五年高考真题分类汇编(三角函数、三角恒等变形、解三角形)
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题15三角函数与解三角形综合含解析理
专题15 三角函数与解三角形综合【2024年】1.（2024·新课标Ⅱ）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2.（2024·北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 27a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin 816a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解实力，属中档题.3.（2024·山东卷）在①ac sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 冲突.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围． 4.（2024·天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c===13； （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算实力，是一道简单题.5.（2024·浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【解析】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【2024年】1．【2024年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2．【2024年高考全国Ⅲ卷】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c Aa CC︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭． 3．【2024年高考北京卷】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 4．【2024年高考天津卷】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 5．【2024年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭6．【2024年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型马路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在马路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的全部点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满意规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满意规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 7．【2024年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对随意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【2024年】1. （2024年浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满意sin （α+β）=，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.2. （2024年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，3. （2024年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=(2) AC边上的高为【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．4. （2024年江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5. （2024年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】 （1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.【2024年】1.【2024课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）23.（2）333【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=故△ABC 的周长为333+.2.【2024课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
新高考数学(理)(北师大版)复习配套-五年高考真题分类汇编：第3章三角函数、解三角形(含答案解析)
第 3 章 三角函数、解三角形一、选择题1. (哈尔滨第六中学高三月考)已知函数 f ( x) Asin( x ) ， x R （此中A0,0,），其部分图象如下图，则（）A.,B.34,4443C., D.32,42 42.（普陀调研） 将函数 yf ( x) 的图像向右平移个单位， 再向上平移 1个单位后获得的函4数对应的表达式为y 2 sin 2 x ，则函数 f (x) 的表达式能够是（ ）( A) 2sin x ( B) 2cos x(C ) sin 2x( D ) cos 2x3. （淄博期末）已知函数①y sin x cos x ，② y 2 2 sin x cosx ，则以下结论正确的是（）A ．两个函数的图象均对于点(π，0)成中心对称4B ．两个函数的图象均对于直线x对称4C．两个函数在区间(，)上都是单一递加函数44D ．能够将函数②的图像向左平移个单位获得函数①的图像42)＋ sin(wx －2）4. （赣州联考）设函数 f(x) ＝ sin(wx ＋)(w ＞ 0)的最小正周期为π，则（33A ． f(x) 在 (0,)上单一递加B ． f(x) 在 (0,)上单一递减44C． f(x) 在 (0,)上单一递加 D ． f(x) 在 (0,)上单一递减22【分析】5． (白山一模 )由 y=f(x) 的图象向左平移个单位，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到3本来的 2 倍，获得 y=2sin (3x1 f(x) 为（）) 的图象，则63 1 )B.2sin (6 x1 )3 1 )1 A. 2sin ( x66C.2sin ( xD.2sin (6 x)2233【答案】 B【分析】把函数y=2sin (3x1 ) 的图象全部点的横坐标缩短为本来的 1 ，62获得函数 y2sin(6 x) ，6再把图像向右平移个单位获得函数y 2sin(6x3) 2sin 6x，366所以选 B 。
五年高考真题分类汇编：三角函数、解三角形
五年高考真题分类汇编：三角函数、解三角形一.选择题1.【2015福建高考，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．【答案】D2.【2015重庆高考，文6】若11tan,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A. 【答案】A3.【2015高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【解析】因为sin(4)sin 4()312y x x ππ=-=-，所以，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位，故选B .【答案】B4.【2015陕西高考，文6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【解析】22cos 20cossin 0(cos sin )(cos sin )0ααααααα=⇒-=⇒-+=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，故答案选A . 【答案】A5.【2015上海高考，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =，因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【答案】D6.【2015广东高考，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ） AB ．2 C． D ．3【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 【答案】B7.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【答案】D8.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【答案】B9.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D10.【2015四川高考，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【答案】A11.【2015重庆高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【解析】 由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tancossin555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【答案】C12.【2015陕西高考，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【答案】C13.【2015安徽高考，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A14.【2015湖南高考，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【答案】D.15.（2014· 湖南高考理科·Ｔ9）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 ( )A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解。
三角函数、解三角形——2024届高考数学试题分类汇编(解析版)
2024高考复习·真题分类系列2024高考试题分类集萃·三角函数、解三角形
微专题总述：三角函数的图像与性质
【扎马步】2023高考三角函数的图像与性质方面主要考察“卡根法”的运用，是最为基础的表现
