江苏省南京市建邺区2017年中考一模数学试题(含答案)

2017年中考第一次模拟测试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题纸上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置答题一律无效．
4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项．．．．
是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．下列实数中，无理数是
A ．2
B ．－ 1 2
C ．3.14
D ．3
2．下列运算正确的是
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．a 2 a 3＝a 6
C ．a 4÷a 2＝a 2
D ．(a 2)4＝a 6
3．不透明的布袋中有2个红球和3个白球，所有球除颜色外无其它差别．某同学从布袋里任意摸出一个球，则他摸出红球的概率是
A ． 3 5
B ． 2 5
C ． 2 3
D ． 1 2
4．某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为 A ．5，7 B ．6，7 C ．8，5 D ．8，7 5．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，AC ∥OB ，则∠BOC 的度数为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
6．如图，△ABC 三个顶点分别在反比例函数y ＝ 1 x ，y ＝ k
x 的图像上，若∠C ＝90°，
AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，S △ABC ＝8，则k 的值为
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（第5题）
C
y
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 若式子
x －2
2
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 8． 2017南京国际马拉松于4月16日在本市正式开跑．本次参赛选手共12629人，将12629用科学记数法表示为 ▲ ．
9． 因式分解：a 3－2a 2＋a ＝ ▲ ．
10．计算： 4
2
－ 8 ＝ ▲ ．
11．已知 x 1，x 2是方程 x 2－4x ＋3＝0 的两个实数根，则x 1 ＋ x 2＝ ▲ ．
12．将点A （2，－1）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是 ▲ ． 13．如图，点A 、B 、C 、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到△COD
的位置，则旋转角为 ▲ °．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，将△AED 沿直线DE 翻折，点A
落在点P 处，且DP ⊥BC ，则∠EDP ＝ ▲ °．
15．如图，正五边形ABCDE 的边长为2，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧
交于点F ，则⌒
BF 的长为 ▲ ．
16．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，半径为1的⊙O 分别与AB 、AC 相切于
E 、
F 两点，B
G 是⊙O 的切线，切点为G ，则BG 的长为 ▲ ．
A
B
C
D
E
P
（第14题）
A
（第16题） B
C D E
F
（第15题）
A
A
B
C
D O （第13题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(6分)先化简，再求代数式的值：（1－1m ＋2）÷ m 2＋2m ＋1m 2－4 ，其中m ＝1．
18．(7分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32 ≥x ＋1，
3＋4（x －1）＞－9，
并把解集在数轴上表示出来．
19．(7分)某学校以随机抽样的方式开展了“中学生喜欢数学的程度”的问卷调查，调查的
结果分为A （不喜欢）、B （一般）、C （比较喜欢）、D （非常喜欢）四个等级，图1、图2是根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）C 等级所占的圆心角为 ▲ °； （2）请直接在图2中补全条形统计图； （3）若该校有学生1000人，请根据调查结果，估计“比较喜欢”的学生人数为多少人．
某校“中学生喜欢数学的程度”的扇形统计图 某校“中学生喜欢数学的程度”的条形统计图
20．(8分)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，DE ∥AC 交BC 的延
长线于点E ．
（1）求证：△ABC ≌△DCE ；
（2）若CD ＝CE ，求证：AC ⊥BD ．
0 1 －4 －3 －2 －1 2 3 4 （第20题）
A B C
D
E O （第19题） 等级 图2
C 10% A B
D 23% 32% 图1
21．(7分)运动会上，甲、乙、丙三位同学进行跳绳比赛，通过“手心手背”游戏决定谁先
跳，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若其中有一个人的手势与另外两个不同，则此人先进行比赛；若三个人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏，甲同学先跳绳的概率是多少？
22．(6分)如图，已知点P 为∠ABC 内一点，利用直尺和圆规确定一条过点P 的直线，分别
交AB 、BC 于点E 、F ，使得BE ＝BF ．(不写作法，保留作图痕迹)
23．(7分)如图，用细线悬挂一个小球，小球在竖直平面内的A 、C 两点间来回摆动，A 点
与地面距离AN ＝14cm ，小球在最低点B 时，与地面距离BM ＝5cm ，∠AOB ＝66°，求细线OB 的长度． （参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.40，tan66°≈2.25）
A
（第22题）
M N O （第23题）
24．(7分)某水果店销售樱桃，其进价为40元/千克，按60元/千克出售，平均每天可售出100千克．经调查发现，这种樱桃每降价1元/千克，每天可多售出10千克，若该水果店销售这种樱桃要想每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？
25．(9分)已知一元二次方程x2－4mx＋4m2＋2m－4＝0，其中m为常数．
（1）若该一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）设抛物线y＝x2－4mx＋4m2＋2m－4的顶点为M，点O为坐标原点，当m变化时，求线段MO长度的最小值．
26．(12分)今年暑假，小勇、小红打算从城市A到城市B旅游，他们分别选择下列两种交通方案：
