2.3.2矩阵乘法的简单性质
矩阵乘法的性质
������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3 + ������1������2������3
1 0
3 1
=
1 0
6 1
下面考察二阶矩阵的乘法是否满足交换律。我们从某些具体的
二阶矩阵所对应的线性变换对平面图形的作用效果入手，
1
例如：矩阵 2
0 确定的伸缩变换
01
β：
x‘ ������′
1
=2 0
0 1
x ������
矩阵
0 1
−1 0
确定的是旋转变换
������900
:
x‘ ������′
A=
������1 ������1
������1 ������1
B=
������2 ������2
������2 ������2
C=
������3 ������3
������3 ������3
一方面
AB
=
������1 ������1
������1 ������1
������2 ������2
=
������1������2������3 + ������1������2������3 ������1������2������3 + ������1������2������3
矩阵乘法数量积_概述说明以及解释
矩阵乘法数量积概述说明以及解释1. 引言1.1 概述矩阵乘法数量积是线性代数中的一个重要概念，它用于计算两个矩阵之间的相乘结果。
通过对每个元素按一定规则进行乘法和求和运算，数量积可以得到一个新的矩阵。
这种操作在各个学科领域有广泛的应用，包括数学、物理和工程等。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对矩阵乘法数量积进行详细说明。
首先，我们将介绍矩阵乘法的基本概念，包括定义和性质。
然后，我们将解释矩阵乘法数量积的原理，并说明其实现过程。
接下来，我们将探讨矩阵乘法数量积在不同领域中的应用情况，包括数学、物理和工程等方面。
此外，本文还将介绍一些常见的算法和计算优化技巧，以提高矩阵乘法数量积的效率。
最后，在结论部分，我们会总结以上内容，并展望未来矩阵乘法数量积的发展趋势并给出相关建议。
1.3 目的本文旨在深入探讨矩阵乘法数量积的概念和原理，以及其在不同领域中的应用。
通过介绍常用的算法和计算优化技巧，我们希望读者能够了解到如何提高矩阵乘法数量积的计算效率。
同时，本文还旨在为未来研究者提供一些思考点，并展望矩阵乘法数量积在未来可能的发展方向。
2. 矩阵乘法数量积的定义与原理2.1 矩阵乘法的基本概念矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的操作。
如果矩阵A是一个m 行n列的矩阵，而矩阵B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积C将是一个m行p列的矩阵。
在此过程中，对应位置上两个矩阵元素的相乘并求和得到结果矩阵C中对应位置上的元素。
2.2 数量积的定义与性质数量积也被称为内积、点积或标量积。
对于两个向量a和b，它们之间的数量积表示为a∙b。
数量积满足以下性质：- 若a和b平行（夹角为0度），则a∙b = |a|*|b|- 若a和b垂直（夹角为90度），则a∙b = 0- 对任意向量c和标量k，有(kc)∙(kc) = k^2 * (c∙c)2.3 矩阵乘法数量积的原理解释矩阵乘法数量积可视作将两个向量进行投影、放缩和重新组合的过程。
矩阵的运算优秀课件
且A2X=B，求X。
解：
X
=
1 2
(B
A)
=
1 2
2 0 0
2 1 5
5 1 2
2
4
5
1 1 = 0 1/ 2
5/2 1/ 2
1 2
。
0 5 / 2 1 5 / 2
练习
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铃
三、矩阵的乘法
定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：
a11 a12 a1s
0 3 6 9 0 12 8 16
92 156 214 60 7 9 17 6
= 64 02 1210 914 = 2 2 2 5 。
00 312 68 916 0 9 2 7
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铃
3572
1320
例4．已知 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，
0 1 23
0 6 48
列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即
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2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A); (2) (λ + μ)A = λ A + μ A. (3) λ(A + B) = λ A + λ B.
