第五讲 正交实验设计与数据处理

人们希望做试验的次数尽量少，而得到的结果 尽可能好
完整的试验应包括三个方面：

第一，试验的设计 第二，试验的实施 第三，试验结果的分析
试验设计的概念

即试验的最优化设计，是研究如何合理而有效
地获得数据资料的方法。

其主要内容就是讨论如何合理地安排试验、取
得数据，然后进行综合的科学分析，以达到尽 快获得最优方案的目的。
3
3
3
k
0
要检验的假设为：
H01： a1 = a2 = a3 = 0 H02： b1 = b2 = b3 = 0 H03： c1 = c2 = c3 = 0
令
1 9 y yr 9 r 1
其中
1 9 r 9 r 1
于是9次试验结果的总偏差平方和为：
ST ( y r y ) 2
3
117 180 189 39 60 63 24
3
135 183 168 45 60 56 15
2
153 174 159 51 58 53 7
1
147 168 171 49 56 57 8
A3B3C2D1
64
说明与结果分析：

K为各因素相同水平的指标之和； 极差R为相同因素不同水平的指标平均值中最大 值与最小值之差；并作出因子水平与R值间关系 图：由图可以看出因子与指标的变化规律，明确 因子影响指标的主次：A>B>C>D

表2 试验方案与结果
列号 试验 号
1 A 2 B 3 C 4 D
列号 试验 号
1 A
2 B
3 C
4 D
1 2
1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1(85) 1
1(90) 2(120)
1(1:1) 2(2:1)
1(10) 2(15)
3
4 5 6
1
2 2 2
3
1 2 3
3
2 3 1
3
3 1 2
3
4 5 6
n k
hij {1,2,, k} i 1,2,, n
j 1,2,, m ；
（2）任一列中每个不同元素出现的次数都等 ； （3）H中任意二列同行上的有序数偶：
（1,1）…（1,k），（2,1）…（k,1）… （k,k），出现的次数都等于n/k2。
正交表的特点（或性质）-正交性


每列中不同数字出现的次数是相等的，如 L9(34)中不同的数字是1,2,3，它们各出现3次。 (n/k) 在任意两列中，将同一行的两个数字看成有 序数对出现的次数也是相等的，如L9(34)，有 序数对共有9个： (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3 ,3)，它们各出现一次。(n/k2)
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
正交表记法

一般正交表记为Ln(mk)，


n——是表的行数，是要安排的试验次数；
k——表中列数，表示因素的个数；

m——是各因素的水平数。
Ln(Km)是一个n行m列矩阵
（1）每个因素 于
正交试验设计是用一套规格化的表格来安排试 验，这种表格叫做正交表

正交表简介

是一种特制的表格，每个表都有一个记号，如L9(34)， L8(27)，就是两个最常用的正交表； 符号说明： L——正交表 L下角的9、8——正交表的行数 括号里的3、2——因素所取的水平数， 指数4、7——正交表的列数

k
A
B
C
D
因素
1
2 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。
正交试验直观分析：

看出因子与指标的变化规律；


明确因子影响指标的主次：A>B>C>D
选定最优方案,取务因子中有最高指标的水 平组合
k
A
B
C
D
因素
1
2 3
1 2 3 2 1 2 3 3 A1B1C1D1 A1B2C2D2 A1B3C3D3 A2B1C2D3 22 52 43 58
5
6 7 8
2
2 3 3
2
3 1 2
3
1 3 1
1
2 2 3
A2B2C3D1
A2B3C1D2 A3B1C3D2 A3B2C1D3
61
61 55 70
9
K1 K2 K3 k1 k2 k3 R
有关因素：反应温度（A）、反应时间
（B），用碱量（C），选取的水平如下：
因素\水平
温度（A） 时间（B） 用碱量（C）
1
80℃ 90分 5%
2
85 ℃ 120分 6%
3
90 ℃ 150分 7%
用正交表安排试验的步骤：