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，加强图像考察与其他知识点如几何、函数的结合，对称思想的隐含
微专题总述：正弦定理与余弦定理的应用
【扎马步】2023高考解三角形小题部分紧抓“教考衔接”基础不放，充分考察正余弦定理的运用
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，在考察正余弦定理时与角平分线定理结合（初中未涉及此定理）
微专题总述：解三角形综合问题
【扎马步】2023高考解三角形大题部分仍然与前几年保持一直模式，结构不良题型日益增多，但方向不变，均是化为“一角一函数”模式是达到的最终目的，考察考生基本计算与化简能力
【雕龙头】在稳中求新的过程中，2023高考试题也透露出了新的风向，如新高考卷中出现的数形结合可加快解题速度，利用初中平面几何方法快速求出对应参量在近几年高考题中频繁出现，可见初高中结合的紧密 2023年新课标全国Ⅰ卷数学
16．已知在ABC 中，
()3,2sin sin A B C A C B +=−=． (1)求sin A ；
(2)设5AB =，求AB 边上的高．
2023高考试题分类集萃·三角函数、解三角形参考答案
2。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
五年(2018-22)高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题16 三角函数单选题(解析版)
【答案】C解析:法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 ．
取 ， ， ，则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选C．
【题目栏目】三角函数\三角恒等变换\三角恒等变换的综合应用
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ．故选：A
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的图象
【题目来源】2022新高考全国I卷·第6题
6．(2022年高考全国乙卷数学(文)·第11题)函数 在区间 的最小值、最大值分别为( )
A． B． C． D．
【答案】D
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题16三角函数单选题
一、选择题
1．(2022高考北京卷·第5题)已知函数 ，则( )
A． 在 上单调递减B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减D． 在 上单调递增
【答案】C
解析:因为 ．
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错．
故选,C．
【题目栏目】三角函数\三角函数的图像与性质\三角函数的单调性与周期性
【题目来源】2022高考北京卷·第5题
2．(2022年浙江省高考数学试题·第6题)为了得到函数 1年新高考Ⅰ卷·第4题
三角函数、三角恒等变换、解三角形(含答案)
三角函数、三角恒等变换、解三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知1sin 2α=，则cos()2πα-=（ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2 2．200︒是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．已知()1cos 03ϕϕπ=-<<，则sin 2ϕ=（ ）A.9B.9-C.9D.9-4．函数 )321sin(π+=x y 的图像可由函数x y 21sin =的图像（ ） A ．向左平移32π个单位得到 B ．向右平移3π个单位得到C ．向左平移6π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到5．函数5sin(2)2y x π=+图像的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．45π=x6．函数())24x f x π=-,x R ∈的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π7．给出以下命题：①若α、β均为第一象限角，且βα>，且βαsin sin >；②若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3cos 2πax y 的最小正周期是π4，则21=a ； ③函数1sin sin sin 2--=x xx y 是奇函数；④函数1|sin |2y x =-的周期是π； ⑤函数||sin sin x x y +=的值域是]2,0[. 其中正确命题的个数为（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ． 0 8．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图示，则将()y f x =的图像向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为（ ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos = C.)322sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 9．函数()sin 2f x x =的最小正周期是 ．10．300tan 480sin +的值为________.11．在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =，则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．12．比较大小：sin1 cos1(用“>”,“<”或“=”连接).13．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点(1,,则cos ____.α=14．已知3cos()(,)41024x x πππ-=∈. （Ⅰ）求sin x 的值； （Ⅱ）求sin(2)3x π+的值.15．已知x x x x x f 424cos 3)cos (sin sin 3)(-++=.（1）求()f x 的最小值及取最小值时x 的集合； （2）求()f x 在[0,]2x π∈时的值域；（3）在给出的直角坐标系中，请画出()f x 在区间[,]22ππ-上的图像（要求列表，描点）．16．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.17．（1）化简：︒--︒︒︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；（2）已知α为第二象限角，化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-.18．函数（其中）的图象如图所示，把函数)(x f 的图像向右平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.（1）若直线m y =与函数)(x g 图像在]2,0[π∈x 时有两个公共点，其横坐标分别为21,x x ，求)(21x x g +的值；（2）已知ABC ∆内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且0)(,3==C g c .若向量(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．19．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值与最小值.参考答案1．C 【解析】 试题分析：由1cos()sin 22παα-==，故选C. 考点：诱导公式. 2．C 【解析】试题分析：因为第一象限角α的范围为36036090,k k k z α⋅<<⋅+∈ ; 第二象限角α的范围为36090360180,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第三象限角α的范围为360180360270,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ; 第四象限角α的范围为360270360360,k k k z α⋅+<<⋅+∈ ；200∴︒是第三象限角，故选C.考点：象限角的概念. 3．D 【解析】试题分析：0ϕπ<< ，sin 0ϕ∴>，故sin ϕ===，因此sin 2ϕ=12sin cos 2339ϕϕ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.二倍角公式4．A 【解析】试题分析：因为1sin()23y x π=+可化为12sin ()23y x π=+.所以将x y 21sin =向左平移32π.可得到12sin ()23y x π=+.故选 A.本小题关键是考查1ω≠的三角函数的平移，将0x ωϕ+=时的x 的值，与0x =是对比.即可知道是向左还是向右，同时也可以知道移了多少单位.考点：1.三角函数的平移.2.类比的思想. 5．A 【解析】试题分析：5sin(2)sin(22)sin(2)cos 2222y x x x x ππππ=+=++=+= ，由c o s y x =的对称轴()x k k Z π=∈可知，所求函数图像的对称轴满足2()x k k Z π=∈即()2k x k Z π=∈，当1k =-时，2x π=-，故选A. 考点：1.三角函数图像与性质中的余弦函数的对称性；2.诱导公式. 6．C 【解析】 试题分析：这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如sin(),cos()y A x k y A x k ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2||T πω=，而t a n ()y A x k ωϕ=++的最小正周期为||T πω=，故函数()tan()24x f x π=-的最小正周期为212T ππ==，故选C.考点：三角函数的图像与性质. 7．D 【解析】试题分析：对于①来说，取390,60αβ=︒=︒，均为第一象限，而1sin 60390sin 3022=︒=︒=，故s i n s i n αβ<；对于②，由三角函数的最小正周期公式214||2T a a ππ==⇒=±；对于③，该函数的定义域为{}|s i n 10|2,2x x x x k k Zππ⎧⎫-≠=≠+∈⎨⎬⎩⎭，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；对于④，记1()|sin |2f x x =-，若T π=，则有()()22f f ππ-=，而1()|1| 1.522f π-=--=，1()|1|0.522f π=-=，显然不相等；对于⑤，0sin sin ||2sin y x x x ⎧=+=⎨⎩(0)(0)x x <≥，而当()2sin (0)f x x x =≥时，22sin 2x -≤≤，故函数sin sin ||y x x =+的值域为[2,2]-；综上可知①②③④⑤均错误，故选D.