高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上。设抛物线y 2=2px （p>0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为______。

解：抛物线y 2＝2px （p>0）的焦点F （p

2，0），可设直线AB 的方程为x ＝ty ＋p

2， 代入y 2＝2px 得y 2－2pty －p 2＝０ 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（y 1>0，y 2<0）则y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，

x 1＝y 12

2p ，x 2＝y 22

2p ，

|AB|＝|FA|+|FB|＝（x 1＋p

2）＋（x 2＋p

2）=x 1＋x 2＋p

＝

y 122p

＋

y 222p

＋p ＝

（y 1+y 2）2

−2y 1y 2

2p ＋p ＝

（2pt ）2

＋2p 2

2p

＋p ＝2p （1＋t 2）

设切线AQ ：y ＝k 1（x －y 122p

）＋y 1＝k 1x ＋

2py 1−k 1y 12

2p

，代入y 2＝2px 得，

（k 1x ＋2py 1−k 1y 12

2p

）2＝2px ，整理得k 12x 2＋

2p k 1y 1−k 12k 12−2p 2

p

x ＋

（2p y 1−k 1y 12）

2

4p ＝０

△=

（2p k 1y 1−k 12k 12−2p 2）

2

p －

k 12（2p y 1−k 1y 12）

2

p ＝0，整理（两同乘p 2，再用平方差公式）

（4p k 1y 1−2k 12k 12−2p 2）（−2p 2）＝０

−4p k 1y 1＋2k 12

k 12＋2p 2＝０，（k 1y 1－p ）2＝0，k 1＝p

y 1

，从而

切线AQ 的方程：y ＝p y 1

x ＋y

12

①

设切线BQ ：y ＝k 2（x －x 2）＋y 2＝k 2（x －y

22

2p ）＋y 2，同理可得，k 2＝p

y

2

切线BQ 的方程：y ＝p

y 2

x ＋y

22

②

联立①②，解得 x =

y 1y 22p

=−p

2

y =y 1＋y 2

2＝pt

于是点Q （−p

2，pt ），其到直线AB 的距离d=

｜pt ２＋p

2

＋p 2

｜

1＋t 2

＝p 1＋t 2

从而Ｓ△ABQ ＝1

2

·|AB|·d ＝p 2（1＋t 2）3

≥p 2

可见t=0（即直线AB ：x ＝p

2与x 轴垂直）时取等号，△ABQ 的面积最小值为p 2

延伸：点Q 坐标：（−p

2，pt ）表明点Q 在抛物线准线上，

从k 1K 2＝p y

１

p

y 2

＝p ２y

１y 2

＝

p ２−p ２

＝−1，可知切线AQ 、BQ 互相垂直。