数学分析简明教程答案21

所以 xyzds 2 a 2bt cos t sin t a 2 b 2 dt
L
0
a 2b
a2 b2
2 t cos t sin tdt a 2b
a2 b2
2
t sin 2tdt
0
2
0
a2b a2 b2 2
(4) (x 2 y 2 z 2 )ds ,其中 L 与(3)相同; L
解：
(x 2 y 2 z 2 )ds =
L
a 2 b 2 2 a 2 b 2t 2 dt 0
a2
b2
2a 2
8 3 3
b2
4
4
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2
2
2
(5) (x 3 y 3 )ds ,其中 L 为摆线 x 3 y 3 a 3 ; L
解： L1 的参数方程为: x a cos3 t, y a sin 3 t,
(6) y 2 ds ,其中 L 为摆线的一拱, x a(t sin t), y a(1 cos t),0 t 2 ; L
解： x' a(1 cos t), y' a sin t, ds 2a sin t dt 2
所以
y 2 ds 2a 3
2
(1
2
cos t)
sin
t
dt
a2 2
2
cos
d
0
2
a 2
cos
d
2
cos
d
2a 2
20 2
2
(3) xyzds ,其中 L 为螺线 x a cos t, y a sin t, z bt(0 a b) , 0 t 2 ; L
解： x' a sin t, y' a cos t, z' b
ds x'2 y'2 z'2 dt a 2 b 2 dt
L k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)ds
k1
L
f (x, y, z)ds k2
g(x, y, z)ds ;
L
2 1ds l ,其中 l 为曲线 L 的长度; L
3
(可加性)设 L 由 L1 与 L2 衔接而成，且 L1 与 L2 只有一个公共点，则
f (x, y, z)ds 存在
L
L
f ( p) g( p), 则 f ( p)ds g( p)ds ;
L
L
5 若 f ( p)ds 存在，则 f ( p) ds 亦存在，且
L
L
L f ( p)ds L f ( p) ds
6 （中值定理）设 L 是光滑曲线， f ( p) 在 L 上连续，则存在 p0 L ，使得
L f ( p)ds f ( p0 )l , l 是 L 的长度;
解： L 的参数方程为: x a a cos ; y a sin , 0 2
22
2
则 x' a sin , y' a cos , ds x'2 y'2 d a d
2
2
2
所以 L
x 2 y 2 ds = a 2 20
a 2
1
cos 2
a 2
sin
2 d
256
a3
L
0
2 15
(7) xyds ,其中 L 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 与平面 x y z 0 的交线; L
第二十一章 曲线积分与曲面积分
§1 第一型曲线积分与曲面积分
1. 对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。
解：第一型曲线积分的性质:
1 （线性性）设 L f (x, y, z)ds , L g(x, y, z)ds 存在， k1 , k2 是实常数，则
L k1 f (x, y, z) k2 g(x, y, z)ds 存在，且
f ( p)ds f ( p0 )s ，其中 s 为 S 的面积。
S
2. 计算下列第一型曲线积分
(1) (x 2 y 2 )ds ,其中 L 是以 (0,0), (2,0), (0,1) 为顶点的三角形; L
解： L L1 L2 L3
L1 : x 0, 0 y 1
L2 : y 0, 0 x 2
L3
:
y
1
x 2
,
0 x2
所以 (x 2 y 2 )ds = (x 2 y 2 )ds (x 2 y 2 )ds (x 2 y 2 )ds
L
L1
L2
L3
1 y 2dy
2 x 2 dx
2
x
2
1
x
2
5 dx
0
0
0 2 2
3 5 5 3
(2) x 2 y 2 ds ,其中 L 是圆周 x 2 y 2 ax ; (a 0) L
第一型曲面积分的性质:
设 S 是光滑曲面， f ( p)ds , g( p)ds 均存在，则有
S
S
1 （线性性）设 k1 , k2 是实常数，则 k1 f ( p) k2 g( p)ds 存在, 且
S
k1 f ( p) k2g( p)ds k1 f ( p)ds k2 g( p)ds ;
L
f (x, y, z)ds 与 f (x, y, z)ds 均存在，且
L1
L2
f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds + f (x, y, z)ds ;
L
L1
L2
4 ( 单 调 性 ) 若 f (x, y, z)ds 与 g(x, y, z)ds 均 存 在 ， 且 在 L 上 的 每 一 点 p 都 有
0t 2
则 x' 3a cos 2 t sin t, y' 3a sin 2 t cos t
ds x'2 y'2 dt 3a sin t cos tdt , 由对称性
4
4
4
4
所以 (x 3 y 3 )ds = 4 (x 3 y 3 )ds
L
L1
7
7
3a 3 2 (1 cos 2 2t) sin 2tdt 4a 3 . 0
S
S1
S2
4 (单调性)若在 S 上的的每一点 p 均有 f ( p) g( p), 则
f ( p)ds g( p)ds ;
S
S
5 f ( p) ds 也存在，且 f ( p)ds f ( p) ds ;
S
S
S
6 （中值定理）若 f ( p) 在 S 上连续，则存在 p0 S ,使得
S
S
S
2 1ds s , 其中 s 为 S 的面积; S
3 (可加性)若 S 由 S1 , S 2 组成 S S1 S 2 ，且 S1 , S 2 除边界外不相交，则 f ( p)ds 存在
S
f ( p)ds 与 f ( p)ds 均存在，且
S1
S2
f ( p)ds = f ( p)ds + f ( p)ds