初三数学正多边形和圆解析

初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识

一. 本周教学内容：

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

［学习目标］

1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。

2. 正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：

（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。

4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆

先用量角器画一个等于360︒

n

的圆心角，这个角所对的弧就是圆的

1

n

，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，

就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。

5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6. 圆周长公式：C R

=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。

7. n°的圆心角所对的弧的弧长：l

n R =

π180

n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8. 正n边形的每个内角都等于()

n

n

-︒

2180

，每个外角为

360︒

n

，等于中心角。

二. 重点、难点：

1. 学习重点：

正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2. 学习难点：

解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A.

3

3

B.

23

3

C.

2

3

D.

22

3

解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

D

又∵∠FAG ＝60° ∴=

∠==

AF FG FAG sin 13

2

23

3 故选B

点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。

例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 1∶2∶3

B. 123∶∶

C. 123∶∶

D. 123∶∶

解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，

AD 是高

设OD r =，则AO ＝2r ，AD ＝3r

∴OD ∶AO ∶AD ＝r ∶2r ∶3r ＝1∶2∶3 故选A

点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的1

2

。通过这个定理可以使问题得到解决。

例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ） A. S S S 346>> B. S S S 643>> C. S S S 634>>

D. S S S 463>>

解析：设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a l 313=

，正四边形的边长为a l 41

4

=，正六边形的边长为

a l 616

=

∴=

︒=⨯⨯=S a l l 332221260121932336

sin

S a l S a l l

442

2

66222

116

61260612136323372

==

=⨯︒=⨯⨯⨯=sin

∴>>S S S 643

故选B

点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。

例4. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证： （1）ME AB =； （2）ME BE BM 2

=·

点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

AB ⋂=⨯︒=︒1

5

36072

∴∠BEA ＝36°

EC ⋂=⨯︒=︒2

5

360144

∴∠=

⨯︒=︒∴∠=︒-︒-︒=︒=∠∴==EAC EMA EAM ME AE AB

1

2

14472180367272

（2） BC AB CAB BEA ⋂=⋂

∴∠=∠，

又∵公共角∠ABM ＝∠EBA ∴△ABM ∽△EBA

∴

=

∴=AB BE BM

AB

AB BE BM

2·

例5. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。

解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a cm =2

正六边形的周长l a

cm ==612 正六边形的面积S cm =⨯

⨯⨯⨯=6122232

632 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6. 已知正方形的边长为2cm ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。 解：∵正方形的边长为2cm ∴正方形的外接圆半径为2cm

∴外接圆的外切正三角形一边上的高为32cm

∴正三角形的边长为

326032

3

226sin ︒==cm

∴正三角形的面积为

12262632

632⨯⨯⨯=cm 点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。

例7. 如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，⊙O 1和⊙O 2的半径分别为r 和3r ，AB 为两圆的外公切线，

A 、

B 为切点，求AB 与两弧PA PB ⋂⋂

、所围的阴影部分的面积。

解：连结O A O B 12、，过点O 1作O C O B 12⊥

在Rt O O C ∆12中，O O r r r O C r r r 1223432=+==-=， ∴=-=O C r r r 12216423 ∴梯形O ABO 12的面积为：

()1

2

323432r r r r +=· 又∵sin ∠=

==O O C O C O O r r 21212241

2