六年级奥数-第五讲.几何-立体部分.教师版
六年级奥数几何-立体部分
几何一一立体部分教学目标:对于小学几何而言， 立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力， 所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.知识点拨：一、长方体和正方体① 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等. （叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）② 长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S 长方体 2（ab be ca ）;长方体的体积：V 长方体abc .③ 正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形. 如果它的棱长为a ，那么：S 正方体6a 2, V 正方体a 3.、圆柱与圆锥立体图形表面积 体积圆柱匕二匚S 圆柱 侧面积2个底面积2 n h 2 n 2V柱n h圆锥S 圆锥侧面积底面积 —n 2 n 2360注：|是母线，即从顶点到底面圆上的线段 长1 2V 圆锥体-n h3如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.例题精讲：【例1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8 , 宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【例2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【例3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一1个棱长为丄厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为211厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？4【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条,每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体 24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【巩固】（2008年走美六年级初赛）一个表面积为56cm 2的长方体如图切成 27个小长方体, 这27个小长方体表面积的和是 ____________________________________ cm 2.如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?后表面积最小，该如何打包？ ⑴当b 2h 时，如何打包? ⑵当b 2h 时，如何打包? ⑶当b 2h 时，如何打包?【例5】 【例6】要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【例7】如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积.【例8】（2008年“希望杯”五年级第 2试）如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是【例9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起， 按右图中的方式拼成一个立体图形 求这个立体图形的表面积.【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面 涂成红色•求被涂成红色的表面积.【巩固】用棱长是 平方厘米？1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少【例11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少？【例12】有64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成一个4 4 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【例15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个?【例16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【例17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标 A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块?【巩固】这个图形，是否能够由 1 1 2的长方体搭构而成?【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字 （不同的立方体可以写相同的数字）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着 3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图）.依这样构成右下图所示的立方体， 它的六个面上的所有数字之和是多少？【例18】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上 开有1 1 5的孔，在另一个方向上开有 2 1 5的孔，在第三个方向上开有 3 1 5的孔，剩 余部分的体积是多少？表面积为多少？32 1323【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125 个小正方体所构成的•其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分•请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，也是等边三角形且⑸⑹边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，（11）是正方形. 么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍.【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同.请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍?【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（n取3.14）【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）.如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例23】（第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是__________________ 方厘米.（结果用n表示）【例24】如右图，是一个长方形铁皮，禾U用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积.（n 3.14）【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(n 3.14)【例25】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？(n 3.14)【例27】（2008年”希望杯”五年级第2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图）, 由图中的数据可推知瓶子的容积是________________ 立方厘米.（n取3.14）（单位：厘米）【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图•已知它的容积为26.4 n立方厘米•当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米•问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例28】一个盛有水的圆柱形容器， 底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为 2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中. 求这时容器的水深是多少厘米？【例29】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10厘米、20厘米，杯中盛有适量 的水•甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【例30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1，乙容器中水的高度是3锥高的-，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？