三棱锥外接球的半径常见解法
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A
5 D
10
13 13
5
10
C
10 13
D
13
10
C
B
5
R
14 , 2
B
5
S 4 R 2 14
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外 接球的半径。
z P （0,0,2）
球心坐标（ 1, 3,1）
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中， PA 平面ABC, CB PB, CB AB, 且PA 2 AB 2BC 2 ， 求其外接球的体积。 P
法一：补形法
法二：轴截面法
A
法三：向量法
O
D
R 5
活学活用，开阔思维
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维
y
x
B 2,0,0） （
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习1
P
P
2
A 1
A 1
C
B
C
B
6 4 3 R= , V R 6 2 3
练习1
P
O A B
D C
OA=OB=OC=OP
1 6 4 3 R= CP , V R 6 2 2 3
C B
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
D
法一：补形法
法二：轴截面法 法三：向量法
A C
B
活学活用，开阔思维
Fra Baidu bibliotek
练习巩固
练习3（河北，2012）如图，在四面体ABCD 中， AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ， 求其外接球的表面积。 A
方法介绍
例 （江西改编）已知在三棱锥P-ABC中， PA PB, PB PC, PC PA, 且PA 2PB 2PC 2 ， 求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P C
B
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
6 2 R= , S 4 R 6 2 A
2
2 P 1 C 1 P
1
C
1
B B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
方法介绍
法二： 轴截面法
A
基本步骤： 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
A
R 1 C 2 R P
2 2
Q
2 P 1 B D Q O
专题 特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
C （-1，3,0）
A （0,0,0）
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维
y
x
B 2,0,0） （
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外 接球的半径。
z P （0,0,2）
球心坐标（ 1, 3,1）
C （-1，3,0）
A （0,0,0）
6 R= 2
D
方法介绍
法三： 向量法
z
A（0,0,2）
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z) 由 | OP || OA || OB || OC | 可得：
2 2 2 2 2 2
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x y z x y ( z 2) 2 2 2 2 2 2 x y z ( x 1) y z x 2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2 y C （0,1,0） 1 1 解得： x , y , z 1 2 2 6 所以 R=|OP|= 2
练习2
D
A
D
A
C B B
C
6 3 2 R= , S 4 R 4 2
练习2 D D R O
6 R 3
1 A E B C A R
6 3
AO2 AE 2 OE 2 6 3 2 R , S 4 R 4 2
3 3
E
练习4
P
Q
P R C
Q
A 2 D B
2 R A 2
5 D
10
13 13
5
10
C
10 13
D
13
10
C
B
5
R
14 , 2
B
5
S 4 R 2 14
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外 接球的半径。
z P （0,0,2）
球心坐标（ 1, 3,1）
方法介绍
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习巩固
练习1（陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中， PA 平面ABC, CB PB, CB AB, 且PA 2 AB 2BC 2 ， 求其外接球的体积。 P
法一：补形法
法二：轴截面法
A
法三：向量法
O
D
R 5
活学活用，开阔思维
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维
y
x
B 2,0,0） （
学习小结
三棱锥的外接球半径的常见解法:
1、补形法 2、轴截面法 3、向量法
练习1
P
P
2
A 1
A 1
C
B
C
B
6 4 3 R= , V R 6 2 3
练习1
P
O A B
D C
OA=OB=OC=OP
1 6 4 3 R= CP , V R 6 2 2 3
C B
活学活用，开阔思维
练习巩固
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为1，求其外接球的表面积。
D
法一：补形法
法二：轴截面法 法三：向量法
A C
B
活学活用，开阔思维
Fra Baidu bibliotek
练习巩固
练习3（河北，2012）如图，在四面体ABCD 中， AB DC 10 ，AD BC 5,BD AC 13 ， 求其外接球的表面积。 A
方法介绍
例 （江西改编）已知在三棱锥P-ABC中， PA PB, PB PC, PC PA, 且PA 2PB 2PC 2 ， 求该三棱锥外接球的表面积。 A
关键是求出外接球的半径R
P C
B
方法介绍
法一： 补形法
A
外接球半径等于长方体的 体对角线的一半
6 2 R= , S 4 R 6 2 A
2
2 P 1 C 1 P
1
C
1
B B
注意：图中三棱锥的外接球与长方
体的外接球是同一个球。
方法介绍
法二： 轴截面法
A
基本步骤： 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。
A
R 1 C 2 R P
2 2
Q
2 P 1 B D Q O
专题 特殊三棱锥的外接球半径 的常见解法
考情分析
纵观近5年全国卷和其他各 省市高考卷，对于简单多面体外 接球的考查几乎成了高考必考题 之一，其中又以对三棱锥的外接 球的考查居多。
学情分析
学生在平时学习中，对三棱 锥的外接球相关问题的求解普遍 感觉困难，主要是因为不善于抓 住几何体的结构特征，不能正确 寻找球心和半径。
C （-1，3,0）
A （0,0,0）
R 5
轴截面法 活学活用，开阔思维
y
x
B 2,0,0） （
练习巩固
练习4 如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底 面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=120。，求其外 接球的半径。
z P （0,0,2）
球心坐标（ 1, 3,1）
C （-1，3,0）
A （0,0,0）
6 R= 2
D
方法介绍
法三： 向量法
z
A（0,0,2）
设外接球的球心坐标为：O(x,y,z) 由 | OP || OA || OB || OC | 可得：
2 2 2 2 2 2
P （0,0,0） B （1,0,0） x
x y z x y ( z 2) 2 2 2 2 2 2 x y z ( x 1) y z x 2 y 2 z 2 x 2 ( y 1)2 z 2 y C （0,1,0） 1 1 解得： x , y , z 1 2 2 6 所以 R=|OP|= 2
练习2
D
A
D
A
C B B
C
6 3 2 R= , S 4 R 4 2
练习2 D D R O
6 R 3
1 A E B C A R
6 3
AO2 AE 2 OE 2 6 3 2 R , S 4 R 4 2
3 3
E
练习4
P
Q
P R C
Q
A 2 D B
2 R A 2