中考数学试题研究类型面积平分问题练习

类型1面积平分问题

1?问题探究

(1)定义：两组邻边对应相等的四边形为筝形?写出一个你所学过的是筝形的特殊四边形：;如图

①，已知筝形ABCD连接AC试证明直线AC平分该筝形ABC啲面积；

⑵如图②，已知四边形ABCD AB= AD BC= DC在四边形ABC曲找一点P,连接PB PD 使折线B—P-D平分筝形ABC啲面积，并说明理由；

问题解决

(3)现有一块如图③所示的菜田ABCD且D处有一水井，现要过水井D修一条灌溉水渠，该

水渠近似为一条直线，且水渠两边菜田的面积相等，已知AB= AD= 20 m BC= DC= 20 5 m, / BAD= 90°，则是否能修出这样的水渠？若能，求出该水渠的长度；若不能，请说明理由.

第1题图

解：(1)菱形(或正方形);

证明：如解图①，

c

第1题解图①

在厶ABCm ADC中,

AB= AD

SBC= DC

AC= AC

???△ ABC^A ADC SSS) ?

???直线AC平分筝形ABCD勺面积；

⑵如解图②，连接AC取AC的中点P,连接BP DP则折线B-P-D平分筝形ABC啲面

积.

图①图②图③

第1题解图③

■/ OOOA 贝V S A ABD

过点D 作线段DG 交BC 于点G,设BG= x , △ DBG 勺边BG 上的高为h ,

??? AB= A D = 20 , / BA = 90° ,

? BD = 20 2.

又???△ CBD 是等腰三角形，

则有 C0= DC — D0= . 2000- 200= 30.2 ,

1 1

h = ：

BD- CO

2 2 =)20&h =[20/x 30迄

=

600 ,

? h = 12 5.

若厶DGC 勺面积等于四边形 ABG 啲面积,

第1题解图②

理由如下：

S A ABF = S\BPC ,（三角形等底同高面积相等）

S A ABP = 1 ABC,

同理, 1 S A ADP = 2& ADC ,

1 1

S A ABP + S^ ADP = q S ^ ABC + q S ^ADC

.S 四边形ABPD = q S 四边形 ABCD

即S 四边形ABPD= S 四边形BCDP

.折线B — P- D 平分筝形 ABC 啲面积;

⑶能.

如解图③，设直线 DG 平分筝形ABCD 勺面积，连接 AC BD 交于点0,

C

即S DCG= S^AB D+ S^BDG

1 11 则有2（20 5-x）h= 2X 20X 20+ q xh,

即10 5h-*xh= 200+ *xh ,

? x =2

冷,即BG= 3B C

过点G作GH L BD于点H,

?/ AC丄BD GHL BD, ??? GH/ AC △ BGH^A BCO 则BH= 3 BO GH= 3C O

1 5

? BH= 6B D DH BD- BH= ?BD

2?问题提出

(1)如图①，已知△ ABC过点A作

线段AD交BC边于点D,使得AD平分△ ABC勺面积；问题探究

⑵ 如图②，在平行四边形ABC曲,AB- 6 , BC= 8, / A 60°, AM= 2,在BC边上确定

点Q使得线段皿即分平行四边形ABCD勺面积，并求出MQ勺长；

问题解决

⑶如图③，在平面直角坐标系中有四边形ABCD A(0 , 2)、B(2 , 0)、C(4 , 0)、Q6 , 4),

图①图②图③

第2题图

解：(1)如解图①，取BC边上的中点D,连接AD线段AD即为所求；

⑵如解图②，连接AC BD交于点O连接MO并延长，交BC于点Q 则MC即可平分平行四边形ABC啲面积，且AM= CQ

过点A作AEL BC于点E ,过点M作M丄BC于点F ,

???在?ABCD^ , AD// BC

?四边形AEFM H矩形，AE= MF AM= EF= 2.

在Rt △ ABE中 , / B^ 60° , A* 6 ,

? BE= 3 , AE= ,

A M 1)

第2题解图②

GH= ?CO= 10 2 ,

3

过点A作线段AE交DC于点E ,使得AE平分四边形ABC啲面积，并求点E的坐标.