考点：1.命题真假的判断；2.三角函数的单调性与最小正周期；3.函数的奇偶性；4.函数的值域. 8．D 【解析】试题分析：通过观察图像可得1A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以222T ππωπ===，又因为函数()f x 过点(,1)6π，所以s i n ()12()332k k Z πππϕϕπ+=⇒+=+∈，而||2πϕ<，所以当0k =时，6πϕ=满足要求，所以函数()sin(2)6f x x π=+，将函数向右平移6π个单位，可得()s i n [2()]s i n (2)666f x x x πππ=-+=-，故选D.考点：1.正弦函数图像的性质.2.正弦函数图像的平移.3.待定系数确定函数的解析式. 9．π 【解析】试题分析：直接利用求周期公式2T πω=求得.考点：周期公式.10． 【解析】 试题分析：sin 480tan 300sin(120360)tan(36060)sin120tan 60sin 60tan 60+=︒+︒+︒-︒=︒-︒=︒-︒，故sin 480tan 300+==考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.11．【解析】试题分析：∵2222cos a b c bc A =+-，∴2212b c bc =+-，∵222b c bc +≥，∴122b c b c +≥，∴12bc ≤，∴1sin 2S bc A ∆==≤ 考点：1.余弦定理；2.基本不等式；3.三角形面积.12．＞. 【解析】试题分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0. 考点：三角函数线．13．-12. 【解析】试题分析：由题意可得 x=-1，r 2=x 2+y 2=4,r=2,故cos =x r =-12. 考点：任意角的三角函数的定义．14．（1）45；（2）2450+-.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.15．（1）当1-，},12|{Z k k x x ∈-=ππ；（2）[1,3]；（3）详见解析. 【解析】试题分析：先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数()2sin(2)13f x x π=-+.（1）将23x π-看成整体，然后由正弦函数sin y x =的最值可确定函数()f x 的最小值，并明确此时x 的值的集合；（2）先求出23x π-的范围为2[,]33ππ-，从而sin(2)13x π≤-≤，然后可求出]2,0[π∈x 时，函数()f x 的值域；（3）根据正弦函数的五点作图法进行列表、描点、连线完成作图.试题解析：化简424()(sin cos )f x x x x x =++222222cos )(sin cos )sin 2sin cos cos x x x x x x x =-++++22cos )2sin cos 1x x x x =-++sin 221x x =+2sin(2)13x π=-+ 4分（1）当sin(2)13x π-=-时，()f x 取得最小值211-+=-，此时22,32x k k Z πππ-=-+∈即,12x k k Zππ=-∈，故此时x 的集合为},12|{Z k k x x ∈-=ππ 6分（2）当]2,0[π∈x 时，所以]32,3[32πππ-∈-x ，所以sin(2)13x π≤-≤，从而12sin(2)133x π+≤-+≤即]3,13[)(+-∈x f 9分（3）由()2sin(2)1f x x π=-+知故()f x 在区间[,]22ππ-上的图象如图所示：13分.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.16．（1）45；（2）.【解析】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=⨯+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x ==-=⨯-=-所以中24sin(2)sin 2coscos 2sin33350x x x πππ++=+=-. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换. 17．（1）1-；（2）0. 【解析】试题分析：本题主要考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.（1）将分子中的1变形为22sin 20cos 20︒+︒，从而分子进一步化简为cos20sin 20︒-︒，分母s i n 16n 20︒︒利用诱导公式与同角三角函数的基本关系式转化为s i n 20c o s 2︒-︒，最后不难得到答案；（2）1sin |cos |αα-=，1cos |sin |αα-=，然后根据三角函数在第二象限的符号去绝对值进行运算即可.试题解析：（1）原式=cos 20sin 201sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒==-︒-︒︒-︒6分（2）解：原式cos sin 1sin 1cos cos |sin |cos |sin |αααααα--=⨯+⨯ 1cos 1cos cos sin 0cos sin αααααα--=⨯+⨯=- 6分. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.三角恒等变换；3.诱导公式.18．（1）123()2g x x +=-；（2）a b ⎧=⎨=⎩【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的图像和性质，向量共线的充要条件以及解三角形中正弦定理余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力和计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想.第一问，先由函数图像确定函数解析式，再通过函数图像的平移变换得到()g x 的解析式，由于y m =与()g x 在[0,]2π上有2个公共点，根据函数图像的对称性得到2个交点的横坐标的中点为3π，所以122()()3g x x g π+=得出函数值；第二问，先用()0g c =在ABC ∆中解出角C 的值，再利用两向量共线的充要条件得到sin 2sin B A =，从而利用正弦定理得出2b a =，最后利用余弦定理列出方程解出边,a b 的长.试题解析：（1）由函数)(x f 的图象，ωπππ2)3127(4=-=T ，得2=ω， 又3,32πϕπϕπ=∴=+⨯，所以)32sin()(π+=x x f 2分 由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=ππx x f x g 4分由函数图像的对称性，有23)32()(21-==+πg x x g 6分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-= ∵ 0C π<<，112666C πππ-<-<， ∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=． 7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．由正弦定理 sin sin a b A B=， 得2,b a = ① 9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-， ② 11分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩ 12分 考点：1.函数图像的平移变换；2.函数图像的对称性；3.正弦定理和余弦定理；4.函数的周期性；5.两向量共线的充要条件.19．（1）T =π；（2）最大值2；最小值-1.【解析】试题分析：（1）本小题首先需要对函数的解析式进行化简()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f ，然后根据周期公式可求得函数的周期T =π；（2）本小题首先根据.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以，然后结合正弦曲线的图像分别求得函数的最大值和最小值.试题解析：（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2； 当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1． 考点：三角函数的图像与性质.。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数 三角恒等变换)
2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1、(2005春招北京文、理)如果函数)20)(sin()(πθθπ<<+=x x f 的最小正周期是T ，且当2=x 时取得最大值，那么（ A ）A ．2,2πθ==T B ．πθ==,1T C ．πθ==,2T D ．2,1πθ==T2．(2005北京文、理)对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是 （ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+【答案】D 【详解】当30oαβ==时可排除A 、B 选项,当15oαβ==时代入C 选项中,即：0cos302sin15oo<< 两边平方234sin 154o<1cos30420.2682o -=⨯=≈矛盾故选D 【名师指津】 特殊值反代入的解题思想在高考选择题的解决过程中经常用到.本题只是简单的两组特殊角代入即可解决问题.特殊值解选择题关键是恰到好处地选取特殊值如：数值类经常考虑110,1,,23±。