结合律 分配律 分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
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四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
线性代数第二章
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用201700060牛晨晖在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则1.1矩阵的加法与减法1.1.1运算规则设矩阵，，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．1.1.2运算性质满足交换律和结合律交换律；结合律．1.2矩阵与数的乘法1.2.1运算规则数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．1.2.2运算性质满足结合律和分配律结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．分配律：λ(A+B)=λA+λB．已知两个矩阵满足矩阵方程，求未知矩阵．解由已知条件知1.3矩阵与矩阵的乘法1.3.1运算规则设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．设矩阵计算解是的矩阵．设它为可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）(1) 结合律．(2) 分配律（左分配律）；（右分配律）．(3) ．1.3.4方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，显然，记号表示个A的连乘积．1.4矩阵的转置1.4.1定义定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．例如，矩阵的转置矩阵为．1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）(1)(2)(3)(4) ，是常数．1.4.3典型例题利用矩阵验证运算性质：解；而所以．定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．1.5方阵的行列式1.5.1定义定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．1.5.2运算性质(1) （行列式的性质）(2) ，特别地：(3) （是常数，A的阶数为n）思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．例如，则．于是，而2光伏逆变器的建模光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。
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精品精品资料精品精品资料选修4－2矩阵与变换 2.3.2 矩阵乘法的简单性质学习目标1、通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。
2、会验证矩阵的乘法满足结合律。
3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。
学习过程：一、预习：阅读教材，体会下列知识：1、两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB BA,由AB=AC不一定能推出B=C.2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为nA的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.练习1、对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为2、已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝01-1，变换T2对应矩阵为N＝10.5对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。
二、课堂训练：例1．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。
例2、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M ，N ，它们不满足MN=NM ；（2）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式01010101AB成立；（3）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式00000101AB 成立．练习：1. 已知：A=1000，B ＝1001，C ＝1002，计算AB ，AC 。
矩阵乘法要求
矩阵乘法要求矩阵乘法是一种算术运算，它在线性代数，机器学习等多种领域中都有重要的作用。
由于它丰富的应用，因此其要求也很高。
本文将介绍矩阵乘法相关的要求，以供读者参考。
矩阵乘法的具体定义是：若A是m行n列矩阵，B是n行p列矩阵，那么矩阵C=AB是m行p列矩阵，其中每个元素是A第i行与B 第j列所有元素的积之和。
这意味着，在矩阵乘法中，第一个矩阵的行数要与第二个矩阵的列数相同，否则就无法做乘法的运算。
此外，矩阵乘法的运算可能会牵涉到矩阵的转置，即将矩阵的行和列互换位置。
例如，如果A是一个m*n矩阵，A的转置就是一个n*m 的矩阵，它的元素位置与A相反。
因此，如果两个矩阵的行数和列数不同，可以通过转置其中一个矩阵，使其列数与另一个矩阵行数相等，这样就可以进行乘法运算。
此外，在矩阵乘法运算中，另一个重要的要求就是矩阵的乘法的计算顺序必须满足一定的规则。
根据链式乘法定理，A和B的乘积AB 和B和C的乘积BC并不相等，它们的乘积为ABC，即A和BC的乘积，也就是说，A和B是乘法运算符号，最先求乘法运算的必须满足AB先乘BC后乘，即A与B先乘，AB与C后乘。
另外，在进行矩阵乘法计算时，还应该注意矩阵乘法的运算结果必须满足交换律，即如果A与B的乘积是C，那么B与A的乘积也是C。
这是因为在矩阵乘法中，元素的乘积并不是按顺序组合的，而是按位置组合的，即矩阵A中的元素aij需要与矩阵B中的元素bjk相乘，以获得矩阵C中的元素cik，因此矩阵乘法结果必须满足交换律。
最后，矩阵乘法也具有交构性，即如果A和B的乘积AB是可以计算的，那么A和B的转置的乘积为A的转置A和B的转置B的乘积AB也是可以计算的。
这是因为，矩阵乘法的运算过程仅仅是计算两个矩阵中每个元素的乘积，因此，交构性的存在，意味着矩阵乘法的结果不依赖于两个矩阵的行列顺序，可以将两个矩阵进行转置，以生成另一个矩阵，也可以得到相同的结果。
综上所述，矩阵乘法要求较高，本文概述了它的一些要求，例如，乘法计算需要满足矩阵的行数与列数的要求，同时也需要满足乘法的计算顺序，交换律和交构性等一系列要求。
矩阵基本性质总结
矩阵基本性质总结矩阵是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于多个领域，如物理学、计算机科学、经济学等。
理解矩阵的基本性质对于掌握这一工具至关重要。
首先，矩阵具有加法和数乘的运算性质。
矩阵的加法是指两个具有相同行数和列数的矩阵对应位置的元素相加。
例如，若有矩阵 A 和矩阵 B ，它们都是 m 行 n 列的矩阵，那么矩阵 A 和矩阵 B 的和就是一个新的 m 行 n 列的矩阵 C ，其中 C 的每个元素 Cij ＝ Aij ＋ Bij 。
数乘矩阵则是用一个数乘以矩阵中的每个元素。
如果有矩阵 A ，用数 k 去乘以矩阵 A ，得到的新矩阵 B 中每个元素 Bij ＝ k × Aij 。
