算术基本定理优秀教学设计

算数基本定理

【教学目标】

1．熟练运用素因数分解解决实际问题。

2．亲历的素因数分解式惟一性的探索过程，体验分析归纳得出算数基本定理，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：掌握算数基本定理和素因数分解式概念。

难点：掌握素因数分解的惟一性。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习算数基本定理，这节课的主要的内容有素因数分解的概念和惟一性，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解算数基本定理的内容，形成初步感知。

（2）首先，我们来学习素因数分解式的概念，它的具体内容是：

任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，这就是算数基本定理，定理中的分解式叫做素因数分解式。

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：分别将720,152进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出()720,152以及[]720,152吗？

解析：容易知道，720的素因数只有2,3,5，且42720=235⨯⨯

152的素因数只有2，19且3152=219⨯

由此我们不难得到

()3720,152=2=8

[]42720,152=23519=13680⨯⨯⨯

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：分别将26和132进行素因数分解.由素因数分解式，你能求出()26,132以及[]

26,132

吗？

解：容易知道，26的素因数只有2,13.且26=213⨯

132的素因数只有2,3,11.且2132=2311⨯⨯

由此我们不难得到()26,132=2，[]226,132=231113=1716⨯⨯⨯

（3）接着，我们再来看下素因数分解式的惟一性内容，它的具体内容是：

任何大于1的整数总可以分解成素因数乘积的形式，并且，如果不计分解式中素因数的次序，这种分解式是惟一的．

证明：对大于1的整数n ，其素因数分解式的存在性 已经指出，余下只需要素因数分解式的惟一性.假定n 有如下两个素因数分解式：1212r r n p p p q q q ==……

其中12,r p p p ，…，与12r q q q ，，…，都是n 的素因数.

由于1p 为素数，且112s p q q q |…，故1p 整除12s q q q ，，…，中的某个i q .当不计素因数次序时

在，总可假定11p q |，而1p ，1q 均为素数，故11p q =.于是22r s p p q q =，…，，…，，再由2p 为素数，且22s p q q |…知，故2p 整除2s q q ，…，中的某个j q ，若不计素因数的次序，可假定22p q |，而22p q ，均为素数，同样有22=p q .如此进行下去，最后得r s =，并且,1,2,,r i j p q i ==…

所以n 的素因数分解式是惟一的.

三、课堂总结

（1）这节课我们主要讲了算数基本定理以及素因数分解式.

（2）它们在解题中具体怎么应用？

四、习题检测

1．用素因数分解式计算：()152,216

2．用素因数分解式计算：[]152,216