平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系的平衡
平衡方程
平面汇交力系
例 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
1.1 平面汇交力系的平衡
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
1.2 平面力偶系的平衡
1.平面力偶系的合成和平衡条件 已知：
任选一段距离d
=
=
=Leabharlann 1.2 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零。
1.2 平面力偶系的平衡
例 已知： 求： 光滑螺柱 AB所受水平力.
解 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
解得
1.1 平面汇交力系的平衡
1.平面汇交力系合成
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
合力等于各力矢量和
由合矢量投影定理，得合力投影定理
合力的大小为：
方向为：
cos(FR
,
i)
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos(FR
,
j)
Fiy FR
2.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为零。
1.1 平面汇交力系的平衡
平面力系：各力的作用线在同一平面内。 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系：在同一平面内有n个力偶作用，形成一个平面力偶系。 平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F=如图和图所示，其中321F F F F ++=F2F 3F OFO1F 2F 3F12F讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：∑=i F F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡1F 2F iF 2-n F 1-n F n F设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F，（∑-=-=111n i i N F F ）0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F等值，反向，共线，即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F，或0=∑i F结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0=∑i F，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F，方向如图，求反力FA B C45F AF BACα 45FF BF α解：1。
第二章-平面汇交力系与平面力偶系
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。
（√）2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。
（×）2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。
（×）2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。
（√）2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。
（×）2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。
（×）2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。
（√）2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。
（√）2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。
（√）2-11 力偶只能用力偶来平衡。
（√）2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。
（√）2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。
（×）2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。
（√）2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。
（×）2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。
（×）2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。
（√）2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。
（√）2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。
（×）2-20 若两个力在某轴上的投影均为零，则该两力平行。
（√）2-21 图示为分别作用在刚体上A、B、C、D点的4个共面力，它们所构成的力多边形自行封闭且为平行四边形。
由于力多边形自行封闭，所以是平衡的。
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F 至少多大？ F 3.力 F 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？
解:取碾子画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
R h θ arccos 30 R
F B sin θ F F A F B cosθ P
F 1 1 .4 k N A
由合力投影定理可得：
F F 2 0 0 0 4 3 3 0 0 N 6 3 3 0 N x x
F F 0 2500 3000 N 550 N y y
则合力的大小为：
2 x 2 y 2 2
FF F 6 3 3 0 5 5 0 0 N 8 3 8 6 N
F , X 0 F , Y 0 8 0 4 5 4 R R 0 D A 4 5 PR A
各力的汇交点
(4) 解得
R A 5 P 22 . 4 kN 2
R R D A
1 10 kN 5
力的值为负值,表示假设的指向与实际指向相反.
例4. 简易压榨机如图所示。已知P试求当连杆AB、AC与铅垂线成角时，托板给被压物 体的力。
O
tg
F Ry F Rx
F F
RY
RX
平面汇交力系平衡的必要和充分条 y 件是该力系的合力为零: F R 0
F F 0 Rx X
O
F F 0 Ry X