3【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为 10平方厘米,请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是 __________________ .（如下图所示）,【例31】（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜, 米，中间有一直径为 8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04厘米，则薄膜展开后的面积是_____ 平方米.【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸， 纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴.已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？薄膜的直径为20厘【例32】如图，ABC 是直角三角形， AB 、AC 的长分别是3和4 .将 ABC 绕AC 旋转一周，求 ABC 扫出的立体图形的体积.（n 3.14）周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？ （ n 取3.14）【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16 n ,以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 12n ,那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【例33】已知直角三角形的三条边长分别为3cm , 4cm , 5cm ，分别以这三边轴，旋转【例34】如图，ABCD是矩形，BC 6cm , AB 10cm，对角线AC、BD相交O • E、F分别是AD与BC的中点，图中的阴影部分以EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？（n取3）【巩固】（2006年第^一届华杯赛决赛试题）如图，ABCD是矩形，BC 6cm，AB 10cm，对角线AC、BD相交O •图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？【例35】（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方 体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为 4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.练习1.10厘米的正方形木块中挖去一个长 10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ （写出符合要求的全部答案）练习2. 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm .把酒瓶塞紧后使其 瓶口向下倒立这时酒深 25cm .酒瓶的容积是多少？（ n 取3）/ Q //练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平 方米？练习4. （2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180厘米，内直径是 50厘米•这卷铜版纸的总长是多少米?2008cm 2，则这个圆柱体木棒的侧面积是25【备选1】如右图，一个正方体形状的木块，棱长I米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块•那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？【备选2】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径11厘米，倒放时水面离顶部5厘米,和高都是12厘米•其内有一些水，正放时水面离容器顶【备选3】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等•如果高缩短米•求这个圆柱体的表面积是多少？【备选5】（2009年”希望杯”一试六年级）如图，圆锥形容器中装有水圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 __________________ 升.4厘米，表面积就减少50.24平方厘50升，水面咼度是。
六年级奥数——几何(立体图形)
各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题.（一）立体图形表面积1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?4．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为12厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为14厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?（二）立体图形体积（等体积变换）1．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米·2．如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?3．今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米?4．如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?5．一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?6．如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?( 取3．14)（四）立体图形的计数例1：数一数，下图中大小正方体一共有多少个？例2：将一个大长方体沿三个不同方向切透：垂直于长边切五刀，垂直于宽边切两刀，垂直于高切三刀。
奥数长方体和正方体
奥数长方体和正方体长方体和正方体习题六年级奥数上册:第五讲长方体和正方体习题解答28.正方体的展开图把一个正方体的各面展开放在桌面上，下图就是正方体的一个展开图形，试问，一个正方体有几种展开图。
28.正方体的展开图共有11种: 把四个面排成一排的有6种29。
长方体的体积阿强做一道求长方体体积的数学题.当他算完长乘以宽以后，发现宽厚30.长方体和正方体一个棱长 5 厘米的立方体是由棱长 1 厘米的小立方体若干个堆砌而成的。
①如果小立方体增加3个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体?②如果小立方体减少5个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？30.长方体和正方体解：5×5×5=125125＋3＝128＝27×1125-5＝120＝23×31×51×1根据约数个数公式，128有（7＋1）＝8个约数它们是1,2,4，8，16，2，64，128。
120有（3＋1）×(1＋1）×（1＋1）=16个约数，它们是：1，，3，4，5,6，8,10，12，15，20,24,30，40,60，120。
有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米,把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米?解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：3×3×0。
04＝0。
36立方米，2×2×0。
11＝0。
44立方米．它们的和是：0。
36＋0。
44＝0.8立方米．把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米,而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高:六年级奥数上册:第五讲长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形）,八个顶点,十二条棱。
人教版六年级下册数学小升初奥数：几何五大模型模型(课件)
02 三角形：燕尾模型
A
O
B
D
A
F
E O
B D
S△ABD：S△ACD=BD：CD S△OBD：S△OC?B：D?：CD
C
S△ABO：S△CBO=AE：CE S△ACO：S△BCO=AF：BF S△ABO：S△ACO=BD：CD
C
02 三角形：燕尾模型
（1）
例、如图，已知 BD=DC，EC=2AE，三角形 是 30，求阴影部分面积？
01 长方形：一半模型（犬齿模型）
（1）
1 S阴影 2 S长方形
例 、（长郡系）如图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。