角类的0,30,60,45,90o o o o o 真数类1,底的n 次幂或是n 次幂的倒数等等3．(2005北京理)函数xxx f cos 2cos 1)(-=（ ）A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减【答案】A【详解】sin |()cos cos x f x x x ===当[0,)2x π∈或(,]2x ππ∈时sin 0x ≥ ()f x x = 在[0,),(,]22πππ上为增函数当3[,)2x ππ∈或3(,2]2x ππ∈时sin 0x ≤ ()f x x = 在33[,),(,2]22ππππ上为减函数. 【名师指津】对二倍角余弦公式及两个变式的的正用逆用应熟练,对处理绝对值问题的基本思路是用分类讨论的思想去掉绝对值然后再研究问题,正切函数的单调区间.4．(2005福建文)函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ解：∵当0≤2x ≤π,即0≤x ≤2π时函数x y 2cos =是减函数,选(C)5．(2005福建理)函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==解：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y=sin(4x πϕ+)中令x=1,y=1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)6．(2005湖北文、理)若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 解：∵sin α+cos α=2sin()4πα+∈(1,2),∴排除(A),(B),当α=4π时,tan α=1,sin α+cos α=2,这时sin α+cos α≠tan α,∴选(C)7．(2005湖北理)若x x x sin 32,20与则π<<的大小关系 （ ）A ．x x sin 32>B ．x x sin 32<C ．x x sin 32=D ．与x 的取值有关解：当6x π=时,3sinx=1.5,2x=3π,此时x x sin 32<,当x=2π时,3sinx=3,2x=π, x x sin 32>,显然对于非常接近2π而小于2π的x,,也有x x sin 32>成立,选(D)8．(2005湖南文)tan600°的值是 （ ） A ．33-B ．33C ．3-D ．3[评述]:本题考查三角函数化简，求值等知识. 【思路点拨】本题涉及任意角的三角的函数值. 【正确解答】360tan 240tan 600tan 0===,故选D.tan 600tan(3602120)tan(120)tan 603︒=︒⨯-︒=-︒=︒=.选D.【解后反思】这是一道求值题,运用数学思想中的化归方法,将一个未知的角转化成一个特殊角,达到解决的目的,即将一个未知的知识转化成已知的知识的过程,这种方法在许多题目中都有所涉及.9. (2005江苏)若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=（A ）79-（B ）13- （C ）13 （D ）79答案：A[评述]：本题考查三角函数两角和公式，倍角公式及三角恒等变形和相关计算能力。
近5年全国高考数学真题分类汇编：三角函数与解三角形（文理合卷）（..
近5年全国高考数学真题分类汇编：三角函数与解三角形(文理合卷)理科试题1.［2019年天津理科07】己知函数f(x)=ASin(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(X)的最小正周期为2ττ,且g(―)=V z2,则/"(—)=()48A.-2B.-√2C.√2D.22.［2019年新课标3理科12】设函数f(x)=Sin(sx+壹)(ω>0),已知f(x)在［0,2用有且仅有5个零点.下述四个结论：①/(x)在(O,2π)有且仅有3个极大值点@f(x)在(O,2π)有且仅有2个极小值点③/(X)在(O,ɪ)单调递增1229(4)ω的取值范围是［=,—)其中所有正确结论的编号是()A-①④ B.②③ C.①②③D.①③④3.［2019年新课标］理科Ill关于函数/(x)=SinlΛ-∣+∣sinx∣有下述四个结论：®f(x)是偶函数②T(X)在区间(?，π)单调递增®f(x)在［-n,ττ］有4个零点@f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A-①②④B.②④ C.①④ D.①③4.［2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记［为点P(cosθ,sin。
)到直线χ-my~2=。
的距离.当。
、MJ变化时，H的最大值为()A.1B.2C.3D.45.［2017年天津理科07】设函数f(x)=2SirI(ω^+φ),XW R,其中ω>0,∣φ∣<π.若/(—)=2,f(---)88=0,且f Cr)的最小正周期大于2n,则()2L 12=(p 2-3A.W=Φ 2-3- ω B.C. ω= ɪ, (P=—4^-D. ω= ɪ, (P=云6. [2016 年新课标 1 理科 12】已知函数∕*(∙x) =Sin (ωx+φ) (ω>0, ∣φ∣≤p, X= Jf(X)的零点，X=为y=f (x)图象的对称轴，且f (x)在(三，—)上单调，则3的最大值为()18 36A. 11B. 9C. 7D. 57. [2013 年新课标 2 理科 12】已知点 A ( - 1, O), B (1, O), C (0, 1),直线 y=ax+b (tz>O)将ZkABC分割为面积相等的两部分，则8的取值范围是()A. (0, 1) B . (1 — ʌɪ z 5) C . (1 — ʒL ZD. [ɪ f §)8. [2011年新课标1理科11】设函数f (λ) =Sin (ωx+φ) +cos (ωx+φ) (ω>0, I(PI <y)的最小正周期为π,且/ ( - x) =f (x),贝!]()A. /(x)在(0,与)单调递减B. 了(X)在(二—)单调递减44C. f (x)在(0,：)单调递增D. f (%)在(：，?)单调递增9. [2010年浙江理科09】设函数/(x)=4sin(2x+l ) -扃则在下列区间中函数Hx)不存在零点的是()A. [-4, - 2]B. [-2, 0]C. [0, 2]D. [2, 4]10. [2010年上海理科18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为上，~f则此人将13115( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形tana 2 Tr11. [2019年江苏13】已知------- =一一，则Sin (2α+≡)的值是____.tαn(α+-) 3 冬12.[2018年新课标1理科16】己知函数f(x)=2sin%+sin2jr,则f(x)的最小值是・13.[2017年浙江14】已知∕V1BC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2,连结C D,则DC的面积是,CoSZBDC=.14.[2016年江苏14】在锐角三角形ABC中，若SinA=2sinBsinC,贝IJ IanAtanBtanC的最小值是.15.[2016年上海理科13】设S⅛∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数工都有2sin(3尤一§)=asin(⅛x+c),则满足条件的有序实数组(S b,C)的组数为.16.[2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75o.BC=2,则Ag的取值范围是.17.[2015年上海理科13】已知函数f(x)=Sin若存在由，尤2，…，λ⅛满足0WXlVx2<∙∙∙Vλ⅛W6h,且l/(ɪi)-f(、2)1+[/(互)-f危3)l+∙∙∙+l∕(∙x⅛τ)-f(切)I=12SN2,m∈N),则m的最小值为.18.[2014年江苏14】若ZkABC的内角满足SinA+√ΣsinB=2sinC,则COSC的最小值是・19.[2014年新课标1理科16】己知b,C分别为'λBC的三个内角A,B f C的对边，a=2且(2+人) (SinA-SinB)=(C-⅛)sinC,则Z∖A8C面积的最大值为.20.[2014年上海理科12】设常数。
专题四 三角函数与解三角形-2024五年高考题分类训练(数文)
专题四 三角函数与解三角形考点10 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等变换题组一、选择题1. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知sin (α−β)=13 ，cos αsin β=16 ，则cos (2α+2β)= ( B ) A. 79B. 19 C. −19D. −79[解析]依题意，得{sin αcos β−cos αsin β=13,cos αsin β=16, 所以sin αcos β=12，所以sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=12+16=23 ，所以cos (2α+2β)=1−2sin 2(α+β)=1−2×(23)2=19 ，故选B . 2. [2023新高考卷Ⅱ，5分]已知α 为锐角，cos α=1+√54，则sin α2= ( D )A.3−√58B.−1+√58C.3−√54D.−1+√54[解析]cos α=1+√54=1−2sin 2α2 ，得sin 2α2=3−√58=6−2√516=(√5−14)2，又α 为锐角，所以sin α2>0 ，所以sin α2=−1+√54，故选D .3. [2022新高考卷Ⅱ，5分]若sin (α+β)+cos (α+β)=2√2cos (α+π4)sin β ，则( C )A. tan (α−β)=1B. tan (α+β)=1C. tan (α−β)=−1D. tan (α+β)=−1[解析]sin (α+β)+cos (α+β)=√2sin (α+β+π4)=2√2sin β⋅cos(α+π4) ，所以sin (α+π4)cos β+sin βcos (α+π4)=2sin βcos (α+π4) ，整理得sin (α+π4)cos β−sin βcos (α+π4)=0 ，即sin (α+π4−β)=0 ，所以α−β+π4=kπ ，k ∈Z ,所以tan (α−β)=tan (kπ−π4)=−1 . 4. [2021全国卷乙，5分]cos 2π12−cos 25π12= ( D )A. 12B. √33C. √22D. √32[解析]解法一（公式法） 因为cos 5π12=sin (π2−5π12)=sin π12 ，所以cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12=cos (2×π12)=cos π6=√32.故选D . 解法二 因为cos π12=√6+√24 ，cos 5π12=√6−√24 ，所以cos 2π12−cos 25π12=(√6+√24)2−(√6−√24)2=(√6+√24+√6−√24)⋅(√6+√24−√6−√24)=√32.故选D . 【方法技巧】 本题的出题意图是让同学们灵活运用三角恒等变换知识进行求值，考查同学们的运算求解能力. 一般地，应熟记以下特殊角的三角函数值：sin 15∘=cos 75∘=√6−√24，sin 75∘=cos 15∘=√6+√24,tan 15∘=2−√3 ,tan75∘=2+√3 .5. [2021新高考卷Ⅰ，5分]若tan θ=−2 ,则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ= ( C )A. −65B. −25C. 25D. 65[解析]解法一（求值代入法） 因为tan θ=−2 ，所以角θ 的终边在第二、四象限，所以{sin θ=√5cos θ=√5或{sin θ=√5cos θ=√5所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θ=45−25=25 .故选C . 解法二（弦化切法） 因为tan θ=−2 ，所以sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ1+tan 2θ=4−21+4=25 .故选C .解法三（正弦化余弦法） 因为tan θ=−2 ，所以sin θ=−2cos θ .