方案一：小勇准备从城市A坐飞机先到城市C，再从城市C坐汽车到城市B，整个行程中，乘飞机所花的时间比汽车少用3h．如图1所示，城市A、B、C在一条直线上，且A、C两地的距离为2400km，飞机的平均速度是汽车的8倍．
方案二：小红准备坐高铁直达城市B，其离城市A的距离y2（km）与出发时间x（h）之间的函数关系如图2所示．
（1）AB两地的距离为▲km；
（2）求飞机飞行的平均速度；
（3）若两家同时出发，请在图2中画出小勇离城市A的距离y1与x之间的函数图像，并求出y1与x的函数关系式．
A B
C
图1
h）
3 4 5 6 7
图2
（第26题）
27．(12分)定义：当点P 在射线OA 上时，把OP
OA
的值叫做点P 在射线OA 上的射影值；当
点P 不在射线OA 上时，把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点P 在射线OA 上的射影值．例如：如图1，△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高，则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为OP OA ＝ 1
3．
（1）在△OAB 中，
①点B 在射线OA 上的射影值小于1时，则△OAB 是锐角三角形； ②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△OAB 是直角三角形； ③点B 在射线OA 上的射影值大于1时，则△OAB 是钝角三角形． 其中真命题有
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
（2）已知：点C 是射线OA 上一点，CA ＝OA ＝1，以O 为圆心，OA 为半径画圆，点
B 是⊙O 上任意点． ①如图2，若点B 在射线OA 上的射影值为 1
2
．求证：直线BC 是⊙O 的切线．
②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式．
图2
B
C
D
O
A
图
3
图1 （第27题）
2017年中考第一次模拟测试卷 数学参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（每小题2分，共计12分）
二、填空题（每小题2分，共计20分）
7．x ≥2 8．1.2629×104 9．a (a －1)2 10．0 11．4 12．（-1，3） 13．90° 14．45° 15．815π 16．11
3
三、解答题（本大题共10小题，共计88分） 17．（本题6分）
解：原式＝m ＋1m ＋2 (m ＋2)(m －2)
(m ＋2)2
········································································· 2分
＝
m －2
m ＋1
······························································································ 4分 当m ＝1时，原式＝1－21＋1
＝－1
2． ························································· 6分
18．（本题7分）
解：解不等式①，得x ≤1． ·············································································· 2分
解不等式②，得x ＞－2． ·········································································· 4分 所以，不等式组的解集是－2＜x ≤1． ······················································· 5分 画图正确（略）． ···················································································· 7分 19．（本题7分）
（1）126； ···································································································· 2分 （2）图略； ·································································································· 4分 （3）在抽取的样本中，“比较喜欢”数学的人数所占的百分比为
1－32%－10%－23%＝35%， ····································································· 5分 由此可估计，该校1000名学生中，“比较喜欢”数学的人数所占的百分比35%， 1000×35%＝350（人）． ········································································· 6分 答：估计这些学生中，“比较喜欢”数学的人数约有350人． ···························· 7分
20．（本小题满分8分）
证明：（1）∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB //CD ，AB ＝DC ．∴ ∠ABC ＝∠DCE ． ∵ AC //DE ，∴ ∠ACB ＝∠DEC ． ································································· 3分
在△ABC 和△DCE 中，∠ABC ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠DEC ，AB ＝DC ．
∴△ABC ≌△DCE （AAS ）． ································································ 4分 （2）由（1）知△ABC ≌△DCE ，则有BC ＝CE ． ∵ CD ＝CE ， ∴ BC ＝CD ．
∴四边形ABCD 为菱形． ·········································································· 7分 ∴AC ⊥BD ． ························································································· 8分 21．（本题7分）
列表或树状图表示正确； ·········································································· 3分
22方法1： 方法2： ·············································
·································· 6分 23．（本题7分）
解：过点A 作AD ⊥OB 于点D .