解题思路： 将大长方形分成若干个小长方形；
每个阴影面积都=对应长方形的一半； 全部阴影面积=长方形ABCD的一半； S阴影=3×4÷2=6cm2；
几何五大模型
二、鸟头（共角）定理模型
1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点
则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）
ABC
的面积
1 G①
③ ②
③ ⑥③
解题思路： 构建完整燕尾模型，利用份数思维；
AE:CE=1:2
BD:CD=1:1
2
AE:CE=1:2
设S△AEF为1份，则S△CEF为2份 S△ABF:S△ACF=1:1，S△ABF为3份 S△ABF:S△CBF=1:2，S△CBF为6份
奥数六年级千份讲义528第五讲立体图形
✧ 参考书目：导引六年级第6讲；课本六年级上学期第5，6，7讲。
✧ 本讲重点内容总结：一、旋转体的概念：轴，高，底面，侧面，母线。
二、长方体，正方体，圆柱体，圆锥体的体积公式，侧面积公式，表面积公式。
三、正方体的剪拼以及染色问题✧ 例题以及练习1. 从一个底边半径为10的圆柱体原材料上斜着切了一刀，得到一个零件，它的左边最矮处的高度为40，右边最高处为50，那么这个零件的体积为 ；侧面积为 ；2. 一个棱长20m 的大立方体，在它的每个角上各作一个小立方体，于是得到8个小立方体；其中上面的4个棱长为12m ，下面的4个棱长为13m ，那么这8个小立方体的公共部分体积等于 m 3；3. 左边正方形的边长为4，右边正方形对角线为6，如果按照图中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比等于 : ；4. 一个长和宽分别为10和5的长方形可以将两个宽粘在一起，围成一个圆柱体；也可以将两个长粘在一起围成一个圆柱体。
这两个圆柱体的体积比为 :5. 从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。
求这个几何体的表面积和体积。
6. 将一系列边长为1cm 的单位立方体堆叠起来，从上面看如图1所示，从左面看如图2所示，从前面看如图3所示，那么这堆立方体一共有 个，它的表面积为 ；7. 大、中、小三个立方体水池，内边长分别是6m ，3m ，2m ，把两堆碎石分别浸沉在中、小水池当中，两个水池的水分别升好了6厘米和4厘米，如果把两堆碎石都沉在大水池中，那么大水池中的水升高 厘米；8. 一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体底面半径10cm ，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的2倍。
现在容器里有一些水，水面距离容器还有11cm ，如果把容器倒过来，水面距离顶部有5cm ，那么这个容器的容积是 cm 3；9. 一个底面长20分米，宽10分米，高6分米的长方形水池，存有三分之二池水，先将一个边长为4分米的立方体放入池子里，水面升高 分米；如果放入一个5分米的立方体，那么水面升高 分米；10. 有一个水池，底面为边长60cm 的正方形，插着一个长1m 的木桩，横截面是边长15cm3 BA C的正方形，现在将木桩提起来24cm （仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为 cm 2； 11.在如图所示的圆锥中，AB 和BC 长均为10厘米，底面圆周长为π10厘米。
六年级下册数学课件 - 第5课时 立体图形的认识
七
总复习
立体图形的认识
整理反思
说出下面每个立体图形的名称、特征及图 中字母的含义，再试着把它们分成两类。
d
r
r
整理反思
图形 名称
图例
长方体
正方体
长方体、正方体的特征：
特
征
①有6个面，每个面一般是长方形，特殊情况有 两个面是正方形，相对的两个面面积相等。
②有12条棱，相对的四条棱互相平行且相等。
ha r
l
展开图
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
练习实践
√
练习实践
练习实践
思考题
√
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
假如你从来未曾害怕受窘受伤害，那就是你从来没有冒过险。
运气是努力的附属品。没有经过实力的原始积累，给你运气你也抓不住。上天给予每个人的都一样，但每个人的准备却不一样。不要羡慕那些 总能撞大运的人，你必须很努力，才能遇上好运气。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。——朱熹 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 生命的目的是享受生命。 世界上只有想不到的事，没有做不成的事；世界上只有想不通的人，没有走不通的路。 人只要不失去方向，就不会失去自己。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。
①有一个底面，是个圆形。 ②有一个侧面，是个曲面，展开是个扇形。 ③有一个顶点。 ④有一条高。
整理反思 d
r
长方体
正方体
圆柱
(完整word版)六年级奥数-第五讲.几何-立体部分.教师版
第五讲几何一一立体部分教学目标:对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.知识点拨:、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形. ）②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体2（ab be ca）;长方体的体积：V长方体abc .③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形. 如果它的棱长为a，那么：S正方体6a2, V正方体a3.、圆柱与圆锥立体图形表面积体积圆柱匕S圆柱侧面积2个底面积 2 n h 2 n2圆柱n hA /I'S圆锥侧面积底面积—n2n2360注：1是母线，即从顶点到底面圆上的线段长1 2V a锥体—n h3例题精讲:C如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为 8,宽为3, 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍 为原立方体的表面积：10 10 6 600.右图是一个边长为 4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下 各面的中心位置挖去一个边长 I 厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ？（图中只画出了前面、右面、 上面挖去的正方体） 原正方体的表面积是 4 4 696（平方厘米）.每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了 5个边长是1厘米 的正方体作为玩具的表面积的组成部分. 总的来看，每一个面都增加了 4个边长是1厘米的正方形. 从而，它的表面积是： 96 4 6 120平方厘米.在一个棱长为50厘米的正方体木块， 在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3个方向考虑.变化前后的表面积不变：50 50 615000（平方厘米）.F 图是一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为-厘米的正方形2小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为 -厘米，那么4最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 我们仍然从3个方向考虑•平行于上下表面的各面面积之和： 22 2 8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2 2 4 16（平 1 1 方厘米），1 1 4 4（平方厘米）， 4 1（平方厘米），22114丄（平方厘米），这个立体图形的表面积为:444一个正方体木块，棱长是 1米，沿着水平方向将它锯成 块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少?锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 2增加的面数.【例1】【解析】【例2】 【解析】【巩固】 【解析】【例3】 【解析】【例4】厂—丿O丿8 16 4 1 -29-（平方厘米）. 4 42片，每片又锯成 3长条，每条又锯成 4小1厘米的正方体小原正方体表面积：1 1 6 6（平方米），一共锯了（2 1）（3 1）（4 1） 6次， 6 112 6 18（平方米）.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm 2的长方体如图切成 27个小长方体，这27个小长方体__ 2表面积的和是 _________ cm .【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的 3倍，即表面积的和为 56 3 168(cm 2).