矩阵加法和数乘运算满足一些规律，比如加法满足交换律和结合律，即 A ＋ B ＝ B ＋ A ，（A ＋ B) ＋ C ＝ A ＋（B ＋ C) ；数乘满足分配律，如 k ×（A ＋ B) ＝ k × A ＋ k × B 。
其次，矩阵的乘法是一个相对复杂但又极为重要的性质。
矩阵相乘不是简单地将对应元素相乘，而是有特定的规则。
只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
假设矩阵 A 是 m 行 n 列，矩阵 B 是 n 行 p 列，那么它们的乘积 C 是一个 m 行 p 列的矩阵。
其中 C 的元素 Cij 是矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列元素对应相乘再相加的结果。
矩阵乘法一般不满足交换律，即 A × B 不一定等于 B × A 。
但它满足结合律和分配律，即（A × B) × C ＝ A ×（B × C) ， A ×（B ＋ C) ＝ A × B ＋ A × C 。
矩阵乘法有着广泛的应用。
比如在表示线性变换时，一个矩阵可以看作是对向量的一种变换操作。
通过矩阵乘法，可以实现多个线性变换的连续作用。
高中数学 第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法 2.3.1 矩阵乘法的性质教案 新人教A版选修4-2-
矩阵的乘法一、问题：△ABC ，A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔1，2〕，对它先作M ＝10⎡⎢⎣0-1⎤⎥⎦对应的变换，再作N ＝10⎡⎢⎣02⎤⎥⎦对应的变换， 〔1〕试研究两次变换后的结果。
〔2〕两次变换能否用一个变换矩阵表示。
二、二阶矩阵的乘法规那么及几何意义三、n 次变换的表示方式——M n例1计算：① A ＝⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-，B ＝⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10 ②A=10⎡⎢⎣00⎤⎥⎦，B ＝10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦，C ＝10⎡⎢⎣02⎤⎥⎦解： ① AB=⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10= ⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯21122(-1)11⎥⎦⎤⨯+⨯⨯+⨯11021(-1)01=⎢⎣⎡41-⎥⎦⎤11- BA=⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-=⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯21122011⎥⎦⎤⨯+-⨯⨯+-⨯11)1(2101)(1=⎢⎣⎡41⎥⎦⎤1-1- ∵⎢⎣⎡41-⎥⎦⎤11-≠⎢⎣⎡41⎥⎦⎤1-1- 结论：矩阵乘法不满足交换律。
3、计算：① X =〔⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10〕⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10 ②X =⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-〔⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10〕 解：①X =〔⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10〕⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡41-⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡63-⎥⎦⎤11- ②X =⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-〔⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10⎢⎣⎡21⎥⎦⎤10〕=⎢⎣⎡21⎥⎦⎤11-⎢⎣⎡41⎥⎦⎤10=⎢⎣⎡63-⎥⎦⎤11- 可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。
4．△ABC ，A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔1，2〕，对它先作关于x 轴的反射的变换，再将图形绕原点顺时针旋转90º。
〔1〕求两次连续的变换对应的变换矩阵M ；〔2〕求A ，B ，C 在变换作用下所得到的结果。
5．假设⎢⎣⎡01⎥⎦⎤1x 3=⎢⎣⎡01⎥⎦⎤11，试求x 的值。
线性代数中矩阵乘法的本质
线性代数中矩阵乘法的本质一、线性空间1.1线性的含义线性代数里面的“线性”意思就是线性空间里的线性变换。
线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义。
中学里，函数f(x)=kx+b称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数。
在线性代数中，为了线性函数的进一步推广，把一元线性函数f (x)= kx + b中的b去掉，即只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数，这是因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。
线性函数的“线性”二字，体现在几何意义和代数意义2个方面：几何意义，线性就是指几何上是一条线，称为线性；而代数意义上，线性体现在①可加性（对加法封闭）②比例性（对数乘封闭）。
1.2、空间空间的概念比较抽象，简单来说，能装东西的就是空间。
数学上定义，里面装了可以运算的东西就是空间。
从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。
就好像从水果这个泛型概念开始，一步步往上加定义，可以形成很多更加具体化的概念，如热带水果，甜的热带水果，苹果，红苹果等等。
线形空间算是还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间；赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间；内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间；如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。
空间有一些具体特征，就好像水果这个泛指的概念也有一些属性来描述一样，空间具有以下属性特征：①由很多（实际上是无穷多个）位置点组成②这些点之间存在相对的关系③可以在空间中定义长度、角度④这个空间可以容纳运动上面的这些性质中，③比较特殊，其他的空间不需要具备，因此不是关键的性质，或者说一种泛有的性质，而④则是空间的本质，即容纳运动是空间的本质特征。
事实上，无论是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合该空间规则的运动（或者叫做变换）。
三元组矩阵乘法
三元组矩阵乘法1. 任务背景矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等。
矩阵乘法是其中的一个基本运算，它在很多领域都有着重要的应用。
而三元组矩阵乘法则是矩阵乘法的一种特殊形式，它可以更加高效地表示和计算稀疏矩阵的乘法运算。
2. 任务介绍2.1 什么是三元组矩阵？三元组矩阵是一种特殊的矩阵表示方法，适用于稀疏矩阵（大部分元素为0）的存储和计算。
在三元组矩阵中，只存储非零元素的值及其对应的行列索引，而忽略了所有零元素。
