人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案

2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对
2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）
A 、32
B 、62
C 、32
D 、2
3、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>
4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）
A 0120,cos >=<b a
B b a ⊥
C b a //
D ||||b a =
5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真
6、 “2
320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2
m ＋9
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )
A 、－9＜m ＜25
B 、8＜m ＜25
C 、16＜m ＜25
D 、m ＞8
8、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A ．1203622=+y x （x ≠0）
B ．1362022=+y x （x ≠0）
C ．120622=+y x （x ≠0）
D ．16
2022=+y x （x ≠0）
9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是
6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅
球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85m
C ． 2.15m
D ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线2
81x y -
=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32
1
=y D ． 2-=y
12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。

14、若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是____________。

15、已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。

当水面升高1米后，水面
宽度是___________米。

16、如图，在60°的二面角的棱上，有A ，B 两点，线段AC ，BD 分别 在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8， 则CD 的长度__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
17、（本小题满分10分）
在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E ，F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF
＝1，求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值。

18、（本小题满分12分）
已知双曲线经过点A (42，3)，且a ＝4；
(1) 求双曲线的标准方程; (2) 求双曲线的渐近线方程; (3) 画出双曲线的简图。

19（本小题满分12分）
已知一条曲线C 上每一点到点)161,
0(F 的距离与到直线16
1
-=y 的距离都相等。

（1）求曲线C 的方程；
（2）求曲线C 上一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短。

20.（本题满分12分）
如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明：AD⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明：面AED⊥面A 1FD 1.
21、（本小题满分12分）
如图，设P 是圆252
2
=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点， 且||5
4
||PD MD =。

（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为
5
4
的直线被C 所截线段的长度。

22、（本小题满分10分）
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)
(1)求椭圆的标准方程;
(2) 焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→
＝0，求△F 1PF 2的面积。

期末考试高二数学(理)试卷
参考答案
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D A B B A A
11 12
B C
二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）
13、8
2
2=
-x
y Y2/8-X2/8=1 14、-2 15、2
44√2
16、17
22√17
三、解答题（
17、（本小题满分10分）
解析：以D为坐标原点，DA
→，DC→，DD
1
→分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，
于是EC1
→＝(－3,1,2)，FD
1
→＝(－2，－4,2)，
设EC1→与FD1
→所成的角为β，
则cos β＝|EC1
→
·FD1
→
|
|EC1
→
||FD1
→
|
＝21
14
，
所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为21
14.
18.解析：(1)若所求双曲线方程为x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)，
则将a＝4代入，得x2
16
－y2
b2
＝1，
又点A(42，3)在双曲线上，
∴32
16
－9
b2
＝1.
解得b2＝9，则x2
16
－y2
9
＝1，
若所求双曲线方程为y2
a2
－x2
b2
＝1(a>0，b>0)．
同上，解得b2<0，不合题意，
∴双曲线的方程为x2
16
－y2
9
＝1.
（２）渐进线方程x
y
4
3
±
=Y=3X/4 Y=-3X/4
（３）略
_______________
密
______________
封
_____________
线
________________
19.（本小题满分12分）
解析：(1) y ＝4x 2
(2)设点P (t,4t 2
)，距离为d ，
则d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2
－4t ＋517
.当t ＝12时，d 取得最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为所求的点．
20.(1)略，（2）90度，（3）略
21、（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（xp,yp ）
由已知得,
5,4xp x yp y =⎧⎪⎨=⎪⎩
∵P 在圆上， ∴ 2
2
5254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即C 的方程为22
1
2516x y +=
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为5
4
的直线方程为
()4
35y x =
-，
设直线与C 的交点为
()()
1122,,,A x y B x y
将直线方程
()4
35y x =
-代入C 的方程，得
()2
2312525x x -+= 即2380x x --=
∴
12341341
22x x +=
= ∴ 线段AB 的长度为
()()
()22
212121216414114125255AB x x y y x x ⎛⎫
=
-+-=+-=⨯=
⎪⎝⎭
注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

22、（本小题满分12分）
解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，
所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
∴⎩⎨⎧
22a 2＋0b 2
＝10a 2
＋1b 2
＝1
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4
b 2＝1
，
故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2
＝1.
(2) 解析： ∵PF 1→·PF 2→
＝0，∴PF 1⊥PF 2.
∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2| ① 且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ② 又a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2，
∴△F 1PF 2的面积为1.
解法2:设P(x,y),又∴PF 1⊥PF 2.; ∴点P 是在原点为圆心,以F 1F 2为直径的圆上,即32
2
=+y x ① x 24
＋y 2
＝1. ② 由①②解得33±
=y ∴△F 1PF 2的面积为1|||F F |2
1
21=•=∆y S .。