空间直线与平面

空间直线与平面

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一对一ｖip 辅导讲义

年 级： 高二 辅导科目： 数学 课 题

空间直线与平面（一)

教学目的

1.熟练掌握平面基本性质；

2.理解空间中的线线关系；

3.锻炼初步的空间想象能力,体会数学空间中的抽象美。

教学内容

【知识讲解】

（一)平面

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 注意：（１）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达.A ∈L,B ∈Ｌ，Ａ∈α,B ∈α⇒L ⊂α。 (2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。 （３)公理１说明平面具有无限延展性。

B

A

α

公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 如图:

l

βα

注意:

1． “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的,“只有”说明直线是唯一的。 ２. 如果两个平面α和β有一条公共直线,就说平面α和β相交,交线是ａ，则可记作

α∩β＝a

3． 公理2可表示成如下形式:若A ∈α,A ∈β，则α∩β＝a ，且A ∈a 。

4. 两个平面如果有一个公共点,那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上,即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。 ５. 公理2是作出两个平面交线的依据。

6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：

①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(1） ②再画出表示两个平面交线的线段，如图（2）

③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(２)中表示交线的线段,如图（３)。 ④画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线,可以用虚线,也可以不画，如图（4)）

(1) （2) (3） （4) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 注意：

①公理3实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字 ②“有且只有”的理解： “有”说明直线是存在的;“只有”说明直线是唯一的。 公理3推论

推论１ 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论２ 经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 （二)空间直线

1.空间两条直线的位置关系相交平行共面异面——不同在任何一个平面内的两条直线。

⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪

2.//////平行公理：若，

则，其中、、为空间三直线。a b c b a c a b c ⎧

⎨⎩

（即公理４的数学意义) 3. 定理1：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，则这两个角相等或互补(注意互补的情况).

4. 异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

B

A a α

５. 异面直线所成角：

过空间任意一点O ，分别作异面直线a 与ｂ的平行线a’、b’，则a’与b’所成的锐角或直角叫做a 与b 的(夹角）所成角。 6． 异面直线所成角求法:

(１）作角:平移a 或ｂ,使a 与ｂ相交,得到所求角。

（2）以该角为一可解三角形一内角,解三角形、求角的大小。 注意：若cos α<0，则所求角为π-α。 【例题分析 】

例1、画出经过已知直线ＡB 的三个平面。

b

c

a

A

B

α

β

γβ

α

γ

例2. 三个不同平面可能把空间分成几部分？画图说明可能分成４，6，7,8个部分。

练习1． 已知:延长⊿A ＢC 三边,ＡＢ＝D ，B Ｃ＝E,A Ｃ＝F ，求证:Ｄ、E 、F 共线。

A

D F

C E

B

α

例3. 三个平面两两相交有三条直线,求证这三条直线交于一点或互相平行。 已知：平面αβγ两两相交且α∩β＝ａ，β∩γ=b,α∩γ＝c 求证:a 、b 、c 相交于一点或互相平行

分析：两种情况(1)交线相交（2)交线不相交

证明：(1）设a ∩ｂ=P 则P ∈ａ， Ｐ∈b ∵α∩β＝a ，β∩γ＝b ∴P ∈α，P ∈β，Ｐ∈γ

∵ｐ∈α ∩β而α∩γ =c

∴p ∈c ∴ａ.b ．c 相交于一点P (2)若a.b ．c 不相交，在α内必有ａ∥c

同理 b ∥c ∴a ∥b ∥c

练习2. 在正方体AC １中,M 、Ｎ分别是Ａ1B 1、Ｂ1B 的中点,求

(1)AM 和ＣＮ所成角的大小； （2）AM 和ＢD 1所成角的大小。 （３）ＡM 和BD 所成角的大小；

D 1 C 1 G A 1 B 1 M

N

D C

A Q P B

练习3． 如图正方体1111D C B A ABCD -中： (１)与对角线ＡC 1成异面的直线的棱有多少条? （2）与AB 成异面直线的棱有多少条？

(3)与BD 成异面直线的棱有多少条？

(４)正方体１2条棱中异面直线共有多少对?

练习4、 正方体1111D C B A ABCD 棱长为a ,对角线C A 1长为a 3。

① 异面直线1BA 与1CC 所成的角。 ② 异面直线BC 与1AA 的距离。 ③ 异面直线B A 1与C B 1所成的角。 ④ 异面直线B A 1与1AC 所成的角。

⑤ M 、N 为11C D 、11B C 中点,M Ｎ与AC 所成角。 ⑥ H 为B Ｃ中点,H C 1与B D 1所成角。

练习５、 四面体AB ＣD ，棱长均为a （正四面体）

① 求异面直线AD 、BC 的距离。 ② 求A Ｃ、ＢＤ所成的角。

③ E 、F 为ＢC 、ＡD 中点,求AE 、CF 所成角。