【例5】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小 •设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个 小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增 加，该几何体表面积为 54.【例6】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b 2h 时，如何打包？ ⑵当b 2h 时，如何打包？ ⑶当b 2h 时，如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是 8h 6b ,图3的周长是12h 4b •两者的周长之差为 2 ( b 2h ).当b 2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当 b 2h 时，按图2打包；当b 2h 时，按图3 打包•【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少?第一种按长宽高1 1 6拼接，重叠面有三种选择，共 3种包装方法•第二种按长宽高1 2 3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向3 3 3的正方体时，表面积最小，现在要去掉【解析】考虑所有的包装方法，因为 6 12 3，所以一共有两种拼接方式:的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法•其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.【例7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为 4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积.7/我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的， “压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面 •这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向 （左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面.上下方向：5 5 2 50 （平方分米）；侧面：5 5 4 100（平方分米），4 4 4 64（平方分米）.这个立体图形的表面积为：50 100 64 214（平方分米）.体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是 ___________ 平方厘米.【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为： （12 2232 52） 6 39 6234（平方厘米），重叠部分的面积为：123 （22 2 12） （32 22 12） （32 22 12）3 914 1440 （平方厘米）,所以，所得到的多面体的表面积为：234 40 194（平方厘米）.（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为 52 32 22 38平方厘米，从左右两个面观察到的面积为52 32 34平方厘米，从上下能观察到的面积为 扌25平方厘米.表面积为 38 34 252 194 （平方厘米）.【例9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形•，求这个立体图形的表面积.【解析】【例8】（2008年“希望杯”五年级第2试）如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示•因此，这个立体图形的表面积为:上面2个左面 2个前面•上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米•因此，这个立体图形的总表面积为：（9 8 10） 2 54 （平方厘米）•【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米£ X._X、〈【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7块正方形组成.该图形的表面积等于（9 7 7） 2 46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米.【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色.求被涂成红色的表面积.【例11】棱长是m 厘米（m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为 13:12 ,此时m 的最小值是多少？【解析】 4 4 (1 2 3 4) 4 56(平方米).其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12，而13 12 25，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数.当m 5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有 5 5 5 4 2 65个，表面没有红色的小正方体有125 65 60个，个数比恰好是13:12，符合题意•因此，m的最小值是5.【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的.现将它们拼成一个4 4 4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4 2）3 8（个），用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有（4 2）2 6 24 （个），其中30 8 22个用黑色.这样，在表面的4 4 6 96个1 1的正方形中，有22个是黑色，96 22 74（个）是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面.涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】每个长方体的棱长和是288 3 96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96 4 24厘米.因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米.要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少•所以，涂一面的长方体应涂一个8 7面，有8 7 56个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8 7面，有8 7 2 112个；若两面相邻，应涂一个8 7 面和一个9 7面，此时有7 8 9 2 105个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8 7面、一个9 7面，有7 8 8 9 4 147个；若三面两两相邻，有7 1 8 1 7 1 9 1 8 1 9 1 146个，所以涂三面的最少有146个.那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 105 146 307个.【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？【解析】设小正方体的棱长为1,考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况.当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些. 因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100 a b，那么分成的小正方体个数为a 2b 2 1 ab 2 a b 4 2 a b 104，为了使小正方体的个数尽量少，应使 a b最小,而两数之积一定，差越小积越小，所以当a b 10时它们的和最小，此时共有10 2 10 2 144个小正方体.当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100 4 2 3 31.由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312 2 27,此时共有2 2 27 108个小正方体.因为108 144，所以至少要把这个大长方体分割成 108个小正方体.□ 红 □ 红 □红□ _红□□ 红 □□ □ □ □ _红□其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能4个红色方格（见上中图）.因4个红色方格.最后.所以，红色方格最多有 ©I⑴⑴如图，每个角上三个方向的 3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有 8个方格染成红色.