这样可以大大减少存储空间和计算复杂度。
三元组矩阵的存储方式通常采用三个数组来表示，分别是：values、row_indices和col_indices。
其中，values数组存储非零元素的值，row_indices数组存储非零元素所在的行索引，col_indices数组存储非零元素所在的列索引。
2.2 三元组矩阵乘法的定义给定两个三元组矩阵A和B，它们的乘积C的定义如下：C(i, j) = sum(A(i, k) * B(k, j)) for k in range(0, n)其中，n表示矩阵的维度，A(i, k)表示矩阵A的第i行第k列的元素，B(k, j)表示矩阵B的第k行第j列的元素。
2.3 三元组矩阵乘法的算法三元组矩阵乘法的算法可以分为两个步骤：稀疏矩阵的转置和乘法计算。
2.3.1 稀疏矩阵的转置为了实现高效的三元组矩阵乘法，需要先将矩阵B进行转置。
转置后的矩阵B的非零元素行列索引互换，即原来的B(k, j)变为B(j, k)。
2.3.2 乘法计算在转置后的矩阵B上进行乘法计算。
对于矩阵A的每一行i，找到矩阵B中列索引等于i的所有非零元素，然后将这些元素与A(i, k)相乘，并将结果累加得到C(i, j)。
2.4 三元组矩阵乘法的优势相比于传统的矩阵乘法算法，三元组矩阵乘法具有以下优势：•节省存储空间：三元组矩阵只存储非零元素，大大减少了存储空间的占用。
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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
矩阵基本性质总结
矩阵基本性质总结矩阵是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于线性代数、物理学、计算机科学、经济学等众多领域。
接下来，让我们一起深入了解矩阵的一些基本性质。
首先，矩阵具有加法和数乘运算的性质。
对于两个同型矩阵（即行数和列数都相同的矩阵），可以将它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵，这就是矩阵的加法。
例如，若有矩阵 A ＝ 1 2; 3 4 和矩阵B ＝ 5 6; 7 8，那么 A ＋ B ＝ 6 8; 10 12。
数乘运算则是用一个数乘以矩阵中的每个元素。
比如，对于矩阵 A ＝ 1 2; 3 4，若用 2 去数乘 A，得到 2A ＝ 2 4; 6 8。
矩阵的加法满足交换律和结合律，即 A ＋ B ＝ B ＋ A，（A ＋ B)＋ C ＝ A ＋（B ＋ C)。
矩阵的乘法是矩阵运算中较为复杂但又极其重要的一种运算。
一般来说，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。
例如，矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C ＝ AB 是一个 m×p 的矩阵。
其计算规则是，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
也就是说，一般情况下AB ≠ BA，但（AB)C ＝ A(BC)，A(B ＋ C) ＝ AB ＋ AC。
矩阵的转置也是一个重要的性质。
将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。
例如，矩阵 A ＝ 1 2 3; 4 5 6，其转置矩阵 A^T ＝ 1 4; 2 5; 3 6。
转置矩阵具有一些有用的性质，比如（A^T)＾T ＝ A，（A ＋ B)＾T ＝ A^T ＋ B^T，（kA)＾T ＝ kA^T （其中 k 为常数）。
单位矩阵在矩阵运算中类似于数字 1 的作用。
一个 n 阶单位矩阵是一个主对角线元素为 1，其余元素为 0 的 n×n 矩阵，通常记为 I 或 E。
苏教版数学高二- 选修4-2 教案 2.3变换的复合与矩阵的乘法
2.3 变换的复合与矩阵的乘法1．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M·M·…·M.3．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设M 、N 、P 均为二阶矩阵， 则一定有(MN)P ＝M(NP)． (3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B≠C.1．矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法．(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律．2．矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？ 【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换．3．矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】 不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M 后T N 的两次几何变换.矩阵的乘法运算(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，计算AB.(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA. (3)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【思路探究】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明．【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义．(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA ；(3)中尽管B≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵．证明下列等式并从几何变换的角度给予解释．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0，∴左＝右．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.矩阵乘法的简单性质已知正方形ABCD ，点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，变换T 1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释．【思路探究】 利用具体的几何变换验证．【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN≠NM.从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换．这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图．(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换．一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律．但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律．算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012表示AB ＝AC ，但A≠0且有B≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释．【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.∴左边＝右边．