则sin θ(1+sin 2θ)sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)2sin θ+cos θ=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=4cos 2θ−2cos 2θ4cos 2θ+cos 2θ=4−21+4=25 .故选C .6. [2021全国卷甲，5分]若α∈(0,π2) ,tan 2α=cos α2−sin α ,则tan α= ( A ) A. √1515B. √55C. √53D.√153[解析]因为α∈(0,π2) ，所以tan 2α=sin 2αcos 2α=2sin αcos α1−2sin 2α，且tan 2α=cos α2−sin α ，所以2sin αcos α1−2sin 2α=cos α2−sin α ，解得sin α=14 ，所以cos α=√154，tan α=sin αcos α=√1515.故选A ．7. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知sin θ+sin (θ+π3)=1 ,则sin (θ+π6)= ( B )A. 12B. √33C. 23D. √22[解析]∵sin θ+sin (θ+π3)=32sin θ+√32cos θ=√3sin (θ+π6)=1 ，∴sin (θ+π6)=√33，故选B . 8. [2019全国卷Ⅱ，5分]已知α∈(0,π2) ,2sin 2α=cos 2α+1 ,则sin α= ( B ) A. 15B. √55C. √33D.2√55[解析]解法一 依题意得4sin αcos α=2cos 2α ，由α∈(0,π2) ，知cos α>0 ，所以2sin α=cos α .又sin 2α+cos 2α=1 ，所以sin 2α+4sin 2α=1 ，即sin 2α=15.又α∈(0,π2) ，所以sin α=√55，选B . 解法二 依题意得sin 2α1+cos 2α=12 ，即tan α=12 ，所以sin α=√sin 2αsin 2α+cos 2α=√tan 2αtan 2α+1=√55，选B . 【方法技巧】 sin 2α=2tan α1+tan 2α ，cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α ，tan α=sin 2α1+cos 2α=1−cos 2αsin 2α.二、填空题9. [2023全国卷乙，5分]若θ∈(0,π2) ,tan θ=12 ,则sin θ−cos θ= −√55. [解析]由{tan θ=sin θcos θ=12,sin 2θ+cos 2θ=1, 且θ∈(0,π2) ，解得 {sin θ=√55,cos θ=2√55, 故sin θ−cos θ=−√55. 10. [2022浙江，6分]若3sin α−sin β=√10 ,α+β=π2 ，则sin α=3√1010,cos 2β= 45.[解析]因为α+β=π2 ，所以β=π2−α ，所以3sin α−sin β=3sin α−sin (π2−α)=3sin α−cos α=√10sin (α−φ)=√10 ，其中sin φ=√1010,cos φ=3√1010，所以α−φ=π2+2kπ ，k ∈Z ，所以α=π2+φ+2kπ ，k ∈Z ，所以sin α=sin (π2+φ+2kπ)=cos φ=3√1010，k ∈Z .因为sin β=3sin α−√10=−√1010，所以cos 2β=1−2sin 2β=1−15=45 .11. [2021北京，5分]若P (cos θ,sin θ) 与Q (cos (θ+π6),sin (θ+π6)) 关于y 轴对称，写出一个θ 的值5π12 （答案不唯一）．[解析]由题意可得cos θ=−cos (θ+π6) ，sin θ=sin (θ+π6) ，则θ=2kπ+π−(θ+π6) ,k ∈Z ,即θ=5π12+kπ ，k ∈Z ，可令k =0 ，则θ=5π12，故θ 的一个值为5π12 .12. [2020全国卷Ⅱ，5分]若sin x =−23 ，则cos 2x = 19 .[解析]因为sin x =−23 ，所以由二倍角公式，得cos 2x =1−2sin 2x =1−2×(−23)2=19 .13. [2020江苏，5分]已知sin 2(π4+α)=23 ,则sin 2α 的值是13 .[解析]因为sin 2(π4+α)=23 ，所以1−cos(π2+2α)2=23 ，1+sin 2α2=23 ,得sin 2α=13 .【方法技巧】 降幂公式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2是二倍角余弦公式的变形式.14. [2020北京，5分]若函数f (x )=sin (x +φ)+cos x 的最大值为2，则常数φ 的一个取值为π2 （答案不唯一）.[解析]易知当y =sin (x +φ) ，y =cos x 同时取得最大值1时，函数f (x )=sin (x +φ)+cos x 取得最大值2，故sin (x +φ)=cos x ，则φ=π2+2kπ ,k ∈Z ,故常数φ 的一个取值为π2 .15. [2019全国卷Ⅰ，5分]函数f (x )=sin (2x +3π2)−3cos x 的最小值为−4 .[解析]解法一 f (x )=sin (2x +3π2)−3cos x =−cos 2x −3cos x =−2cos 2x −3cos x +1=−2(cos x +34)2+178，因为−1≤cos x ≤1 ，所以当cos x =1 时，f (x ) 取得最小值，且f (x )min =−4 ，故函数f (x ) 的最小值为−4 ．解法二f(x)=sin(2x+3π2)−3cos x=−cos 2x−3cos x，所以f ′(x)=−(cos 2x)′−3(cos x)′=2sin 2x+3sin x，令f ′(x)=0，即2sin 2x+3sin x=0，即sin x(4cos x+3)=0，解得sin x=0或cos x=−34.故cos x=1或−1或−34时，函数f(x)取得极值.当cos x=1时，f(x)=−cos 2x−3cos x=−(2cos2x−1)−3cos x=−4；当cos x=−1时，f(x)=−cos 2x−3cos x=2；当cos x=−34时，f(x)=−cos 2x−3cos x=−(2cos2x−1)−3cos x=178.所以函数的最小值为−4.【方法技巧】对于函数y=asin2(ωx+φ)+bsin(ωx+φ)+c的最值或值域问题，可通过换元（令t=sin(ωx+φ))转化为y=at2+bt+c的最值或值域问题进行求解.用换元法求解此类问题时，要注意换元后“元”的取值范围的变化.16. [2019江苏，5分]已知tan αtan(α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是√210.[解析]解法一tan αtan α+11−tan α=tan α(1−tan α)tan α+1=−23，解得tan α=2或tan α=−13，当tan α=2时，sin 2α=2sin αcos αsin2α+cos2α=2tan αtan2α+1=45，cos 2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2αtan2α+1=−35，此时sin 2α+cos 2α=15，同理当tan α=−13时，sin 2α=−35,cos 2α=45，此时sin 2α+cos 2α=15，所以sin(2α+π4)=√22(sin 2α+cos 2α)=√210.解法二tan αtan(α+π4)=sin αcos(α+π4)cos αsin(α+π4)=−23，则sin αcos(α+π4)=−23cos αsin(α+π4)，又√22=sin[(α+π4)−α]=sin(α+π4)cos α−cos(α+π4)sin α=5 3sin(α+π4)cos α，则sin(α+π4)cos α=3√210，则sin(2α+π4)=sin[(α+π4)+α]=sin(α+π4)cos α+cos(α+π4)sin α=13sin(α+π4)cos α=1 3×3√210=√210.考点11 三角函数的图象与性质题组一一、选择题1. [2023天津，5分]已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2 ,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为( B )A. f(x)=sin(π2x) B. f(x)=cos(π2x) C. f(x)=sin(π4x) D. f(x)=cos(π4x)[解析]对于A,f(x)=sin(π2x)，最小正周期为2ππ2=4，因为f(2)=sin π=0，所以函数f(x)=sin(π2x)的图象不关于直线x=2对称，故排除A；对于B，f(x)=cos(π2x)，最小正周期为2ππ2=4，因为f(2)=cos π=−1，所以函数f(x)=cos(π2x)的图象关于直线x=2对称，故选项B符合题意；对于C，D,函数y=sin(π4x)和y=cos(π4x)的最小正周期均为2ππ4=8，均不符合题意,故排除C，D.综上，选B.2. [2023全国卷乙，5分]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6，2π3)单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f(−5π12)=( D )A. −√32B. −12C. 12D. √32[解析]由题意得12×2πω=2π3−π6，解得ω=2，易知x=π6是f(x)的最小值点，所以π6×2+φ=3π2+2kπ(k∈Z)，得φ=7π6+2kπ(k∈Z)，于是f(x)=sin(2x+7π6+2kπ)=sin(2x+7π6)，f(−5π12)=sin(−5π12×2+7π6)=sinπ3=√32，故选D.3. [2022浙江，4分]为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点( D )A. 向左平移π5个单位长度 B. 向右平移π5个单位长度C. 向左平移π15个单位长度 D. 向右平移π15个单位长度[解析]因为y=2sin(3x+π5)=2sin[3(x+π15)]，所以要得到函数y=sin 3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)的图象上所有的点向右平移π15个单位长度，故选D．4. [2022全国卷甲，5分]将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( C )A. 16B. 14C. 13D. 12[解析]记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)=sin[ω(x+π2)+π3]=sin[ωx+(π2ω+π3)].因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以π2ω+π3=kπ+π2(k∈Z)，得ω=2k+13(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin=13.