⑵如图，阴影部分是首尾相接由 9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色 （如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的 然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格），像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色. ⑶剩下6 3 3 8 3 9 2 12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色. 综上所述，能被染成红色的方格最多能有 8 8 6 22个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22 个红方格的染色方法，所以 22个格子染成红色是最多的情况.【例16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形•现从它的上面尽可能大的切下一个正方【例15】把正方体的六个表面都划分成 9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）.因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对,所以至多有两个面可以染成 5个红色方格. ⑵体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长•由于21:15:12 7:5:4，为了方便起见•我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体•因为7 5 4，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求•第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体【例17】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？（有公共面）的积木颜色不同，积应是：21 15 12 12393631107 （立方厘米）•66【解析】分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木17块•【巩固】这个图形，是否能够由 1 1 2的长方体搭构而成？【解析】每一个1 1 2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由1 1 2的长方体搭构而成•【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见左下图）•依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少？【解析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1（见下图）•上面的9个数之和是27,由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27 •同理，下面的9个数之和是45,下面、左面、后面的所有数之和都是45.所以六个面上所有数之和是（27 45） 3 216 •【例18】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上开有1 1 5的孔, 在另一个方向上开有2 1 5的孔，在第三个方向上开有 3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】求体积：开了3 1 5的孔，挖去3 1 5 15，开了1 1 5的孔，挖去115 1 4;开了2 1 5的孔，挖去 2 1 5 （2 2） 6 , 剩余部分的体积是： 5 5 5 （15 4 6） 100 .（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图:求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分.外部的表面积为 5 5 6 12 138，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为 2 2 5 1 5 1 2 1 3 20、2 1 53 5 1 3 1 32、2 15 15 112 14，所以总的表面积为138 20 32 14 204.（另解）运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30 左右方向：40【总结】“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖），这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考!【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分 •请问剩下的部分共有多少个小正方体？【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积曾或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的） ，然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分.1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有 22个、 11 11 6 22 72 （个）小正方体.【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方 体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态•右图中剩下的小正方体有多少个？1 12 1 11 12 1 1 1 1 1 2 1 /12 2 2 2 2 2 22 2 22 21 1*21 尺12 2 2 2 2 / 1 21 1/ 1 2 1 1从图中可以看出，第 11个、11个、6个、22个,【解析】解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有 5 5 25个，由侧面图形抽出的小正方体有5 5 25个，由底面图形抽出的小正方体有 4 5 20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1 2 2 1 2 2 8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有 1 3 2 2 7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 1 2 1 1 2 2 7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个.根据容斥原理，25 25 20 8 7 7 4 52 ,所以共抽出了52个小正方体.125 52 73，所以右图中剩下的小正方体有73个.注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事.但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙” 这里，化虚为实的思想方法很重要.解法二：（用“切片法”来解）可以从上到下切五层，得：⑴从上到下五层，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向.比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即如果挖第二层：第（1）步，把中间这些位置的四块挖走如图：第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走. （请注意挖通的效果就是成线挖去），如图: 第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图:【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，（11）是正方形•那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽（11）为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的_________ 倍.其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽(11)为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是(11),四个侧面是⑺⑻⑼⑽， 两个斜面是⑸⑹. 对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一 些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分.由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套.