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.变换的复合问题已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．【思路探究】 先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程．【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－2y 0，y′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′0，y 0＝－x′02.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(y′0)2＋⎝⎛⎭⎫－x′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？ 【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x′0＝－y 0，y′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y′02，y 0＝－x′0.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以⎝⎛⎭⎫y′022＋(－x′0)2＝1. 故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.(教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换．(2013·南京模拟)已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力．【解】 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)， 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x′，x 0＝y′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x′，x 0＝y′.代入曲线C 1方程得，y′2＋(12bx′)2＝1.即曲线C 2方程为：(12b)2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b)2＝4.所以b ＝±1.1．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×－1＋0×00×0＋2×1 0×－1＋2×0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋－1×0 0×0＋－1×2 1×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 02．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4，则AB ＝________，AC ＝________.【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 03．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，则A 2＝________.【解析】 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋1×－1 1×1＋1×－1－1×1＋－1×－1 －1×1＋－1×－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 04．矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________．【解析】 几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换． 【答案】 先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC. 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1.【解】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z.【解】 设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－1 37.4．验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行)． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边．故等式成立．从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1把点P(x ，y)切变到点P 1(y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把点P 1(y ，x ＋y)切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002把点P 2(x ＋2y ，x ＋y)垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y,2x ＋2y)向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y,3x ＋4y)．这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4直接把点P(x ，y)变到点P 4(x ＋2y,3x＋4y)是一致的．(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝左边．故等式成立．从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A(x ，y)以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x)；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1把点A 1(y ，x)平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x)；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把点A 2(y ＋kx ，x)以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx)．这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1直接把点A(x ，y)沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx)是一致的．5．试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1. 【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×12＋0×0 1×0＋0×10×12＋2×0 0×0＋2×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设(x′，y′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y)，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x′ 2y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12x′＝x ，2y′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y. 