可压缩流体流动基础流体力学

由Ma1＝0.4及Ma2＝0.9 查等熵流动气动函数表可得
T 1/T 0 1 0 .9 6 8 9 9p 1/p 0 1 0 .8 9 5 6 2A 1/A 1 .5 9 0 1 , T 2/T 0 2 0 .8 6 0 5 8p 2/p 0 2 0 .5 9 1 2 6A 2/A 1 .0 0 8 8 6
arcsin
Ma
[例C5.2.2] 马赫锥与马赫角 已知:一飞机在观察站上空H＝2000m，速度为V＝1836km/h,空气温度为 T=15℃ 求：飞机飞过观察站正上方到观察站听到机声要多少时间
解： 当地声速和飞机飞行马赫数为
c RT 1.428728715340m/s
MaV183610005101.5 c 3403600 340
验算
m & 1 1 V 1 A 1 6 . 9 7 1 3 8 . 9 0 . 0 0 1 0 . 9 7 k g / s
m & 2 2 V 2 A 2 5 . 3 2 9 4 . 4 5 0 . 0 0 0 6 3 0 . 9 7 k g / s m & 1
讨论: 计算表明在这个收缩喷管中流速增大，温度、压强、密度均下降。
A Ax' ＝0.00.000258＝19.73
由等熵流气动函数表上按A/A*=1.73倒查得Ma x＝0.34
C5.4.2 喷管内等熵流动(2-1)
C5 .4.2 喷管内等熵流动
参见右下图
1.pb＝p0， m &＝ 0 2.p0.528pbp0，
m& 增大
1
m&＝0A2－ 1p00
pe p0
2
Ma 1
dV 0 dp 0
dV 0 dp 0
dAA Ma21dV
dx V
dx
对拉伐尔喷管, dV/dx为有限值,当 Ma 1时上式右边等于零, 为临界截面
在收缩段：加速
在扩张段：继续加速
[例C5.4.1] 超声速流在变截面管中的质量守恒(2-1)
试分析可压缩流体的超声速流在收缩管中减速或在扩张管中加速是
否符合质量守恒定律。
解：由连续方程（C5.4.3）式可得
d V V d d A A
a
将上式代入（C5.4.4）式可得
d A A M a 2 1 d d A A
整理后得
d 1 M M a 2 a 2d A A
b
由（b）式，当Ma>1时， M a 2 0 ，dp 与dA异号，且
1 Ma2
Ma2 1 ，d dA。
1Ma2
A
[例C5.4.1] 超声速流在变截面管中的质量守恒(2-2)
讨论: 说明当超声速流流过收缩管时，随着界面面积的减小，流体密度增 大；而且密度的增长率超过面积的减小率，只有降低速度才能保证质量守 恒。当超声速流流过扩张管时，随着截面积之增大，流体密度减小，而且 密度的减小率超过面积的增长率，只有增大流速才能保证质量守恒。因此 两种情况均符合质量守恒定律。
C5.4.1 截面变化对流动的影响(3-3)
2. 截面积与Ma 数关系
在拉伐尔喷管中
＋1
AA＝M 1a2＋－ ＋ 11Ma22－1
＝1 1 ＋ 0 .2 M a 23 1 .7 2 8 M a
＝ 1 .4
对每一个A/A*有两个Ma ：一个为亚声速，一个超声速。
3.
