人教版数学八年级下册专题八一次函数与几何结合
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y＝12x＋1，由yy＝＝12－x＋2x1＋，2，得 E(52，56)
四、一次函数与最小值 4．如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB 上，在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐 标．
解：作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连 CA′交 y 轴于 P，此时 PA＋PC 值最小，最小值为 CA′，易求 C(－3，1)，∵A′(4，0)，∴CA′：y ＝－71x＋47，∴P(0，47)，作 CE⊥x 轴于 E，∴CA′＝ CE2＋EA′2＝5 2
三、一次函数与三角形全等 1．如图，A(－4，0)，B(0，2)，C(0，4)，点D在x轴上，CD交直线 AB于P，若△AOB≌△COD，求点P的坐标．
解：易求：AB：y＝12x＋2.(1)D 在 x 轴正半轴时，D(2，0)，CD：y＝－ 2x＋4，∴P(54，152) (2)D 在 x 轴负半轴，D(－2，0)，CD：y＝2x＋4， ∴P(－43，43)
2．如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于F，交AB于 E，BM⊥OB交OE的延长线于M. (1)求直线AB和直线AD的解析式； (2)求点M的坐标； (3)求点E，F的坐标．
解：(1)AB：y＝x＋4，AD：y＝2x＋4 (2)由△OBM≌△AOD 得 BM
＝OD，∴M(－4，2) (3)由(2)得 OM：y＝－12x，联立yy＝＝x－＋12x4，，得 E(－83，43)．联立yy＝＝2－x2＋1x，4，得 F(－85，45)
. 四边形 AODE
解：易求 A(－3，0)，B(0，6)，C(2，0)，D(0，1)，∴BD＝5，AC＝5，
y＝2x＋6， x＝－2，
解y＝－21x＋1，得y＝2.
∴E(－2，2)，∴S△BDE＝5，S
＝S 四边形 AODE
△
ACE－S△OCD＝5－1＝4
二、已知面积求解析式坐标 4．如图，已知直线y＝x＋3的图象与x，y轴交于A，B两点，直线l 经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2∶1的两部分 ，求直线l的解析式．
一、已知解析式坐标求面积 1．如图，直线 y＝2 分别交正比例函数 y＝－2x，y＝－12x 的图象于 A， B 两点，求 S△AOB.
解：易求A(－1，2)，B(－4，2)，∴S△AOB＝3
2．如图，一次函数的图象经过两点A(－3，4)，B(－1，－2)，与y 轴交于点C，求S△BOC和S△AOB.
3．如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、 y轴上，D(0，1)，CE⊥BD于E，求点E的坐标．
解：延长 CE 交 x 轴于 F，则有△BOD≌△COF，OD＝OF＝1，∴F(1， 0)，∵C(0，2)，∴CF：y＝－2x＋2，∵B(－2，0)，D(0，1)，∴BD：
解：易求 AB：y＝－3x－5，C(0，－5)，∴S△BOC＝25，∵S△AOC＝125， ∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝5
3．如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y＝－21 x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE 和 S
解：当 y＝0 时，x＝－3；当 x＝0 时，y＝3.∴A(－3，0)，B(0，3)，∴ S△AOB＝21×3×3＝29.有两种情况：①S△AOC∶S△BOC＝2∶1，∴S△AOC＝3，
S△BOC＝23，作 CD⊥x 轴，CE⊥y 轴，∴CD＝3×2÷3＝2，CE＝32×2÷3 ＝1，∴C(－1，2)，设解析式为 yBaidu Nhomakorabeakx.当 x＝－1，y＝2 时，k＝－2，∴ y＝－2x；②S△BOC∶S△AOC＝2∶1，∴S△BOC＝3，S△AOC＝32，作 CD⊥x 轴，CE⊥y 轴，∴CD＝1，CE＝2，∴C(－2，1)，设解析式为 y＝kx， 当 x＝－2，y＝1 时，k＝－12，∴y＝－21x，∴y＝－2x 或 y＝－21x