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x.故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x.6．求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－11.【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－22， 设P(x′，y′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P′(x ，y)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x′－2x′＋2y′ 于是x′＝x ，y′＝x ＋y2.代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1. 7．已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎡⎦⎥⎤1878 (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率．【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427， 它们分别表示 A 2＝后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤59 4949 59，A 3＝再后天晴阴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1427 13271327 1427.(2)明天天气晴、阴概率Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3858；后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11241324；再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35723772.教师备选8．设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵．【解】 若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转， 则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60°sin －60° cos －60°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0，故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32. 综上所述，所求矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 32 －12－12 －32.一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， 所以b ＝1，d ＝2.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2.所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 304.所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点．在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O(0,0)，A(2,0)，B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 22. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2222 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋－1×0 0×22＋－1×22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22.又因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1， 所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)，所以S △O′A′B′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程．【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P(x ，y)，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝－12x′，代入y 2＝x ，得y′＝14x′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一．在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼．因此本章中始终贯穿数形结合的思想．已知矩形ABCD ，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，则连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. 所以点A 、B 、C 、D 分别变换成点A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如图所示．(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如图所示．综合检测(三)1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ.【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋2×3 1×－2＋2×123×0＋4×3 3×－2＋4×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －112 －4.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ＋φ －sin θ＋φsin θ＋φ cos θ＋φ.2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释． 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的．3．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N. 【解】 设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a －c 22b －d 22a ＋c22b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 22a －c ＝1，22b －d ＝0，22a ＋c ＝0，22b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22. 4．设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M. 【证明】 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ，EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝M.所以等式得证． 5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *)．