故选C.5. [2022北京，4分]已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则( C )A. f(x)在(−π2,−π6)上单调递减 B. f(x)在(−π4,π12)上单调递增C. f(x)在(0,π3)上单调递减 D. f(x)在(π4,7π12)上单调递增[解析]依题意可知f(x)=cos2x−sin2x=cos 2x，对于A选项，因为x∈(−π2,−π6)，所以2x∈(−π,−π3)，函数f(x)=cos 2x在(−π2,−π6)上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈(−π4,π12)，所以2x∈(−π2,π6)，函数f(x)=cos 2x在(−π4,π12)上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈(0,π3)，所以2x∈(0,2π3)，函数f(x)=cos 2x在(0,π3)上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈(π4,7π12)，所以2x∈(π2,7π6)，函数f(x)=cos 2x在(π4,7π12)上不单调，所以D选项不正确.故选C.6. [2022天津，5分]已知f(x)=12sin 2x，关于该函数有下列四个说法:①f(x)的最小正周期为2π ;②f(x)在[−π4,π4]上单调递增;③当x∈[−π6,π3]时，f(x)的取值范围为,[−√34,√34]；④f(x)的图象可由g(x)=12sin(2x+π4)的图象向左平移π8个单位长度得到.其中，正确说法的个数为( A )A. 1B. 2C. 3D. 4[解析]因为f (x )=12sin 2x ，所以f (x ) 的最小正周期T =2π2=π ,所以①错误；当x ∈[−π4,π4] 时，2x ∈[−π2,π2] ，所以函数f (x )=12sin 2x 在[−π4,π4] 上单调递增，所以②正确；当x ∈[−π6,π3] 时，2x ∈[−π3,2π3] ，所以sin 2x ∈[−√32,1] ，所以函数f (x )=12sin 2x 的值域为[−√34,12] ，所以③错误； 将g (x )=12sin (2x +π4) 的图象向左平移π8 个单位长度后，其图象对应解析式为y =12sin[2(x +π8)+π4]=12sin (2x +π2)=12cos 2x ≠f (x ) ，所以④错误. 综上，正确说法的个数为1，故选A .7. [2021新高考卷Ⅰ，5分]下列区间中，函数f (x )=7sin (x −π6) 单调递增的区间是( A ) A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2) D. (3π2,2π)[解析]解法一（常规求法） 令−π2+2kπ≤x −π6≤π2+2kπ ,k ∈Z ，得−π3+2kπ≤x ≤2π3+2kπ ,k ∈Z .取k =0 ，则−π3≤x ≤2π3.因为(0,π2)⫋[−π3,2π3] ，所以区间(0,π2) 是函数f (x ) 的单调递增区间.故选A .解法二（判断单调性法） 当0<x <π2 时，−π6<x −π6<π3 ,所以f (x ) 在(0,π2) 上单调递增，故A 正确；当π2<x <π 时，π3<x −π6<5π6，所以f (x ) 在(π2 ，π) 上不单调，故B 不正确；当π<x <3π2时，5π6<x −π6<4π3，所以f (x ) 在(π ，3π2) 上单调递减，故C 不正确；当3π2<x <2π 时，4π3<x −π6<11π6，所以f (x )在(3π2,2π) 上不单调，故D 不正确.故选A .【速解】 f (x )=7sin (x −π6) 的图象是将y =7sin x 的图象向右平移π6个单位长度得到的.因为y =7sin x 的一个增区间为(−π2 ，π2) ，所以易得(0,π2) 是f (x )=7sin (x −π6) 的一个增区间.故选A.8. [2021全国卷乙，5分]函数f (x )=sin x3+cos x3 的最小正周期和最大值分别是( C ) A. 3π 和√2B. 3π 和2C. 6π 和√2D. 6π 和2[解析]因为函数f(x)=sin x3+cos x3=√2(√22sin x3+√22cos x3)=√2(sin x3cosπ4+cos x3sinπ4)=√2sin(x3+π4)，所以函数f(x)的最小正周期T=2π13=6π，最大值为√2.故选C.9. [2020全国卷Ⅰ，5分]设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( C )A. 10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2[解析]解法一由题图知，f(−4π9)=0，∴−4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z)，解得ω=−3+9k4(k∈Z).设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T,∴2π|ω|<2π<4π|ω|,∴1<|ω|<2，当且仅当k=−1时，符合题意，此时ω=32，∴T=2πω=4π3．故选C．解法二由题图知，f(−4π9)=0且f(−π)<0，f(0)>0，∴−4π9ω+π6=−π2(ω>0),解得ω=32，∴f(x)的最小正周期T=2πω=4π3．故选C．10. [2019天津，5分]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π ,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x) .若g(π4)=√2，则f(3π8)= ( C )A. −2B. −√2C. √2D. 2[解析]因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数，且其最小正周期为π，所以φ=0,ω=2，f(x)=Asin 2x，g(x)=Asin x.又g(π4)=Asin π4=√2，所以A=2，故f(x)=2sin 2x，f(3π8)=2sin 3π4=√2，故选C.11. [2019全国卷Ⅱ，5分]若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= ( A )A. 2B. 32C. 1 D. 12[解析]依题意得函数f(x)的最小正周期T=2πω=2×(3π4−π4)=π，解得ω=2，选A.二、填空题12. [2022北京，5分]若函数f(x)= Asin x−√3cos x的一个零点为π3,则A=1;f(π12)=−√2 .[解析]依题意得f(π3)=A×√32−√3×12=0，解得A=1，所以f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，所以f(π12)=2sin(π12−π3)=−√2.13. [2021全国卷甲，5分]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)=−√3 .[解析]由题图可知34T=13π12−π3=3π4(T为f(x)的最小正周期），即T=π，所以2πω=π(ω>0)，即ω=2，故f(x)=2cos(2x+φ).点(π3,0)可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3+φ=π2,得φ=−π6，即f(x)=2cos(2x−π6)，所以f(π2)=2cos(2×π2−π6)=−√3.14. [2020江苏，5分]将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=−5π24.[解析]将函数y=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=3sin[2(x−π6)+π4]=3sin(2x−π12)的图象，由2x−π12=π2+kπ ,k∈Z，得对称轴方程为x=7π24+12kπ ,k∈Z，其中与y轴最近的对称轴的方程为x=−5π24.15. [2019北京，5分]函数f(x)=sin22x的最小正周期是π2.[解析]∵f (x )=sin 22x =1−cos 4x2,∴f (x ) 的最小正周期T =2π4=π2.【方法技巧】 函数y =Asin (ωx +θ) 或y =Acos (ωx +θ) （其中A ≠0 ，ω≠0) 的最小正周期T =2π|ω| ；函数y =Atan (ωx +θ) （其中A ≠0 ，ω≠0) 的最小正周期T =π|ω| ；函数y =|Asin (ωx +θ)| 或y =|Acos (ωx +θ)| （其中A ≠0 ，ω≠0) 的最小正周期T =π|ω| .三、解答题16. [2019浙江，14分]设函数f (x )=sin x ,x ∈R .（Ⅰ）已知θ∈[0,2π) ，函数f (x +θ) 是偶函数，求θ 的值; [答案]因为f (x +θ)=sin (x +θ) 是偶函数， 所以θ=π2+kπ ,k ∈Z , 所以cos θ=0 .又θ∈[0,2π) ,因此θ=π2 或3π2 .（Ⅱ）求函数y =[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2 的值域.[答案]y =[f (x +π12)]2+[f (x +π4)]2=sin 2(x +π12)+sin 2(x +π4)=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2=1−12(√32cos 2x −32sin 2x)=1−√32cos (2x +π3) .因此，函数的值域是[1−√32,1+√32] . 题组二一、选择题1. [2022新高考卷Ⅰ，5分]记函数f (x )=sin (ωx +π4)+b (ω>0) 的最小正周期为T .若2π3<T <π ,且y =f (x ) 的图象关于点(3π2,2) 中心对称，则f (π2)= ( A ) A. 1B. 32C. 52D. 3[解析]因为2π3<T <π ,所以2π3<2πω<π ，解得2<ω<3 ．因为y =f (x ) 的图象关于点(3π2,2) 中心对称，所以b =2 ，且sin (3π2ω+π4)+b =2 ，即sin (3π2ω+π4)=0 ，所以3π2ω+π4=kπ(k ∈Z ) ,又2<ω<3 ,所以13π4<3π2ω+π4<19π4，所以3π2ω+π4=4π，解得ω=52，所以f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=sin 3π2+2=1．故选A．2. [2020全国卷Ⅲ，5分]已知函数f(x)=sin x+1sin x，则( D )A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线x=π对称D. f(x)的图象关于直线x=π2对称[解析]由题意得sin x∈[−1,0)∪(0,1].对于A，当sin x∈(0,1]时，f(x)=sin x+1sin x ≥2√sin x⋅1sin x=2，当且仅当sin x=1时取等号;当sin x∈[−1,0)时，f(x)=sin x+1sin x =−(−sin x+1−sin x)≤−2√−sin x⋅1−sin x=−2，当且仅当sin x=−1时取等号，所以A错误.