高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

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空间向量与立体几何

一、知识网络:

二.典例解析

题型1:空间向量的概念及性质

例1、有以下命题:①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,a b 的关系是不共线;②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底,那么点,,,O A B C 一定共面;③已知向量,,a b c 是空间的一个基底,则向量,,a b a b c +-,也是空间的一个基底。其中正确的命题是( )。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2:空间向量的基本运算

例2、如图:在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为

11C A 与11D B 的交点。若AB a =,AD b =,1AA c =,

则下列向量中与BM 相等的向量是( )

()A 1122a b c -

++ ()B 11

22a b c ++

()C 1122a b c --+ ()D c b a +-21

21

例3、已知:,28)1(,0423p y n m x b p n m a

+++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,

求y x ,的值.

例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为AC 的中点,求证:AB 1∥平面C 1BD.(三)强化巩固导练

1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若1AA y x ++=,求x -y 的值.

2、

在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,若=11B A a ,=11D A b ,=A 1c ,则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )。A .-2

1a +2

1b +c

B .2

1a +2

1b +c C .2

1a -2

1b +c

D .-2

1a -2

1b +c 3、(2009四川卷理)如图,已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧 棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。

第二课时 空间向量的坐标运算

(一)、基础知识过关 (二)典型题型探析 题型1:空间向量的坐标

例1、(1)已知两个非零向量a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),它们平行的充要条件是( )

A. a :|a |=b :|b |

B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3

C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

D.存在非零实数k ,使a =k b

(2)已知向量a =(2,4,x ),b =(2,y ,2),若|a |=6,a ⊥b ,则x+y 的值是( ) A. -3或1 B.3或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( )

A. a =(1,2,3),b =(3,0,2),c =(4,2,5)

B. a =(1,0,0),b =(0,1,0),c =(0,0,1)

C. a =(1,1,0),b =(1,0,1),c =(0,1,1)

D. a =(1,1,1),b =(1,1,0),c =(1,0,1)

例2、已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4)。设a =,b =,(1)求a 和b 的夹角θ;(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.

题型2:数量积

例3、(1)(2008上海文,理2)已知向量a 和b 的夹角为120°,且|a |=2,|b |=5,则(2a -b )·a =_____.

(2)设空间两个不同的单位向量a =(x 1,y 1,0),b =(x 2,y 2,0)与向量c =(1,1,1)的夹角

都等于4π。(1)求x 1+y 1和x 1y 1的值;(2)求的大小(其中0<<π)。

题型3:空间向量的应用

例4、(1)已知a 、b 、c 为正数,且a+b+c=1,求证:113+a +113+b +113+c ≤43。 (2)已知F 1=i +2j +3k ,F 2=-2i +3j -k ,F 3=3i -4j +5k ,若F 1,F 2,F 3共同作用于同一物体上,使物体从点M 1(1,-2,1)移到点M 2(3,1,2),求物体合力做的功。

(三)、强化巩固训练

1、(07天津理,4)设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①(a ·b )c -(c ·a )b =0 ②|a |-|b |<|a -b | ③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直

④(3a +2b )(3a -2b )=9|a |2

-4|b |2

中,是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④

2、已知O 为原点,向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥∥OA ,求AC .

第三课时 空间向量及其运算强化训练

(一)、基础自测 1.有4个命题:

①若p =x a +y b ,则p 与a 、b 共面;②若p 与a 、b 共面,则p =x a +y b ;

③若MP =x MA +y MB ,则P 、M 、A 、B 共面;④若P 、M 、A 、B 共面,则MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是( )。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量

B.若|a |=|b |,则a ,b 的长度相等而方向相同或相反

C.若向量AB ,CD 满足|AB |>|CD |,且AB 与CD 同向,则AB >CD

D.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0,则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ,则 ( )。

A.x=1,y=1

B.x=2

1,y=-2

1

C.x=6

1,y=-2

3

D.x=-6

1,y=2

3

4.已知A (1,2,3),B (2,1,2),P (1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,当QA ·QB 取最小值时,点Q 的坐标是 .

5.在四面体O-ABC 中,OA =a ,OB =b , OC =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = (用a ,b ,c 表示).

(二)、典例探析

例1、如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设1AA =a ,

AB =b ,AD =c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,

试用a ,b ,c 表示以下各向量: (1)AP ;(2)N A 1;(3)MP +1NC .

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