【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos nα sin nα－sin nα cos nα. 6．根据如图所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到．(2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的伸压变换得到．7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.(1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程．【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2×1＋1×0 2×－2＋1×1－1×1＋2×0 －1×－2＋2×1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 4，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×2＋－2×－1 1×1＋－2×2 0×2＋1×－1 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P(x ，y)经矩阵M 变换后为点P′(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x′＝2x －3y y′＝－x ＋4y ，即⎩⎨⎧ x ＝45x′＋35y′y ＝15x′＋25y′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得：45x′＋35y′＋15x′＋25y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】 由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．计算得△A′B′C′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1.9．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20 d ， 且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象．【解】 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝22＋ad ＝0bc ＋0＝－22b ＋d ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－1c ＝2d ＝2.(2)设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y)，在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 2x 得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y)的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x.10．假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：价格 日需求量A ＝苹果香蕉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5A 店 1.2B 店2.8 3.0，B ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤1苹果 2香蕉3 2， 人员数量C ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤200男 50女80 120. 利用A ，B ，C ，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA ，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表．【解】 (1)BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.8 3.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1 7.210.1 9.6. 由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元．故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：BA ＝男女⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.1A 店 7.2B 店10.1 9.6日消费额. (2)C 与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 232 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400， 故量表为D ＝公司甲公司乙⎣⎢⎡⎦⎥⎤350苹果 500香蕉440 400日需求量.。
矩阵 点乘 和相乘-概述说明以及解释
矩阵点乘和相乘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它由若干行与若干列元素组成的数组所构成。
矩阵在数学、物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，因此矩阵运算也成为了研究和实践中的重要内容之一。
在矩阵运算中，点乘和相乘是两种常见的操作。
点乘是指两个矩阵中对应位置元素相乘并相加得到一个标量值的运算，而矩阵相乘是指两个矩阵按一定规则相乘得到新的矩阵的运算。
这两种运算在实际问题中有着各自的应用场景和重要性。
本文将深入探讨矩阵的定义和性质，以及点乘和相乘的概念、规则和重要性。
通过对矩阵运算的全面解析，希望读者能够更深入地理解矩阵运算的重要性以及在实际问题中的应用价值。
1.2 文章结构本文将分为三个部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分，将介绍矩阵、点乘和相乘的基本概念，以及文章的结构和目的。
在正文部分，将详细探讨矩阵的定义和性质，点乘的概念和应用，以及矩阵相乘的规则和重要性。
在结论部分，将总结矩阵运算的重要性，指出矩阵点乘和相乘的应用场景，并展望矩阵运算的未来发展。
通过这样的结构，读者可以全面了解矩阵运算的相关知识和重要性，同时也可以展望未来在这一领域的发展方向。
1.3 目的目的部分本文的目的在于探讨矩阵运算中的点乘和相乘操作，分析它们在数学和实际应用中的重要性和作用。
通过深入理解矩阵的定义、性质以及点乘、相乘的规则，可以帮助读者更好地掌握这些概念，并在解决实际问题时运用到矩阵运算中。
此外，本文还旨在展示矩阵运算在不同领域的广泛应用，以及展望未来矩阵运算的发展方向与趋势。
通过阅读本文，读者能够深入了解矩阵运算的重要性和实用性，为其在学术和职业生涯中带来更多的启发和帮助。
2.正文2.1 矩阵的定义和性质矩阵是数学中一种非常重要的概念，它是由数字组成的二维数组。
一个矩阵通常用一个大写字母表示，比如A、B、C等。
一个矩阵可以用m ×n的形式表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的行列式与逆阵
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
5
总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
6
7
8
9
10
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
A
A