例2.如图所示吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N， F2=5000N，F3=3000N。试求合力。
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
第2章 平面汇交力系和平面力偶系
9
例题 1
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
F
R O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
qP
B
由已知条件可求得
A
h
cos q R h 0.866
(a)
R
q 30
FO
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
解得
FB sin q F FA FB cosq P
（2）应用合力矩定理
MO (F ) MO (Fx ) MO (Fy )
F cosq l cosj F sinq l sinj Fl cos(q j)
22
§2—4 平面力偶 1．力偶与力偶矩
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，
称为力偶。如图所示，记作（F，F'）。力偶的两力之间
如图轧路碾子自重P = 20
kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高
h = 0.08 m碾子中心O处作用一
水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
R
FO
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
q
过障碍物，水平拉力至少应为多
B
大；(3)力F 沿什么方向拉动碾
A
h
子最省力，此时力F为多大。
大小取决于力的大小与力臂的乘积，平面力对点之矩是一 个代数量。它的转向人为规定一般取逆时针转向时为正， 反之为负。
F对矩心点O之矩
MO(F) r
ห้องสมุดไป่ตู้Oh
B F A
M O (F ) Fh 2 AOAB
式中 AOAB为三角形OAB 的 面积，如图所示。单位为 N•m或kN •m。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FBC
FAB
A
' F' FBA BC
B B
B
P
C
F2 F1
C
FCB
解：
y
FBA F2
600
300
（1） 取滑轮为研究对象，将其视为 一个几何点。受力如图所示。
其中 F1= F2 =P = 20 kN （2）选取图示坐标系。列方程
B
FBC
F1
x
X 0, Y 0,
FBA F1cos600 F2cos300 0 FBC F1cos300 F2cos600 0
解：（1）取碾子为研究对 象。 画受力图。
F
F
O B
O B
FB
P
P
A FA
A
（2）根据力系平衡的几何条件，作封闭的力多边形。
按比例，先画已知力，各力矢首位相接。
FB
a.从图中按比例量得
FA=11.4 kN , FB=10 kN 5 kN
FA
0
P
b.也可由几何关系计算
Rh cos 0.866 R
即：若作用在刚体上 {F1 , F2 ,, Fn } {FR }
则：
M O ( FR ) MO (Fi )
i 1
n
在古代，人们没有大型的 起重工具，只能依靠人力和畜力 。在建造宏伟的建筑物时，为了 将巨大的石柱竖立起来，可能采 用了右图所示的方法。其中起关 键作用的是用木材作成的 A 字形 支架。试从力学角度说明采用此 项措施的必要性。
P
解： 取梁为研究对象。 画受力图。
注意：这里所设力 FA 的方向与 实际方向相反。
解：取横梁为研究对象。画受力图。 建立图示直角坐标系。 由平面汇交力系的平衡条件列方程
第二章平面汇交力系与平面力偶系
F
Fr
静
力 已 知 : F , l1, l2 , α . 求: MO(F)
学
—
平
面
汇 交
MO (F) = F d
力 系
d=?
、
力
偶
系 解: MO (F) = MO (F cosα) +MO(F sin α)
静 力 例：三角形分布载荷作用在水平梁上，如图示。 学 最大载荷强度为 q，梁长l。试求该力系的合力。
—
平
面 汇
NC 2 2a − M = 0
交 力 系
NA
=
NC
=
M 2 2a
、
力
偶
系
NC
NA
静 力 例：已知力偶矩 M1 =10 N⋅ m,求系统在图示位置平衡时 学 的力偶矩 M 2 的大小，不计构件自重及摩擦。α = 45 °
—
平
面
汇
交
力
系
、
力
偶 系
(a)M 2 = M 1,
(b)M 2 = 2M 1
系 、
MO(FR) = MO(F1)+MO(F2)+
+MO(Fn)
力 =∑MO(F)
偶 系
当平面汇交力系处于平衡状态时合力为零, 则各力对任意点之矩的代数和也为零.
静
力 学
例：如图圆柱直齿轮受啮合力的作用。设F=1400N, α=20。，压力角齿轮的节圆（啮合圆）半径
r=60mm，试计算力对轴心O的力矩。
求压榨机对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。
—
平
面 解： 取活塞BD为研究对象并受力分
汇 交
析如图。建立坐标，由平面汇 交力系的平衡方程有：
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
建筑力学第2章平面汇交力系和平面力偶系
图 2.14
25
小结
本章主要研究了两种特殊力系———平面汇交 力系、平面力偶系的合成与平衡问题。 （1）平面汇交力系
1）平面汇交力系的合成 ①几何法：用力的多边形法则求合力。特点是形象 、直观，但不精确。主要用在定性分 析上。 ②代数法：用合力投影定理求合力。这是一种精确 方法，也是常用的方法。
26
7
图 2.2
8
（2）力在平面直角坐标系中的投影 如果把力 F 依次在其作用面内的两个正交轴 x 、y上投影（图 2.3），则有
9
（3）合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于各个分力在同一轴上 的投影的代数和。这就是合力投影定理。
10
图 2.3
图 2.4
11
（4）平面汇交力系合成的代数法假设有一平 面汇交力系作用在刚体上的 O 点，现要求其合力 。为此，首先建立一个合适的平面直角坐标系，为 了简化计算，应让尽量多的力位于坐标轴上。然后 再把每个力进行投影；并利用式（2.4）求出合力 FR在这两个轴上的投影。于是，合力的大小和方 向可由下式确定：
20
图 2.9
图 2.10
21
图 2.11
图 2.12
22
图 2.13
23
2.3.2 平面力偶系的平衡 与平面汇交力系的平衡条件类似，平面力偶系 的平衡条件是：平面力偶系平衡的充分必要 条件是组成力偶系的各力偶的力偶矩的代数和为零 。即
24
2.3.3 平面力偶系平衡方程的应用 求解物体在平面力偶系作用下的平衡问题时， 一定要注意：力偶只能由力偶去平衡。
2
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 我们知道，若平面汇交力系是由两个力组成， 则可用力的平行四边形法则去求它们的合力。若平 面汇交力系是由两个以上的力组成时，只要先求出 任意两个力的合力，再求出这个合力和另一个力的 合力，这样继续下去，最后得出的就是这许多力的 合力。