对于B， f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sin x+1sin x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误.对于C，f(x+π)=sin(x+π)+1sin(x+π)=−(sin x+1sin x)，f(π−x)=sin(π−x)+1sin(π−x)=sin x+1sin x，则f(x+π)≠f(π−x)，f(x)的图象不关于直线x=π对称，所以C错误.对于D，f(x+π2)=sin(x+π2)+1sin(x+π2)=cos x+1cos x ，f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cos x+1cos x，所以f(x+π2)=f(π2−x)，f(x)的图象关于直线x=π2对称，所以D正确.故选D.3. [2019全国卷Ⅲ，5分]设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0) ,已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点③f(x)在(0,π10)单调递增④ω的取值范围是[125,29 10)其中所有正确结论的编号是( D )A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④[解析]如图，根据题意知，x A≤2π<x B，根据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0,π10) 时，π5<ωx +π5<ωπ10+π5 ,因为125≤ω<2910 ，所以ωπ10+π5<49π100<π2 ,所以函数f (x ) 在(0,π10) 单调递增，所以③正确.二、填空题4. [2023新高考卷Ⅰ，5分]已知函数f (x )=cos ωx −1(ω>0) 在区间[0, 2π] 有且仅有3个零点,则ω 的取值范围是[2,3) .[解析]函数f (x )=cos ωx −1 在区间[0,2π] 有且仅有3个零点，即cos ωx =1 在区间[0,2π] 有且仅有3个根，因为ω>0 ,x ∈[0,2π] ，所以ωx ∈[0,2ωπ] ，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π ，解得2≤ω<3 ，即ω 的取值范围是[2,3) .5. [2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数f (x )=sin (ωx +φ) ,如图，A ，B 是直线y =12 与曲线y =f (x ) 的两个交点，若|AB |=π6 ，则f (π)= −√32.[解析]对比正弦函数y =sin x 的图象易知，点(2π3,0) 为“五点（画图）法”中的第五点，（提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点（画图）法”中的哪一个点） 所以2π3ω+φ=2π ①. 由题知|AB |=x B −x A =π6 ，{ωx A +φ=π6,ωx B +φ=5π6,两式相减，得ω(x B −x A )=4π6，即π6ω=4π6，解得ω=4 .代入①，得φ=−2π3，所以f (π)=sin (4π−2π3)=−sin 2π3=−√32.三、解答题6. [2021浙江，14分]设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R) . （Ⅰ）求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；[答案]因为f(x)=sin x+cos x，所以f(x+π2)=sin(x+π2)+cos(x+π2)=cos x−sin x，所以y=[f(x+π2)]2=(cos x−sin x)2=1−sin 2x.所以函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期T=2π2=π .（Ⅱ）求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.[答案]f(x−π4)=sin(x−π4)+cos(x−π4)=√2sin x，所以y=f(x)f(x−π4)=√2sin x(sin x+cos x)=√2(sin xcos x+sin2x)=√2(12sin 2x−12cos 2x+12)=sin(2x−π4)+√22.当x∈[0,π2]时，2x−π4∈[−π4,3π4]，所以当2x−π4=π2,即x=3π8时，函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上取得最大值，且y max=1+√22.考点12 解三角形题组一一、选择题1. [2023全国卷乙，5分]在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a ,b ,c ,若acos B−bcos A=c ,且C=π5，则B= ( C )A. π10B. π5C. 3π10D. 2π5[解析]因为acos B−bcos A=c,所以由正弦定理得sin Acos B−sin Bcos A= sin C=sin(B+A)，则2sin Bcos A=0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A=0,A=π2.所以B=π−A−C=π−π2−π5=3π10,故选C.2. [2021全国卷甲，5分]在△ABC中，已知B=120∘，AC=√19，AB=2 ,则BC= ( D )A. 1B. √2C. √5D. 3[解析]解法一 由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ×BC ×cos B ，得BC 2+2BC −15=0 ，解得BC =3 或BC =−5 （舍去）．故选D ． 解法二 由正弦定理ACsin B =ABsin C ，得sin C =√5719,从而cos C =4√1919（C 是锐角），所以sin A =sin[π−(B +C )]=sin (B +C )=sin Bcos C +cos Bsin C =√32×4√1919−12×√5719=3√5738 ．又ACsin B=BCsin A ，所以BC =3 ．故选D ．【方法技巧】 已知两边一角求第三边，可以直接用余弦定理求解，也可以用正弦定理求解.用正弦定理求解时，要用到两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，且涉及角的范围等，较麻烦.3. [2020全国卷Ⅲ，5分]在△ABC 中，cos C =23 ,AC =4 ,BC =3 ,则tan B = ( C ) A. √5B. 2√5C. 4√5D. 8√5[解析]解法一 在△ABC 中，cos C =23 ，则sin C =√53>√22，所以C ∈(π4,π2) .由余弦定理知AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cos C =16+9−2×4×3×23=9 ，所以AB =3 .由正弦定理ACsin B =ABsin C ，得sin B =4√59，易知B ∈(0,π2) ，所以cos B =19 ，tan B =sin Bcos B =4√5 .故选C .解法二 在△ABC 中，cos C =23 ，AC =4 ,BC =3 ，所以由余弦定理知AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BC ⋅cos C =16+9−2×4×3×23=9 ，所以AB =3 ，所以△ABC 是等腰三角形.过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则BD =√BC 2−CD 2=√32−(42)2=√5 ，tan B2=√5=2√55，所以tan B =2tanB 21−tan 2B2=4√5 .故选C .4. [2019全国卷Ⅰ，5分]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知asin A −bsin B =4csin C ,cos A =−14,则bc = ( A )A. 6B. 5C. 4D. 3[解析]由题意及正弦定理得，b 2−a 2=−4c 2 ，所以由余弦定理得，cos A =b 2+c 2−a 22bc=−3c 22bc=−14 ，得bc =6 .故选A .二、填空题5. [2022浙江，4分]我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2] ,其中a ,b ,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=√2 ,b=√3 ,c=2 ,则该三角形的面积S=√234.[解析]因为a=√2,b=√3,c=2，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234.6. [2021全国卷乙，5分]记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c，面积为√3 ,B=60∘，a2+c2=3ac ,则b=2√2 .[解析]由题意得S△ABC=12acsin B=√34ac=√3，则ac=4，所以a2+c2=3ac=3×4=12，所以b2=a2+c2−2accos B=12−2×4×12=8，则b= 2√2.【拓展结论】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a ,b ,c，面积为S，则△ABC的面积公式为：（1）S=12a⋅ℎa（ℎa表示边a上的高）；（2）S=12absin C=12bcsin A=12acsin B；（3）S=12(a+b+c)⋅r(r为△ABC的内切圆半径）；（4）S=√p(p−a)(p−b)(p−c)（其中p=12(a+b+c)）；（5）S=abc4R（R为△ABC的外接圆半径）．7. [2021浙江，6分]在△ABC中，∠B=60∘，AB=2 ,M是BC的中点，AM=2√3，则AC=2√13 ; cos∠MAC=2√3913.[解析]解法一在△ABM中，由∠B=60∘ ,AB=2,AM=2√3及余弦定理可得BM=4.又M为BC的中点，所以BC=8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2BC⋅AB⋅cos B=4+64−2×8×2×12=52，所以AC=2√13，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AC⋅AM=2×2√13×2√3=2√3913.解法二由∠B=60∘ ,AB=2,AM=2√3，及余弦定理可得BM=4.因为M为BC的中点，所以BC=8.过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD=4,AD=2，CD=4√3.所以在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=48+4= 52，得AC=2√13.在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC=AC2+AM2−MC22AC⋅AM=2×2√13×2√3=2√3913.8. [2019全国卷Ⅱ，5分]△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c .