对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4个角后得到(如下左图，切去ABD"、CBDC i 、D i ACQ 、 B 1A C 1B);而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去 BACB i 、DACD 1).【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图,假设左图中的立方体的棱长为 形的体积为：a 3丄a 2 a2右图中的立方体的棱长为 1 3-a ,3则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图⑸ ⑺⑻ ⑹ (11) ⑼ ⑽1b ,以⑸⑹⑺⑻⑼⑽(11)为平面展开图的立体图形的体积为由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形1的边长， 是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成 的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2倍，即b 2a .那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽(11)为平面展开图的立体图形的体1 2 3 b — 2 b . 3 3而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中积的比为：1a 3：-b 3 [a 3：2 2a 3 1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽(11)为平面展开图的立体图形3 3 3 3的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍.【例20】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同•请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图:对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑,一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面， 那么可以从这个模型入手.我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微 妙关系：11111 1丄丄1 1丄—，所以切掉8个角后的2 2 2 23 481 5体积是1 — 8 — •48 6 1再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为-21由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图 ⑶这个被切去了 8个角后的立体图形的体积相等.假设立方体的1条边的长度是1,那么一个角的体积是 图⑶1图⑷的立方体来套•如果把图⑵的立体图形放入边长为-的立方体里的话是可以放进去的.21这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为 一，所以图⑵的体积是：48---丄4丄，那么前者的体积是后者的 5丄20倍. 2 2 2 48 246 24【例21】如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体•问这个物体的表面积是多少平方米？（ n 取3.14）从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2 3.14 1.52 14.13 （立方米），侧面积为2 3.14 （0.5 1 1.5） 1 18.84 （立方米），所以该物体的表面积是14.13 18.84 32.97（立方米）.【例22】有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米（见右图）•如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多 少平方厘米？【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为6 26 n 10 n （一） 2 4 n 5 60 n 18n 20 n 98 n 307.72 （平方厘米）•2【例23】（第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是 立方厘米. （结果用n 表示） 【解析】当圆柱的高是 12厘米时体积为(10\2 12n ( )12 2 n300 “（立方厘米） 冗 当圆柱的高是 12厘米时体积为,12 .2 “ n ( ) 102 n360 （立方厘米）•所以圆柱体的体积为300立方厘米 7t 7t或360立方厘米.【解析】1n【例24】如右图，是一个长方形铁皮，禾U用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积.（n 3.14）XJ丿V ---------------- ——16.56m——- •【解析】圆的直径为：16.56 1 3.14 4（米），而油桶的高为2个直径长，即为：4 2 8（m），故体积为100.48立方米.【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（n 3.14）【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2 n 10 62.8（厘米），原来的长方形的面积为：（10 4 62.8）（10 2）2056（平方厘米）.【例25】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米•原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 2 6.28厘米，底面半径为6.28 3.14 2 1厘米，所以原来的圆柱体的体积是n 12 8 8n 25.12（立方厘米）.【例26】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？（n 3.14）【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.可知，圆柱体的高为50.24 3.14 224（厘米），所以增加的表面积为2 4 2 16（平方厘米）；（法2）根据长方体的体积公式推导. 增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14 2 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.28 8平方。
六年级奥数 几何;第5讲;几何综合_二_;教师版
方法二：连接正方形 A 对角线(如右上图)，将 40 平方厘米的图形分成面积相等的两个梯形，而梯
形的上下底之和恰好是 20 厘米，所以梯形的高为 20 × 2 ÷ 20 = 2 (厘米)，即两个正方形的边长差，
由此可求出乙正方形的边长为(20 − 2)÷ 2 = 9 (厘米)，从而乙正方形的面积为 9 × 9 = 81(厘米 2)．
A
甲乙 D I JF
M
N H丙
B
E
C
【解析】因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就与对应 的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半， 即为 200． 根据图形的容斥关系，有 SΔABC − S丙 = SΔABN + SΔAMC − SAMHN ，即 400 − S丙 = 200 + 200 − SAMHN ，所 以 S丙 = SAMHN ．
【例 8】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方 米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
0.5
5 5
5
0.5
0.5
5 5
2010 年·短期班
图a
图b
小学奥数·六年级·几何·第 5 讲 教师版
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【解析】我们先按题目中的条件画出示意图(如图 a )，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为 5 平 方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图 b )． 图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和， 中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差， 即 0.5 米．所以中间的小正方形的面积为 0.5 × 0.5 = 0.25 平 方米，那么大正方形的面积为 5 × 4 + 0.25 = 20.25 平方米． 因为 4.5 × 4.5 = 20.25 ，所以大正方形的边长等于 4.5 米．所 以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽 的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为： (4.5 + 0.5) ÷ 2 = 2.5 米，即原正方形的边长为 2.5 米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是 可得锯下的长方形玻璃条的面积为 2.5 × 0.5 = 1.25 平方米．
