4第三节_常见分布的数学期望和方差

p
np
pq
k = 0,1,2, , n
(0 < p < 1, q = 1 p)
npq
P{ X = k } =
k = 0,1,2,
λk
k!
e λ ， ( λ > 0)
λ
a+b 2 1 λ
λ
(b a ) 2 12 1
1 , a< x<b f ( x) = b a 0 , else
λ e λx , x ≥ 0 f ( x) = 0 , else ( λ > 0)
0
dx =
2
λ
2
.
∴ D( X ) = E( X ) [E( X )] =
2
1
λ
2
.
16
3. 正态分布
X ~ N(, σ )
2
( x )2 2σ 2
1 f ( x) = e 2π σ
+∞
， ∞ < x < +∞ (σ > 0)
1 E( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∞ 2π σ
i =1
i =1
n
n
5
3. 泊松分布
X ~ P(λ)
P{X = k} =
λ
k
k!
eλ , k = 0,1,2,, ( λ > 0)
∞ x k =0
由无穷级数知识知， 由无穷级数知识知， e = ∑
xk , x ∈ ( ∞ , + ∞ ) k!
∴ E( X ) = ∑ k
k =0
∞
λk
k!
eλ = ∑
D( XY ) = E[( XY ) ] [E( XY )]
2
2
= [D( X ) + (EX ) 2 ][D(Y ) + (EY ) 2 ] ( 1 2 ) 2
= ( + σ )( + σ ) .
2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2
20
例2 设随机变量 X 在区间[a , b] 上均匀分布， EX = 1 ， 均匀分布，
n
n n (n 1)! (n 1)! k 1 n k k 1 n k p q +∑ p q = np∑ (k 1) (k 1)!(n k )! k =1 (k 1)!(n k )! k =1
= np[(n 1) p + 1] ，
D( X ) = np( np p + 1) ( np ) 2 = np(1 p ) . 所以
3
2. 二项分布
X ~ B(n, p)
(q = 1 p)
P{ X = k} = Ck pkqnk , k = 0,1,2,, n n
E( X ) = np ，D( X ) = np(1 p)
E( X ) = ∑ k C p q
2 2 k =0 k n k n n k
( n 1)! p k 1q n k = np ∑ k ( k 1)! ( n k )! k =1
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的 数学期望和方差. 数学期望和方差 X表示 重伯努利试验中的成功次数. 设 X ~ B ( n, p )， 表示 重伯努利试验中的成功次数 ， 表示n重伯努利试验中的成功次数
1 如第i次试验成功 i=1,2,…,n 设 Xi = 0 如第i次试验失败
则 而
2 2
E( X ) = p D( X ) = p(1 p)
2
2. 二项分布
X ~ B(n, p)
P{ X = k} = Ck pkqnk , k = 0,1,2,, n (q = 1 p ) n n n n! k k n k E( X ) = ∑ k C n p q = ∑ k p k q n k k ! ( n k )! k =0 k =1
X ~ B(1000, 0.5) ,
EX = 1000 × 0 .5 = 500 ，DX = 1000 × 0 .5 × 0 .5 =2250 ．
由切比雪夫不等式， 由切比雪夫不等式，
P{450 ≤ X ≤ 550} = P{| X 500 |≤ 50}
σ P{ X ≥ ε } ≤ 2 ε
250 DX ≥ 1 2 = 1 = 0.90 . 50 2500
λx + ∞ 0
λ
.
15
2. 指数分布
X ~ E(λ) . 1 1 E( X) = ，D( X) = 2 λ λ
2 +∞ ∞
E( X ) = ∫
= ∫
+∞ 0
x f ( x ) dx =
2
∫
+∞ 0
x 2 λ e λ x dx
xe
λx
x de
2
λx
= x e
2
2 λx + ∞ 0
+ 2∫
+∞
21
相互独立， 例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立， 且都在区间 ( 0,1) 上 均匀分布， 的数学期望． 均匀分布 ， 试求随机变量 Z = X Y 的数学期望 ．
奇 函 = 数
∫
+∞ ∞
xe
( x )2 2σ 2
dx
令
1 2π
∫
+∞
∞
(σ t + ) e te
t2 2
t2 2
dt 1 2π e
t2 2
x
σ
=t
σ = 2π
∫
+∞ ∞
dt + ∫
+∞
∞
dt = .
17
3. 正态分布
X ~ N(, σ )
2
令
x
E( X ) = ，D( X) = σ 2
∞ k 1 k =1
所以 E( X ) = ∑ kq
p = p∑ kq
k =1
∞
k 1
1 1 = p 2 = . p p
8
4. 几何分布 P{X = k} = (1 p)
k1
p , k = 1,2,
1 1 p E( X ) = ，D( X ) = 2 p p
E( X ) = ∑ k q
2 2 k =1 ∞ k 1
).
例2 设随机变量 X , Y 相互独立且分布相同，则 X + Y 相互独立且分布相同， 的关系是则 ). 与 2 X 的关系是 则 ( A.有相同的分布 A.有相同的分布 C.方差相等 C.方差相等 解 选(B).
11
B.数学期望相等 B.数学期望相等 D.以上均不成立 D.以上均不成立
设事件A在每次试验中出现的概率为 在每次试验中出现的概率为0.5， 例3 设事件 在每次试验中出现的概率为 ，试利 用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件 出 次独立试验中， 用切比雪夫不等式估计 次独立试验中 事件A出 之间的概率． 现450到550之间的概率． 到 之间的概率 解 设X表示事件表示在 表示事件表示在1000次独立试验中出现的次数， 次独立试验中出现的次数， 表示事件表示在 次独立试验中出现的次数 则
1 f ( x) = e 2π σ ( x )2 2σ 2
λ2
，∞< x<∞
(σ > 0)
σ
2
2 2 例1 设 X ~ N ( 1 , σ 1 ) ， Y ~ N ( 2 , σ 2 ) ，且 X , Y 相互
独立， 独立，则 E( XY ) =
， D( XY ) =
.
解
E( XY ) = 1 2 ,
1 D( X ) = E[ X E( X )] = 2π σ
2
σ
=t
∫
+∞ ∞
( x ) e
2
( x )2 2σ 2
dx
=
σ
2
2π
∫
2
t2 +∞ 2 2 ∞
t e
dt =
σ
2
2π
∫
+∞ ∞
t de
t2 2
=
σ
2π
te
t2 2 +∞ ∞
+
σ
2
2π
∫
+∞ ∞
e
t2 2
dt = σ 2 .
12
二、常见连续型分布的数学期望和方差 1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
1 , a< x<b f ( x) = b a 0 , 其它
1 dx E( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫a x ∞ ba 2 2 a+b 1 b a . = = ba 2 2
+∞
b
13
k
∞
令 x = q，
∴
∑ k (k 1)q
k =2
∞
k 2
2 . = 3 (1 q )
10
服从二项分布B( , ), ),则有 服从二项分布 例1 设X服从二项分布 (n,p),则有 ( A. E( 2 X 1) = 2 np B. E( 2 X + 1) = 4 np + 1
C. D( 2 X + 1) = 4 np (1 p ) + 1 D. D( 2 X 1) = 4 np (1 p ) 解 选(D).
1 ，x < 1 由无穷级数知识知， 由无穷级数知识知， ∑ x = 1 x k =0
逐项求导， 逐项求导，∑ kx
k =1 ∞ k 1
1 = ，x < 1 2 (1 x )
令 x = q = 1 p ， ( 0 < q < 1)
有
∑ kq
k =1