算
及其几何意义
主题1 复数的加法
1.设向量
分别表示复数z1,z2,那么向量
表OZ示1，O的Z2复数应该是什么?
提O示Z1: OZ2 表示的复数是z1+z2.
OZ1 OZ2
2.设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量