平面汇交力系和平面力偶系
为力多边形
位置图
力矢图
合力FR可以表达为 F R F 1 F 2 F 3 F 4
注：①在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向， 而合力矢是反向封闭力多边形；②根据矢量相加的交换律 ，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边 形，但所得的合力矢FR却是一样的，即合力矢FR与各分力 矢的作图顺序无关。
力矩与合力矩的解析表达式
y
Mo F Mo Fy Mo Fx
Fy
xFyyFx
Aq
n
y
Mo FR (xiFyi yiFxi) O x
i1
B
F
Fx
x
28
[例2-4] 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力F的作用。设F=1400N。 压力角 200，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，试计算力 F对于轴心O的力矩。
④解平衡方程 由EB=BC=0.4m，
解得：
tgEB0.41
AB1.2 3
SCD si4n05cPo40 s5tg 4.2k 4N ； RASCDccoo4ss503.16k1N 8
[例] 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X0 T2cosT10 ①
用线通过该三角形的几何中心。此结果要做为公式记住，遇到这
样的分布载荷时直接使用即可。
31
§2-4 平面力偶系的合成与平衡
一、力偶与力偶矩 力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。
记作（F，F′）
32
力偶的性质 ⑴ 性质1
力偶的作用面
力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
1
引 言
力系 平面力系
空间力系
平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面一般力系/平面任意力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 平面平行力系： 各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系是其中的一种特殊情况。 平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内但既不 汇交于一点 也 不相互平行的力系。
2
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个力的合成
力的平行四边形法
力的三角形法
3
2. 多个力的合成 F1+F2 =R12; F1+F2 +F3 =R12 +F3 =R123;
F1
F2 F1 o F4 R12 R R123
F1+F2 +F3 +F4 =R123 +F4 =R
即
n
mi 0
i 1
26
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
m 1 m 2 m 3 m 4 15 N m
求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m 2 m 3 m 4 4 ( 15 ) 60 N m
m 2 F2 d 2
合力矩
M R A d ( P1 P2' ) d P1 d P2' d m 1 m 2
25
结论:
M m1 m 2 m n m i
i 1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩 的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和 等于零。
平面汇交力系和力偶系
A
F
B b O
M F , F M F M F O O O
Fd FaO bO
d F
a
' 力与力偶臂的乘积称为力偶矩，记作 M F ,F ,或M
力偶的作用效应取决于力的大小和力 偶臂的长短，与矩心的位置无关。
Mo(F) O
h
B 力F 对O点之矩的计算方法： F rA M F Fh
F , F , F 力矢：F x y z 矢径： r x , y , z
O：矩心 h：力臂
M F r F O 的面积 M F 2 A BC O
A
F2
F3
F4
F2
F3
FR1
a
F1
FR2
F4
F R
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
F1
A
F2
F2
பைடு நூலகம்3
FR1
a
F3
F4
F1
FR2
F4
F R
显然合力矢与各个分力的合成次序无关。
F2 F R F 1 F4 a F3
结论：
平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交点的合力， 其大小可用力的多边形法则得到，合力为力多边形 的封闭边。
n F F F F F R 1 2 n i
i 1
例题 A D
已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
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第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、汇交力系合成与平衡的几何法
汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。
若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。
1、平面汇交力系的合成
先讨论3个汇交力系的合成。
设汇交力系1F ，2F ，3F
汇交于O （图1），由静力学公理3：力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F 如图和图所示，其
中321F F F F
讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。
3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即： i F F 用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡 设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即
先将121,, n F F F 由力多边形法合成为一个力1 N F ，（ 11
1n i i N F F ）
由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1 N F 与n F 等值，反向，共线，
即n N F F 1， 可得01 n
N F F ，或0 i F 结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是0 i F ，力多边形自行封闭。
例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F ，方向如图，求反力