奥数长方体和正方体
长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答28.正方体的展开图把一个正方体的各面展开放在桌面上，下图就是正方体的一个展开图形，试问，一个正方体有几种展开图。
28.正方体的展开图共有11种：把四个面排成一排的有6种29.长方体的体积阿强做一道求长方体体积的数学题。
当他算完长乘以宽以后，发现宽厚30.长方体和正方体一个棱长 5 厘米的立方体是由棱长 1 厘米的小立方体若干个堆砌而成的。
①如果小立方体增加3个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？②如果小立方体减少5个，可以堆砌出多少种长、宽、高都不相同的长方体？30.长方体和正方体解：5×5×5=125125＋3＝128＝27×1125-5＝120＝23×31×51×1根据约数个数公式，128有（7＋1）＝8个约数它们是1，2，4，8，16，2，64，128。
120有（3＋1）×（1＋1）×（1＋1）=16个约数，它们是：1，，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。
有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：3×3×＝立方米，2×2×＝立方米．它们的和是：＋＝立方米．把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是立方米，而大池的底面面积是4×4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题六年级奥数上册：第五讲长方体和正方体习题解答第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。
小学六年级奥数课件：几何部分教案
例题3
图1
如图1所示，四个圆的半径都 是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影 部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中 的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学 过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影 部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4 个半圆（即2个圆）的面积之和，
个内角。
多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°
这个就是多边形的一个 外角
怎么证明多边形的内角和呢？
①在多边形内任取一点，连 接这一点和所有顶点
②过其中的一个顶点，连接 所有的对角线
Байду номын сангаас
多边形的分类
多边形
正多边形 非正多边形 凸多边形 凹多边形
凸多边形的性质：
1. 内角均小于180°，内角和为(n-2)×180°，外角和为360° 2. 凸多边形内角中锐角的个数不能多于三个 3. 凸多边形的对角线都在多边形的内部，对角线的条数为n×(n-3)÷2
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例题1 A O
正方形的性质
如图，正方形ABCD的边长是6，O是正方形的中
B
心，其中EO垂直于OF，求四边形EOFD的面积
E
C 引申拓展
D F
桌面上有若干张大小相等的正方形纸片，按照顺 序一张一张的摆放，要求后摆的纸片必须有一个 顶点与前一张纸片的中心重合。
求：
①如果有5张纸片，桌面被覆盖的面积是多少？
例题7
用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1）条 直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最 多将圆分成
1＋（1＋2＋3＋…＋n） =1＋n（n+1）÷2（块）。 当n=100时，可分成 1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。
5年级_几何
2010 年·短期班
小学奥数·六年级·几何·第 5 讲 教师版
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根据燕尾定理： S△AOE : S△AOF = a : b ， S△AOF : S△EOF = a : b 所以 S△AOE : S△EOF = a2 : b2 ，作 OM⊥AE、ON⊥EF， ∵AE = EF ∴ OM : ON = a2 : b2 ∴ S甲 : S乙 = a3 : b3 = 1: 8 ∴ a :b =1:2
积的1 − 12 × 3 = 13 ，所以 ΔABC 的面积的面积为 49 × 13 = 13 ．
49 49
6 49 6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是
．
E
A D
B
C
【解析】从图中可以看出，虚线 AB 和虚线 CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个
= S△CDB − S△ABC 由于 S△ABC = 4 × 4 ÷ 2 = 8 (平方厘米)，所以 S△CDB = 8 + 2 = 10 ，所以 CD = 10 × 2 ÷ 4 = 5 (厘米)
练习2. 已知正方形的边长为 10， EC = 3 ， BF = 2 ，则 S四边形ABCD =
．
A
A
B
MN
B
D
F
D
F
EC
EC
【解析】如图，作 BM ⊥ AE 于 M ， CN ⊥ BM 于 N ．
则四边形 ABCD 分为 4 个直角三角形和中间的一个长方形，其中的 4 个直角三角形分别与四边形
ABCD 周围的 4 个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为 3× 2 = 6 ，
北师版六下数学第5课时 立体图形(一)公开课课件教案
总复习——图形与几何第5课时立体图形（一）教学目标：1、用一定层次、方法展示和整理有关立体图形特征。
2、用一定的方向观察物体来发展空间观念。
教学重点：立体图形的简单特征教学难点：发展学生的空间观念，对每一个立体图形特征进行知识归类教法：列表总结归纳学法：独立自主学习教学准备：PPT相关课件教学过程：一、分别说出已学过的立体图形的特征，并尝试验证这些特征。
1、先复习长方体和正方体的特征。
由学生抢答完成此表顶点棱面长方体8 相对棱长相等有12条棱6个面都是长方形相对面面积相等正方体8 12条棱棱长都相等6个面都是正方形6个面完全一样2、圆锥和圆柱的表面积从面的角度来复习，a圆柱有3个面，上、下两个面是完全相同的圆，一个弯曲的侧面展开是一个长方形，b圆锥只有两个面，一个底面和一个侧面，圆锥的侧面展开是一个扇形。
（对于特征的验证可以结合知识的梳理过程进行，鼓励学生从多角度进行整理复习）二、找出下面的立体图形从正面、侧面、下面看到的形状，并连一连。
（进一步体会从不同方向看到的形状可能不同，进而发展学生的空间观念）三、课堂总结：长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征知识归类，由学生总结出，老师加以修改令其完善。
布置作业：长正方体棱长总和的正反运算。
四、板书设计：五、课后反思：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。
”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。
听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。
”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。
小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。
小学六年级奥数--立体几何综合