??? FQ= BC - B 「EF — QG= 8 — 3-2 — 2 = 1,

在 Rt △ MFQ 中, Z MFQ ：90°, FQ= 1, MF= AE= 3 3,

? MQ= F Q + M F = 12+( 3 ‘3) 2 = 2 7;

⑶如解图③，连接 BD 取BD 的中点P,连接AR PC 贝y BF^= PD

? - S A ABF = S L ADP , S L BCP = S A CDP ,

'/ S 四边形 ABC = S X ABP + S X BCP , S 四

边形

...S 四边形ABC = S 四边形ADCF ,

连接AC 过点P 作PE// AC 交CD 于点 ? S A APF = S A CEF ,

/. S A ADE = S 四边形 ABCE ,

???线段AE 平分四边形 ABCD 勺面积.

设直线AC 的解析式为y Ac = kx + b (k 丰0)，将点A (0 , 2) , C (4 , 0)代入,

1

可求得直线AC 的解析式为y Ac = — 2X + 2 ,

?- B (2 , 0), Q6, 4),

?线段BD 的中点P 的坐标为(4 , 2),

?/ AC// PE,

1

?设直线PE 的解析式为y PE = — 2X + m 将点R4, 2)代入,

1

可求得直线PE 的解析式为y pE = — 2X + 4.

设直线CD 勺解析式为y cD = ax + n ,

将点 Q4 , 0) , D (6, 4)代入,

可求得直线CD 的解析式为y cD = 2x — 8 ,

1

???直线y cD = 2x — 8与y pE = —尹+ 4交点为E ,

24 8

???点E 的坐标为(匚,8). 5 5

3?问题提出

(1)如图①，已知直线 a // b ，点A 、B 分别是直线a 上不同的两点，分别过点 A 、B 作ACL b , BDL b ,垂足记为点 CD,则线段AC 和线段BD 的数量关系为 A __________ BD (填“ >”，“ <”

或“=”) 问题探究

E ,连接 AE 交 PC 于点

F ,贝U S A APE = S A CPE

y =2x —8

1 1x + 4

，解得

⑵ 如图②，在△ ABC 中，点M N 分别是 AB AC 的中点，过点 A 作直线a // BC 点P 是直线 a 上的任意一点，连接PM PN MN 若四边形BCNI 的面积为3，则△ PMN 勺面积为 ____________ ; 问题解决

⑶ 如图③，有一块四边形空地 ABCD, AD/ BC / B = 60°, AB= 10米，AD= 30米，BC= 8 米，点E 是BC 上一点，且BE= 2米?市政为了美化城市，计划将这块空地改造成一片牡丹 园，为了方便行人行走， 计划在牡丹园中间过点 E 修一条笔直的小路（路的宽度不计），使得 小路的另一出口在 AD 上的点F 处，且EF 恰好将四边形 ABCD 勺面积平分?请你帮助市政设 计出小路EF 的位置（在图中画出 EF>,并求EF 的长（结果保留根号）.

1 H fS A P

= f ------------- —7

C ；1

J 图① 图②

图③

第3题图 解：⑴=;

【解法提示】两平行线间的距离处处相等.

（2）1 ；

【解法提示】在厶 ABC 中, M N 分别是AB AC 的中点，

1 ??? MIN/ BC MN= °BC

1

?

& AMN= 4& ABC ?

? S 四边形 MNC F 3S A AMN, ? S A AMN = 1.

又???直线 a // BC M / BC ?直线 a // MN

…S A PM ^F S A AM ^F 1.

⑶如解图，在 CD 上取点G,使得CG= DG 过点G 作HK/ AB 分别交AD 于点H 交BC 的延 长线于点K,连接BH AK 相交于点 O,连接EO 并延长交AD 于点F ,此时EF 即为所求.

过点 A 作

AQL BC 于点 Q,在 Rt △ ABQ 中 , AB= 10 米，/ ABQ F 60° ,

? BQ= 5 米,AQ= 5 3米.

?/ BE = 2 米,? EQ= 3 米.

过点E 作EPL DA 交DA 的延长线于点 P ,则四边形EQAP 是矩形，

? PE = AQ= 5 , 3米 , AP = EQ= 3 米.

??? G 是CD 的中点，CK/ HD

? / KC (FZ HDG / CK(FZ DHG CG= DG

???△ CKG^ DH@AS),

? CK= DH 又由作图及题知 HK/ AB AD/ BC

?四边形ABKH 是平行四边形，

?AH= BK

??? AH= BO CQ BC+ HD= AD- HD

1 1 ,

?HD= 2(AD- BC = 2X (30 —8) = 11 米，

?AH= AD—HD= 30 —11 = 19 米，

?/ FH= BE= 2 米，

?AF= AH- FH= 17 米，

PF= PA^ AF= 3 + 17= 20 米，

在Rt△ EPF中，由勾股定理得E=PE+ P F =7 (5护)2+ 202= 5濟米.