首先选择适合试验的正交表，这里是三因素三
水平试验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次 试验
正交试验设计与数据分析
试验优化设计Experimental design

以概率论和数理统计为理论基础 经济地、科学地安排试验 正确地分析试验数据 尽快地获得优化方案 一项实用技术
试验的必要性

生产实践中，试制新产品、改革新工艺、寻求
好的生产条件等，这些都需要先做试验

试验需要花费时间、消耗人力、物力
r 1
9
经过初等的代数运算，可以得到如下的分解式：
ST S A S B S C S E
其中
（2）
y1 y 2 y3 2 y 4 y5 y6 2 y7 y8 y9 2 S A 3( y ) 3( y ) 3( y) 3 3 3 1 2 3 2 4 5 6 2 7 8 9 2 3(a1 ) 3(a2 ) 3(a3 ) 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。
正交试验的方差分析

直观分析不能给出误差的大小，也不能知道结 果的精度； 方差分析能够反应数据的波动性，即数据的分 散性，方差大小表明数据变化的显著程度，也 表明因素对指标影响大小。

例二

为提高某化工产品的转化率，选择 了三个

6个7水平的因素进行全面试验，要做
76＝117649次试验

试验次数多，要花费大量的人力、物力，还 要用相当长的时间 由于时间长，条件改变，还会使试验失效 长期的实践表明，要得理想的结果，并不需 要做全面试验。尤其对那些试验费用很高， 或具有破坏性的试验，更不要做全面试验


应当在不影响试验效果的前提下，尽可能减少
表1 因素水平表
反应时间（B） 加酸量（C） 酸的浓度（D）
水平
反应温度（A）
1 2
85 90
90 120
1:1 2:1
10 15
3
95
150
3:1
20
用正交表安排试验的步骤：

首先选择适合试验的正交表，这里是四因素三水平试 验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次试验，每一行 代表一次试验的条件。 把A、B、C、D四个因素放到L9(34)的四列上，每一行 所代表的试验条件，即把A、B、C、D对应的 “1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所示，并 将试验结果填写入相应的试验序号中，然后进行计算 和分析。
1
2(90) 2 2
3(150)
1 2 3
3(3:1)
2 3 1
3(20)
3 1 2
7
8 9
3
3 3
1
2 3
3
1 2
2
3 1
7
8 9
3(95)
3 3
1
2 3
3
1 2
2
3 1
正交实验结果分析

对试验结果的分析：直观分析 方差分析
表2
1 2 3 4 1 1 1 2 1 2 3 1
正交试验直观分析计算结果

从交互作用表上可以查出相应正交表中任何两列之间的 交互作用所占的列

比如对L8(27)，由相应的交互作用表可以查到L8(27)中第
1,2两列的交互作用应占第3列，而第1,4两列的交互作 用应占第5列，第2,4两列的交互作用应占第6列等等。 而三水平正交表中任意两列的交互作用都占有两列。
正交试验设计应用范围
正交性的优点

保证每个因素的各个水平参加试验的次数一样
多，每两个因素之间实现了完全水平组合试验

因素的各种水平的搭配是均衡的

正交表所需要试验的次数在多因素多水平的完 全组合试验中具有较好的代表性
正交试验中的最优水平组合在完全水平组合试 验中仍是名列前茅

混合水平正交表

水平数不等的正交表，称为混合水平正交表
表内的数字1、2、3——因素的水平

二水平的正交表还有L16(215)、L12(211)， 三水平的正交表还有L18(37)，L27(313)， 四水平的正交表还有L16(45)等等。
正交表L9(34)
试验号\ 列号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
试验次数
试验设计的意义

根据专业知识和统计学知识，制定出一个包含多因素 多水平有机组合的试验计划； 清楚地表达出每次试验涉及到各因素的哪个水平，各 种水平组合下是否需要做重复试验，全部试验共需进 行多少次； 是试验的行动指南； 使试验过程有据可查、有章可循，并能有效地、科学 地解决试验研究中的复杂问题。

