2018版高中数学人教B版必修二学案：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程

2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程

[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义

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[预习导引]

1.直线方程的几种形式

如果直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，代入直线点斜式方程化简得y ＝kx ＋b ，则称b 为直线l 在y 轴上的截距.

要点一 直线的点斜式方程

例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行； (3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点.

解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，

由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，

(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，

即y＋4＝0.

(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝

－4－3

5－(－2)

＝

－7

7＝－1.

又∵直线过点P(－2,3)，

∴直线的点斜式方程为

y－3＝－(x＋2).

规律方法(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).

(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.

跟踪演练1过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.

答案x＋y－1＝0

解析k＝tan 135°＝－1，

由直线的点斜式方程得

y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.

要点二直线的斜截式方程

例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

解(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－

3 3.

由斜截式可得方程为y＝－

3

3x－2.

(3)∵直线的倾斜角为60°，

∴其斜率k＝tan 60°＝3，

∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，

∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.

∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.

规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y ＝3x －3”. 2.截距是直线与x 轴(或y 轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.

解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.

(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan 30°＝3

3， 由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33

x . 要点三 直线过定点问题

例3 求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限. 证明 方法一 直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2,3)，

由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限. 方法二 直线l 的方程可化为 m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.

令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2，y ＝3.

∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3). ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限.

规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.

跟踪演练3 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围.

解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩

⎪⎨⎪⎧

－6≤0，

3－2k ≤0，得

k ≥3

2

. 所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭

⎬⎫k ⎪⎪

k ≥32.

1.已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C

解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.

2.直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A.60°，2 B.120°，2－ 3 C.60°，2－ 3 D.120°，2

答案 B

解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3. 3.直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A.k >0，b >0 B.k >0，b <0 C.k <0，b >0 D.k <0，b <0 答案 B

解析 ∵直线经过一、三、四象限， ∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.