流量与Ma
数关系
m & ＝
R
1
空气（γ=1.4） T 0.833 T0
p 0.528 p0 0.634 0
c 0.913 c0
[例C5.3.3A] 一维定常等熵状态参数(2-1) 已知: 空气在一喷管内作定常 等熵流动。设截面1的状态参数为
M a 1 0 . 4 , T 1 3 0 0 K ,p 1 6 0 0 k P a ( 绝 ) ,A 1 0 . 0 0 1 m 2 ; 设截面2的状态参数为 M a 20 .9 ,A 20 .0 0 0 6 3 m 2 求：截面1和2上的其他状态参数与流速。
dqdepd1
5. 热力学第二定律：气体在绝热的可逆过程中熵值保持不变； 在不可逆过程中熵值必定增加。
dsdq T0
6. 完全气体等熵流动
p
常数
C5.2 声速、马赫波和激波
C5.2 声速、马赫波和激波 C5.2.1声速
可压缩流体中微扰动的传播速度称为声速。 （1）声速与流体弹性模量（K）和密度（ρ）有关
C5.4.1 截面变化对流动的影响(3-1)
C5 .4 一维变截面管定常等熵流动 C5 .4.1 截面变化对流动的影响
1. 截面变化与Ma数关系 由欧拉方程 V dV dp
dx dx
得
1 V dV
dp
由连续性方程 VA常数
得 d dV dA 0 V A
dA d
dV 1
dV
VdV
A dp
V
c2 VdV V
V 2
c2
1
dV V
Ma2 1
dV V
Ma2
1
dp
1 V2
C5.4.1 截面变化对流动的影响(3-2)
d A AM a2 1 d V V M a2 1 d p V 1 2
收缩管dA 0 扩张管dA 0
Ma 1
dV 0 dp 0
dV 0 dp 0
由（C5.2.6)式
c 0R T 01 .4 2 8 7 2 8 8 3 4 0 m /s c 1R T 11 .4 2 8 7 2 9 5 2 9 5 m /s
c0c1 0.1313% c0
讨论： 说明海平面与11km高空的声速相差13％之多。
C5.2.2马赫波(2-1)
C5.2.2马赫波 无界可压缩流场绕点声源的运动
pT 00M a1＋ － 21M a2－ 2＋ － 11 A
m &max＝R
p0 T0
＋1－2＋ － 11
2
A*
[例C5.4.1A] 等熵流喷管临界截面 已知: 设喷管内有等熵流，出口截面积A e＝0.003m2，出口马赫数Ma e＝0.8。
求: 喷管内截面积为A x＝0.005m2 处的马赫数Ma 。
C5.2.3 激波 1.定义： 强压缩扰动在超声速流场 中形成的流动参数强间断 面
2.形成机理：以管中活塞强烈压缩为例
c2R T 1 Tc1R T 1
3.特点： p↑，ρ↑，T↑，V↓ 4.形成条件： 管内一维流场：强压缩扰动
二维三维流场：超声速运动
C5.3.1 绝能·流能量方程
C5.3 一维定常可压缩流能量方程 C5.3.1 绝热流能量方程
解：由于A x > A e，说明这是一个收缩喷管。由Ma e＝0.8 查等熵气动函数表
可得
AA＝1.038＝ 23A Ae'
A '＝ 1 .03＝ 8A 2 e 3 ＝ 0 .00 ＝ 0 3 .00m 2 2 89 1 .038 1 .0 23 3823
A*’为假想的临界截面，即假想流体沿继续延伸的喷管流动，在截面积A*处 达到声速，喷管其他截面上的参数与该假想临界截面上的参数关系符合等 熵流气动函数关系。现
C5 可压缩流体流动基础
C5 可压缩流体流动基础 C5.1 引言（工程背景）
C5.1.1 热力学基础知识(2-1)
C5.1.1 热力学基础知识 1. 完全气体状态方程
p=RρT
R 为气体常数，空气R=287J/kg·K。
2. 比热容：单位质量流体温度升高一度所需要的热量。
当容积保持不变时称为比定容热容c v(T)
1. 静止流场 V= 0 Ma = V/ c = 0 （图a）
2. 亚声速流场 0 < Ma < 1
（图b）
0 < V< c
C5.2.2马赫波(2-2)
3. 声速流场 V = c , Ma = 1， 平面马赫波 （图c）
4. 超声速流场 V > c , Ma > 1， 马赫锥 ,马赫角α（图d)
1
p20.6602600396.1(kPa)
由状态方程
2R p T 2 23 2 9 8 6 7 .1 2 1 6 0 6 0 .4 05.18(kg/m 3)
c 2 R T 21 .4 2 8 7 2 6 6 .4 3 2 7 .1 7 ( m /s )
V 2 c 2 M a 2 3 2 7 .1 7 0 .9 2 9 4 .4 5 ( m / s )