学科培优 数学立体几何综合学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点 立体几何⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高） 立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6 圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥： 体积：213r h π⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【试题来源】 【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?【试题来源】【题目】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是( )．【试题来源】【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【试题来源】【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．【试题来源】【题目】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【试题来源】【题目】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【试题来源】【题目】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【试题来源】【题目】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?【试题来源】【题目】将高都是1米，底面半径分别为1．5米、1米和0．5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积．【试题来源】【题目】这里有一个圆柱和一个圆锥(下图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【试题来源】【题目】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体．然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体．最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．剩下的体积是平方厘米．【试题来源】【题目】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?【试题来源】【题目】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．【试题来源】【题目】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【试题来源】【题目】下面是一辆汽车模型纸工平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸．将该图剪下折叠粘合(相同字母标记处粘合在一起)做成汽车模型的体积为V ．请回答：①403<v<445②473<V<500，哪一个正确，为什么?【试题来源】【题目】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【试题来源】【题目】如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(取 =3．14)．【试题来源】【题目】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD —1A 1B 1C 1D (如图)，大正方体内的对角线A 1C ，B 1D ，C 1A ，D 1B 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?习题演练【试题来源】【题目】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米【试题来源】【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是_____平方厘米【试题来源】【题目】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【试题来源】【题目】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块．那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体．【试题来源】【题目】六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如下图，下边是其中一个立体的侧面展开图，那么它是立方体____的侧面展开图．2。
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第五讲 几何——立体部分
教学目标：
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
知识点拨：
一、长方体和正方体
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c b a
H
G
F
E
D C
B
A
①在六个面中，两个对面是相等的，即三组对面两两相等． ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．
二、圆柱与圆锥
例题精讲：
【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，
高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍
为原立方体的表面积：．
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一
个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【例 2】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【例 3】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体
的表面积是多少平方米？(π取3.14)
1110.51
1.5
【例 4】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直
径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【例 5】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这
个油桶的容积．(π 3.14=
)
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体
的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)
【例 6】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表
面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=
)
【例 8】 (xx 年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推
知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14
)
(单位：厘米)
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明
的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
【例 9】 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没
着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
【例 10】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1
3
，乙容器中水的高度是锥高的23，比较
甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
甲
乙
【例 11】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫
出的立体图形的体积．(π 3.14=)
【例 12】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC
的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
A
B
A
B
练习1. 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时
酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)
25
30
15
练习2. (xx 年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径
竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大1002cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14
)
第2题
【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？
【备选5】(xx 年”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这
个容器最多能装水 升．。