常常用来解决二水平或三水平或二、三水混合
水平的多因素设计问题；

适用于需要考察的交互作用不多、也不太复杂
的多因素试验研究的场合；

通过方差分析鉴别各因素对试验指标的影响。
正交试验设计步骤

首先要根据试验目的，确定要观察的因素


确定每个因素的水平
然后选用适当的正交表安排试验。
例一

为提高某化工酸洗过程中产品的收率，选择了四个有 关因素：反应温度（A）、反应时间（B），用酸量 （C）和酸浓度(D)，由生产实践经验及专业知识选取 的水平如下：
1 2 r
+ε
r
y2 ＝μ +a2 +b2 +c2 + ε
…… …… …… y9 ＝μ +a9 +b9 +c9 +Βιβλιοθήκη Baiduε
ε
r
（1）
9
～N(0, σ
2
)
r=1,2,……,9
其中ε
r
(r=1,2,……,9)相互独立， μ 即各次试验结
r
果理论值μ
的总平均， ai ,bj ,ck (i,j,k=1,2,3)

如L8(41×24)是由一个4水平的列，4个2水平的 列组成，表示用该表设计试验时最多可安排一 个4水平的因素，4个2水平的因素，需要试验 的总次数为8次
其它如L18(21×37)，L32(81×46×26)等等，都 有类似的含义。

交互作用表

需要考虑因素的交互作用时，许多正交表都配有一张交
互作用表

把A、B、C三个因素放到L9(34)的任意三列上， 例如放在前三列，把A、B、C对应的 “1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所 示：
表2 试验方案与结果
列号 试验 号
1 A 2 B 3 C 4
列号 试验 号
1 A
2 B
3 C
指标
（转 化率）
1 2 3 4 5
1 1 1 2 2
1 2 3 1 2
3 1
2
2 3
6
7 8
2(85) 3(150) 1 (5)
3(90) 1(90) 3 (7) 3(90) 2(120) 1 (5)
42
57 62
9
3
3
2
1
9
3(90) 3(150) 2 (6)
64
对试验结果进行方差分析
设9次试验结果以y1,y2,……,y9表示，我们假定yr ＝μ (r=1,2,……,9)r的结构式为 y1 ＝μ +a1 +b1 +c1 + ε
1 2 3 2 3
1 2 3 3 1
1 2 3 4 5
1(80) 1(90) 1 (5) 31(%) 1(80) 2(120) 2 (6) 1(80) 3(150) 3 (7) 2(85) 1(90) 2 (6) 2(85) 2(120) 3 (7) 54 38 53 49
6
7 8
2
3 3
3
1 2
1


试验设计的基本步骤

提出拟考察的试验因素及水平

考虑现有的人力、物力和试验条件，有能力承 担多大规模的试验研究 说明需要观测哪些指标，是定量的还是定性的 或两种兼而有之
选择合适的设计类型并给出全部因素水平组合 的方案


正交试验设计

是解决这类问题的有效方法之一；

正交试验设计的主要工具是正交表，用正交表 安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到 广泛的应用

是数理统计学的应用方法之一。

实际问题很复杂，对试验有影响的因素往往 是多方面的。
在多因素、多水平试验中，若对每个因素的 每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做 的试验就会很多。

例如

两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭 配进行全面试验，要做 72＝49次试验，

3个7水平的因素进行全面试验，就要做 73＝343次试验
分别表示因素A,B,C对指标的效应，即
ai =（水平Ai下各次试验结果值μ r的平均）－ μ i=1,2,3 bj =（水平Bj下各次试验结果值μ r的平均）－ μ j=1,2,3 ck =（水平Ck下各次试验结果值μ r的平均）－ μ k=1,2,3
且满足
a b c
i 1 i j 1 j k 1