定理 2设.2A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆 ｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 1 A*
A
证 若A可逆,则 AA1 = E AA1 = A A1 E 1
从而 |A| 0.必要性得证.
若 |A| 0, 则由
AA* A*Α | A | E
A( 1 A*) ( 1 A*)A E
4
4
例4 已知 A为方阵且 Ak 0, k N
证明 (E A)1 E + A + + Ak1. 证 因为 (E A)(E A Ak1) E Ak E
所以 E A 可逆，而且
(E A)1 E A Ak1
总结关于方阵 A :
A 可逆 |A| 0
AA*=A*A=|A| E
记作B = A-1.
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法矩阵A ∈ R m×n 和B ∈ R n×p 的乘积为矩阵：其中：.请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。
有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些例⼦开始学习。
2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ R n，那么x T y的值，我们称之为向量的内积或点积。
它是⼀个由下式得到的实数：.可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。
通常情况下x T y = y T x。
对于向量x ∈ R m， y ∈ R n（⼤⼩不必相同），xy T ∈ R m×n称为向量的外积。
外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，.我们举个例⼦说明外积有什么⽤。
令1 ∈ R n 表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵A ∈ R m×n 的每⼀列都⽤列向量x ∈ R m表⽰。
使⽤外积，我们可以将A简洁的表⽰为：.2.2矩阵-向量的乘积对于⼀个矩阵A ∈ R m×n 和向量x ∈ R n，他们的乘积为向量y = Ax ∈ R m。
理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。
以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：.也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：.换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。
上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ R m×n，x ∈ R m， y ∈ R n，这个式⼦可以写成y T = x T A 。
向之前那样，我们有两种⽅式表达y T，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。
第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：这个式⼦说明y T 第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。
我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。
我们可以看到y T 是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。
格上矩阵的乘积运算性质
格上矩阵的乘积运算性质
矩阵乘法是一个强大的数学工具，它已经被广泛应用于各种应用领域，其中包括经济学、工程学和数据科学等。
此外，矩阵乘法运算性质在这些应用领域中都有着重要作用。
矩阵乘法是一种操纵数字特性的运算方法，它有不同类型的性质。
其中著名的有乘法交换律、结合律、分配律和分母常数法等。
乘法交换律状态下，两个矩阵可以完全改变它们的位置但不影响结果；结合律指出，如果三个矩阵具有相同的乘积，那么可以将其中任意两个矩阵相乘，而不改变最终结果；分配律强调，一个矩阵乘以多个矩阵的结果等于其中任一个矩阵乘以其他矩阵的结果；最后，分母常数法指出，一个矩阵的乘法结果和乘以一个数的结果相同，即，矩阵乘以常数自动转化为每个元素乘以这个常数的结果。
矩阵乘法的运算性质使它变得非常有用，它有助于减少计算成本和计算时间，它还可以帮助我们更好地理解高维数据。
例如，可以通过矩阵乘法原理将多个向量串联到一起，而无需进行大量计算步骤。
此外，它还帮助我们将多个关系转换为更简单的形式，从而更容易进行推理。
总而言之，矩阵乘法的运算性质是促进数学计算的重要部分，它既可以简化现有的问题，也可以避免大量的重复计算，帮助我们更好地理解数据。
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x y
x y
1 3
4 2
x
y
，
试将它写成坐标变换的形式；
（2）已知变换
x y
x y
x
3y y
，
试将它写成矩阵乘法的形式.
小结:
(1)二阶矩阵与平面向量的乘法规则;
(2)理解矩阵对应着向量集合到向量集 合的映射;
二阶矩阵与平面列向量 的乘法
丰县欢口中学 刘梅芹
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选 手初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
60
85
规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综 合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.
则甲和乙的综合成绩分别是多少?
甲：80 0.4 900.6 86;
记A 80 90,C 00..46，
(3)待定系数法是由原象和象确定矩阵 的常用方法.
80 60
90
85
00..46＝8600
0.4 0.4
90 85
0.6 0.6
86 75.
规定：
行矩阵 a11
a12
与列矩阵
b11 b21
的乘法法则为
a11
a12
b11 b21
＝
T： xy
x y
.
２ ０
０ １
就确定了一个变换：
T：(x, y) (x, y) (2x, y)
或
T： xy
x y
2x
y
.
一般地，对于平面向量的变换T，如果变换 规则为
T： xy
两种形式形异而质同
由矩阵M 确定的变换T，通常记为TM . 根据变换的定义，它是平面内的点集到其自身 的一个映射.
当
x
y
表示某个平面图形F上的任意点时，
这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到
一个新的图形F — —原象集F的象集.
解决教材上的思考题P.8
例题
（1）已知变换
a11 b11
a12
b21
,
二阶矩阵
a11 b21
a12 b22
与列向量
x0 y0
的乘法规则为
a11 b21
a12 b22
x0
y0
＝ba2111
x0 x0
a12 b22
y0 y0
.
计算：
记AC 80
90
0.4 0.6
＝80 0.4+90 0.6 86.
乙:600.4 850.6 75.
请你类比甲的计算方法，计算乙的成绩.
记Ｄ
80 60
90
85
,
C
00..64，
则甲、乙两人的成绩可计算如下：
Ｄ C
1 2 3 1.０ １ 1 ;
2. ０２
０ １
x y
.
一般地，对于平面上的任意一点（向量）
(x, y),若按照对应法则T，总能对应唯一的一个 平面点(向量）（x, y),则称T为一个变换，简记 为
T：(x, y) （x, y)， 或
x y
ax cx
by dy
,
坐标变换的形式
那么，根据二阶矩阵与向量的乘法规则可以改写为
T： xy
x y
a c
Hale Waihona Puke bd x
y
矩阵乘法的形式
的矩阵形式，反之亦然（a,b, c, d R).