由题意得AN ⊥MN ，OB ⊥MN ，AD ⊥OB ，∴四边形ANMD 是矩形，
∴DM ＝AN ， ·············································分
设OB ＝OA ＝x cm ，在Rt ∆OAD 中，∠ODA ＝cos ∠AOD ＝OD OA ＝ x ＋5－14x ≈0.6． ··············分
解得x ＝15cm ．
经检验，x ＝15为原方程的解． 答：细线OB 的长度是15cm ． ······················分
24．（本小题满分7分）
解：设每千克樱桃应降价x 元，根据题意，得 ······················································ 1分
（60－x －40）（100＋10x ） ＝ 2240． ······················································· 4分 解得：x 1＝4，x 2＝6． ··············································································· 6分 答：每千克樱桃应降价4元或6元． ··························································· 7分
25．（本小题满分9分）
（1）解法一：∵关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋4m 2＋2m －4＝0有实数根， ∴△＝（－4m ）2－4（4m 2＋2m －4）＝－8m ＋16≥0， ··································· 3分
∴m ≤2． ······························································································· 4分 解法二：∵x 2－4mx ＋4m 2＋2m －4＝0，∴（x －2m ）2＝4－2m ． ······················· 3分 ∴m ≤2． ······························································································· 4分 （2）解法一：y ＝x 2－4mx ＋4m 2＋2m －4的顶点为M 为（2m ，2m －4）， ··········· 6分 ∴MO 2＝（2m ）2＋（2m －4）2＝8（m －1）2＋8． ········································· 7分 ∴MO 长度的最小值为22． ····································································· 9分 解法二：y ＝x 2－4mx ＋4m 2＋2m －4的顶点为M 为（2m ，2m －4）， ·················· 6分 ∴点M 在直线l ：y=x －4上， ···································································· 7分 ∴点O 到l 的距离即为MO 长度的最小值22． ············································ 9分 26．（本小题满分12分）
解：（1）3000； ···························································································· 2分 （2）设汽车的速度为x km/h ，则飞机的速度为8x km/h ，根据题意得：
3000－2400x －2400
8x ＝3， ············································································ 4分 解之得：x ＝100．
经检验，x ＝100为原方程的解.则飞机的速度为8×100＝800 km/h ．
答：飞机的速度为800 km/h ． ···································································· 6分 （3）图略． ··························································································· 8分 当0≤x ≤3，y 1=800x ．
当3<x ≤9,，设函数关系式为y 1＝kx ＋b ，
代入点（3，2400），（9，3000）得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝2400，9k ＋b ＝3000解得⎩⎨⎧k ＝100，
b ＝2100．
∴函数关系式为：y 1＝100x ＋2100 ···························································· 12分 27．（本题10分）
解：（1）B ． ································································································ 2分
（2）解法一：过点B 作BH 垂直OC ，垂足为H ．
∵B 在射线OA 上的射影值为12，∴OH OA ＝12，∵OB ＝OA ，∴OH OB ＝1
2，∵CA ＝OA ，∴
OB OC ＝12，∴OH OB ＝OB
OC
．又∵∠O ＝∠O ， ∴△OHB ∽△OBC ． ····························································∴∠OBC ＝∠OHB ＝90°．∴OB ⊥BC ，∵点B 是圆O 上的一点， ∴BC 是圆O 的切线． ·············································································· 8分
解法二：连接AB ，过点B 作BH 垂直OC ，垂足为H ．
∵B 在射线OA 上的射影值为12，∴OH OA ＝12，∵OB ＝OA ，∴OH OB ＝1
2＝cos ∠O ，
∴∠O ＝60°．∵OB ＝OA ，∴△OBA 是等边三角形，∴∠OAB ＝60°． ·············· 4分
∵AC ＝OA ，∴AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，∴∠C =30°． ··································· 6分 ∴∠OBC ＝90°．∴OB ⊥BC ，∵点B 是圆O 上的一点， ∴BC 是圆O 的切线． ·············································································· 8分 （3）y ＝0 (12≤x ＜34)； ··············································································· 10分
y ＝2x －32（34≤x ≤3
2） ········································································· 12分。