对空气 Vm 2.45c
C5.3.3 等熵流气动函数
C5.3.3 等熵流气动函数
滞止状态参数
T T0
1
1Ma2 2
1
p p0
1
1Ma2 2
1
0
1
1Ma2 2
1
1
c c0
1
1Ma2 2
1
2
临界状态参数
T 2 T0 1
p p0
2 1
1
1
0
2 1
1
1
c c0
2 2
cv
1 1
R
当压强保持不变时称为比定压热容c p(T)
cp
R 1
比热比
cp cv
（空气γ=1.4）
C5.1.1 热力学基础知识(2-2)
3. 内能与焓 比内能e(T)：单位质量气体分子热运动所具有的动能
e cvT
比焓h(T)：单位质量气体所具有的内能与压能之和
hepcpT
4. 热力学第一定律：对气体所加的热能等于气体内能的增加 和气体对外所作功之和。
绝能流：与外界无能量交换的流动（无热量交换，无轴功，无 摩擦功等）。
由伯努利方程的第三种推广形式可得（忽略重力）
eV22phV22h0常 数 （绝能流）
上式中h0为总焓。完全气体的一维定场流动常用形式为
T T0
1
1Ma2 2
1
c c0
1
1Ma2 2
12
（绝能流） （绝能流）
• 总温(T0)和总声速(c0)在绝能流中保持常数，但总压(p0）和总密 度(ρ0)不一定保持相等。
解：截面1的其他参数为
1R p T 116 2 0 8 0 7 1 3 0 0 0 0 06.97(kg/m 3)
c 1 R T 11 .4 2 8 7 3 0 0 3 4 7 .1 9 ( m /s )
V 1 c 1 M a 1 3 4 7 .1 9 0 .4 1 3 8 .9 ( m / s )
1. 用滞止状态参数表示
cpT
V2 2
cpT0,
c pT
c2 ,
1
T0 1 V 2
T
2c pT
V Ma c
T (1 1 M a 2 ) 1
T0
2
p
(1
1
M
a 2 ) 1
p0
2
(1
1
M
1
a 2 ) 1
0
2
c
(1
1
M
a
2
)
1 2
c0
2
等熵流
称为等熵流气动函数。对完全气体见附录FG1 表。
c
K
源自文库
dp
d
s
（2）声速与扰动频率、振幅与周期无关 （3）声速传播过程可视为绝热等熵过程，声速与温度有关
c RT
[例C5.2.1] 声速
已知: 设海平面（z＝0）的大气温度
的高空大气温度 T1 216.5K.
T0 288K在, 对流层顶部（
z11km ）
求： 试比较两处的声速
解： 设空气气体常数和比热比分别为 R 2 8 7 J/k gK , 1 .4 。
[例C5.3.3A] 一维定常等熵状态参数(2-2)
利用等熵流T01＝T02， p01＝p02，可得
T2 T2 T02 0.860580.8881 T1 T02 T1 0.96899
T20.8881300266.4(K)
p2 p2 p02 0.591260.6602 p1 p02 p01 0.89562
飞机以超声速在静止的空气中飞行,形成一个以飞机为 顶点后掠的马赫锥,其马赫角为α,如图示
arcsin1arcsin141.8o
M a
1.5
设飞机在观察站上方时,马赫波与地面交点离观察站距 离为l, 时间t后到达观察站
lVtHcot
tHcot2000cot41.8o4.38s
V
510
C5.2.3 激波
C5.3.2 等熵流伯努利方程(3-3)
2. 用临界状态参数表示
临界状态：气体等熵地改变速度到声速时所具有的状态,
如 T , p , 等。
在等熵流气动函数中令Ma =1可得
T
2
T0 1
p p0
2 1
1
1
0
2 1
1
3. 最大速度 V m
在等熵条件下温度降到绝对零度时的速度。
－
pe p0
＋12
3.pb＝ p Ae＝ A
对空气 m & max＝ 0.6847 p00Ae
m&＝m&max
Ve＝18.3 T0
4. pb p ,流量不变
（壅塞现象）
[例C5.4.2]收缩喷管内的等熵流动
已知: 设贮气罐中空气的滞止参数为 T 0 ＝ 2 8 8 K ， p 0 ＝ 5 .为8 8 保3 6 1 0 5 P a 。 证收缩管内达到最大流量 m&max＝10kg/s
C5.3.2 等熵流伯努利方程(3-1)
C5.3.2 等熵流伯努利方程
在绝能（热）条件下符合可逆过程的流动称为等熵流动。
完全气体等熵流动（对空气 1.4）
由一维定常能量方程
p
常数
对完全气体
eV2 phV2 常数(等熵流） 2 2
hcpT1RT1pc 21
等熵流伯努利方程
cpT
V2 2
常数
C5.3.2 等熵流伯努利方程(3-2)