解：1。
取研究对象AB 梁
2．受力分析如图
3．作自行封闭的力三角形如图 2
1 tg 4．求解
例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20 ，不计杆自重。
求：AC 和BC 杆所受的力。
解：1。
取研究对象销钉C
2．受力分析
3．作自行封闭的力多边形。
4．解三角形 60
sin 90sin 30sin BC AC F F P §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
1． 力在坐标轴上的投影
力矢F
与各投影有以下关系： F O j O i O O y x 此式称为力的解析式
2．合力投影定理
若某平面汇交力系由几个力组成，则合力
于是
iy y ix x F F F F 结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定理。
合力的大小：22)()( iy ix F F F * 合力的方向：F F ix
cos F F iy cos 2．平衡 由几何法知。
汇交力系平衡 0 i F
由式（*）知 00iy
ix F F 平面汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代数和都等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程，两个方程求两个未知量。
例3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为a ，在D 点作用水平力P ，不计自重，求支ﾧ@、C 的约束反力。
解：分析易知OAB 是二力杆件，
1．以BCD 为研究对象；
2．受力分析
3．列方程，求解
求得 P F B 22 P F C 2
2
也可在y x B 系中。
0
y i F 045cos B C F F 可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。
例4．已知：kN P 20 ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB 与BC 所受的力。
解：1、研究对象：滑轮
2．受力分析
3．列方程求解
其中 P F F T
解得 kN F BC 64.74 （压） kN F AB 64.54 （拉）
小结：从刚才的解题中，我们可以看出，几何法解题直观、简单、容易掌握，力系中各力之间的关系在力多边形中一目了然。
但是若力多与三个时，力多边形的几何关系就非常复杂。
而且由于按比例尺作图，因此只能反映各量（力、尺寸、角度）的某些特定值之间的关系，不能反映各量之间的函数关系。
只要改变一个量，就要重新作图。
因此在实际中，我们更多的是采用解析法来解题。
§2.2 平面力对点之矩的概念及计算
平面中力矩的概念
（一）、力对点的矩的定义 力使刚体绕O 点转动的强弱程度的物理量称为力对O 点的矩。
用M O (F )表示，其定义式为M O (F )=±Fd
其中：点O 称为矩心，d 称为力臂。
力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。
力矩的单位为：牛顿·米（N ·m ）。
由图可知：M O (F )=±△ABC 的面积
（二）、平面汇交力系的合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。
即 利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即
例1支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N ,。
求 对A 、B 、C 三点之矩。
)()(i o o F m R m
30
解：由定义 由合力矩定理 例2如图所示，求F 对A 点的矩。
解一：应用合力矩定理 解二：由定义
小结：力对刚体的作用效应使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），其中力对刚体的移动效应可用力矢来度量；而力对刚体的转动效应可用力对点的矩（简称力矩）来度量，即力矩是度量力对刚体转动效应的物理量。
§2.4 平面力偶
一、力偶的概念
在力学中，把等值、反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为力偶。
以( F,F ′)表示。
两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的距离称为力偶臂。
力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：
二、力偶的性质
1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。
力偶既然是一个无合力的非平衡力系。
因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。
力偶只能与力偶平衡。
力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩，用m 表示，即
正负号表示力偶的转向。
规定逆时针取正；顺时针取负。
单位同力矩的单位。
2、只要保持力偶矩不变，力偶可以改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。
此性质是力偶系合成的基础。
由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。
在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。
所以力偶矩是代数量。
3、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零。
m
N AD F AB F AD F AB F F m y x B 48.4830sin 30cos )(
12cos cos r r AB d Fd m
4、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。
三、平面力偶系的合成
作用面共面的力偶系称为平面力偶系。
1）
推广得：m m m m M n 21
结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。
四、平面力偶系的平衡
平面力偶系总可以简化为图（1）示情形。
若R=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。
反之，若已知合力偶矩等于零，则或是R=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。
因此可得结论：
平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。
即：0 m 上式称为平面力偶系的平衡方程。
例、求图示简支梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
解之得：B A R l m m m R 321。