四、一次函数与最小值 4．如图，直线y＝x＋4与坐标轴交于点A，B，点C(－3，m)在直线AB 上，在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求这个最小值及点P的坐 标．
解：作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连 CA′交 y 轴于 P，此时 PA＋PC 值最小，最小值为 CA′，易求 C(－3，1)，∵A′(4，0)，∴CA′：y ＝－71x＋47，∴P(0，47)，作 CE⊥x 轴于 E，∴CA′＝ CE2＋EA′2＝5 2
三、一次函数与三角形全等 1．如图，A(－4，0)，B(0，2)，C(0，4)，点D在x轴上，CD交直线 AB于P，若△AOB≌△COD，求点P的坐标．
解：易求：AB：y＝12x＋2.(1)D 在 x 轴正半轴时，D(2，0)，CD：y＝－ 2x＋4，∴P(54，152) (2)D 在 x 轴负半轴，D(－2，0)，CD：y＝2x＋4， ∴P(－43，43)
2．如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于F，交AB于 E，BM⊥OB交OE的延长线于M. (1)求直线AB和直线AD的解析式； (2)求点M的坐标； (3)求点E，F的坐标．
解：(1)AB：y＝x＋4，AD：y＝2x＋4 (2)由△OBM≌△AOD 得 BM
＝OD，∴M(－4，2) (3)由(2)得 OM：y＝－12x，联立yy＝＝x－＋12x4，，得 E(－83，43)．联立yy＝＝2－x2＋1x，4，得 F(－85，45)
. 四边形 AODE
解：易求 A(－3，0)，B(0，6)，C(2，0)，D(0，1)，∴BD＝5，AC＝5，
y＝2x＋6， x＝－2，
解y＝－21x＋1，得y＝2.
∴E(－2，2)，∴S△BDE＝5，S
＝S 四边形 AODE
△
ACE－S△OCD＝5－1＝4
二、已知面积求解析式坐标 4．如图，已知直线y＝x＋3的图象与x，y轴交于A，B两点，直线l 经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2∶1的两部分 ，求直线l的解析式．
一、已知解析式坐标求面积 1．如图，直线 y＝2 分别交正比例函数 y＝－2x，y＝－12x 的图象于 A， B 两点，求 S△AOB.
解：易求A(－1，2)，B(－4，2)，∴S△AOB＝3
2．如图，一次函数的图象经过两点A(－3，4)，B(－1，－2)，与y 轴交于点C，求S△BOC和S△AOB.
3．如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、 y轴上，D(0，1)，CE⊥BD于E，求点E的坐标．
解：延长 CE 交 x 轴于 F，则有△BOD≌△COF，OD＝OF＝1，∴F(1， 0)，∵C(0，2)，∴CF：y＝－2x＋2，∵B(－2，0)，D(0，1)，∴BD：
解：易求 AB：y＝－3x－5，C(0，－5)，∴S△BOC＝25，∵S△AOC＝125， ∴S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝5
3．如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y＝－21 x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE 和 S
解：当 y＝0 时，x＝－3；当 x＝0 时，y＝3.∴A(－3，0)，B(0，3)，∴ S△AOB＝21×3×3＝29.有两种情况：①S△AOC∶S△BOC＝2∶1，∴S△AOC＝3，
S△BOC＝23，作 CD⊥x 轴，CE⊥y 轴，∴CD＝3×2÷3＝2，CE＝32×2÷3 ＝1，∴C(－1，2)，设解析式为 yBaidu Nhomakorabeakx.当 x＝－1，y＝2 时，k＝－2，∴ y＝－2x；②S△BOC∶S△AOC＝2∶1，∴S△BOC＝3，S△AOC＝32，作 CD⊥x 轴，CE⊥y 轴，∴CD＝1，CE＝2，∴C(－2，1)，设解析式为 y＝kx， 当 x＝－2，y＝1 时，k＝－12，∴y＝－21x，∴y＝－2x 或 y＝－21x