已知bsin A+acos B=0 ,则B=3π4.[解析]解法一依题意与正弦定理得sin Bsin A+sin A⋅cos B=0，即sin B=−cos B，则tan B=−1.又0<B<π，所以B=3π4.解法二依题意得bsin A=−acos B>0，故cos B<0，B为钝角.如图，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，则CE=bsin∠BAC，BE=−acos∠ABC，故BE=CE.又CE⊥AB，所以∠CBE=π4，∠ABC=3π4.三、解答题9. [2023天津，14分]在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是a ,b ,c .已知a=√39 ,b=2 ,A=120∘ .（1）求sin B的值；[答案]由正弦定理asin A =bsin B，得√39sin 120∘=2sin B，解得sin B=√1313.（2）求c的值；[答案]由余弦定理得a2=b2+c2−2bccos A,即39=4+c2−4ccos 120∘，整理得c2+2c−35=0,解得c=5或c=−7（舍去）.所以c=5.（3）求sin(B−C)的值.[答案]由正弦定理csin C =bsin B，可得sin C=5√1326，又B,C均为锐角，所以cos C=√1−sin2 C=3√3926,cos B=√1−sin2B=2√3913,所以sin(B−C)=sin Bcos C−cos Bsin C=√1313×3√3926−2√3913×5√1326=−7√326.10. [2022全国卷乙，12分]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a ,b ,c ,已知sin Csin(A−B)=sin Bsin(C−A) .（1）若A=2B ,求C ;[答案]由A=2B，A+B+C=π可得A=2π−2C3.将A=2B代入sin Csin(A−B)=sin Bsin(C−A)可得sin Csin B=sin Bsin(C−A)，因为B∈(0,π)，sin B≠0，所以sin C=sin(C−A)，又A,C∈(0,π)，所以C+C−A=π，即A=2C−π，与A=2π−2C3联立，解得C=5π8.（2）证明:2a2=b2+c2 .[答案]解法一由sin Csin(A−B)=sin Bsin(C−A)可得，sin Csin Acos B−sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A−sin Bcos Csin A，由正弦定理可得，accos B−bccos A=bccos A−abcos C，即accos B+abcos C=2bccos A.由余弦定理得，accos B=a 2+c2−b22,abcos C=a2+b2−c22,2bccos A=b2+c2−a2，整理得，2a2=b2+c2.解法二因为A+B+C=π，所以sin Csin(A−B)=sin(A+B)sin(A−B)=sin2Acos2B−cos2Asin2B= sin2A(1−sin2B)−(1−sin2A)sin2B=sin2A−sin2B，sin Bsin(C−A)=sin(C+A)sin(C−A)=sin2C−sin2A，又sin Csin(A−B)=sin Bsin(C−A),所以sin2A−sin2B=sin2C−sin2A，由正弦定理可得2a2=b2+c2.11. [2020全国卷Ⅰ，12分]△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a，b，c .已知B=150∘ .（1）若a =√3c ,b =2√7 ,求△ABC 的面积；[答案]由题设及余弦定理得28=3c 2+c 2−2×√3c 2×cos 150∘ ，解得c =−2 （舍去），c =2 ，从而a =2 √3 .△ABC 的面积为12×2 √3×2×sin 150∘=√3 . （2）若sin A +√3sin C =√22,求C . [答案]在△ABC 中，A =180∘−B −C =30∘−C ,所以sin A +√3sin C =sin (30∘−C )+√3sin C =sin (30∘+C ) . 故sin (30∘+C )=√22. 而0∘<C <30∘ ,所以30∘+C =45∘ ,故C =15∘ .12. [2020全国卷Ⅱ，12分]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos 2(π2+A)+cos A =54 . （1）求A ；[答案]由已知得sin 2A +cos A =54 ,即cos 2A −cos A +14=0 . 所以(cos A −12)2=0 ,cos A =12 .由于0<A <π ，故A =π3 . （2）若b −c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形.[答案]由正弦定理及已知条件可得sin B −sin C =√33sin A . 由（1）知B +C =2π3，所以sin B −sin (2π3−B)=√33sin π3， 即12sin B −√32cos B =12 ,sin (B −π3)=12 .由于0<B <2π3,故B =π2 .从而△ABC 是直角三角形. 【方法技巧】 解决判断三角形形状的问题时，一般将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系；或将条件化为只含有边的关系式，然后化简变形得出三边的关系.另外，在变形过程中要注意三角形内角A ,B ,C 的范围对三角函数值的影响.13. [2019江苏，14分]在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . （1）若a =3c ,b =√2 ,cos B =23 ，求c 的值; [答案]因为a =3c ,b =√2 ,cos B =23 ,由cos B=a 2+c2−b22ac,得23=(3c)2+c2−(√2)22×3c×c,即c2=13.所以c=√33.（2）若sin Aa =cos B2b,求sin(B+π2)的值.[答案]因为sin Aa =cos B2b,由正弦定理asin A =bsin B,得cos B2b=sin Bb,所以cos B=2sin B.从而cos2B=(2sin B)2,即cos2B=4(1−cos2B),故cos2B=45.因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√55.因此sin(B+π2)=cos B=2√55.题组二解答题1. [2023新高考卷Ⅰ，10分]已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)= sin B .（1）求sin A ;[答案]解法一在△ABC中，A+B=π−C,因为A+B=3C，所以3C=π−C,所以C=π4.因为2sin(A−C)=sin B，所以2sin (A−π4)=sin(3π4−A)，展开并整理得√2(sin A−cos A)=√22(cos A+sin A)，得sin A=3cos A，又sin2A+cos2A=1，且sin A>0，所以sin A=3√1010.解法二（1）在△ABC中，A+B=π−C,因为A+B=3C，所以3C=π−C,所以C=π4.因为2sin(A−C)=sin B，所以2sin(A−C)=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，所以2sin Acos C−2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C，所以sin Acos C=3cos Asin C，易得cos Acos C≠0,所以tan A=3tan C=3tan π4=3，又sin A>0，所以sin A=√32+12=3√1010.（2）设AB=5 ,求AB边上的高.[答案]解法一由正弦定理，得BCsin A =ABsin C，得BC=ABsin C ×sin A=√22×3√1010=3√5，由余弦定理AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos C，得52=AC2+(3√5)2−2AC⋅3√5cos π4，整理得AC2−3√10AC+20=0，解得AC=√10或AC=2√10，由（1）得，tan A=3>√3，所以π3<A<π2，又A+B=3π4,所以B>π4,即C<B，所以AB<AC，所以AC=2√10，设AB边上的高为ℎ，则12×AB×ℎ=12×AC×BCsin C，即5ℎ=2√10×3√5×√22，解得ℎ=6，所以AB边上的高为6.解法二由（1）知sin A=3√1010，tan A=3>0，所以A为锐角，所以cos A=√1010，所以sin B=sin(3π4−A)=√22(cos A+sin A)=√22×(√1010+3√1010)=2√55，由正弦定理，得ACsin B =ABsin C，得AC=AB⋅sin Bsin C=5×2√55√22=2√10，故AB边上的高为AC×sin A=2√10×3√1010=6.2. [2023新高考卷Ⅱ，10分]记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC面积为√3 ,D为BC的中点，且AD=1 .（1）若∠ADC=π3，求tan B ;[答案]因为D为BC的中点，所以S△ABC=2S△ADC=2×12×AD×DCsin∠ADC=2×12×1×DC×√32=√3,（提示：三角形的中线平分三角形的面积）解得DC=2，所以BD=DC=2，a=4．因为∠ADC=π3，所以∠ADB=2π3．在△ABD中，由余弦定理，得c2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB=1+4+ 2=7,（方法技巧：已知两边及夹角求第三边时,选用余弦定理）所以c=√7．在△ABD中，由正弦定理，得csin∠ADB =ADsin B，（方法技巧：已知两边及一边所对的角求另一边所对的角时，选用正弦定理）所以sin B=ADsin∠ADBc =√2114，所以cos B=√1−sin2B=5√714.所以tan B=sin Bcos B =√35．（2）若b2+c2=8，求b ,c .[答案]因为D为BC的中点，所以BD=DC．因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos∠ADB=−cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD 2+BD2−c22AD⋅BD =−AD2+DC2−b22AD⋅DC，（方法技巧：在求边时，常根据两角互补，其余弦值互为相反数，并结合余弦定理建立方程求解）得1+BD2−c2=−(1+BD2−b2)，所以2BD2=b2+c2−2=6，所以BD=√3，所以a=2√3.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC=b 2+c2−a22bc=8−122bc=−2bc,所以S△ABC=12bcsin∠BAC=12bc√1−cos2∠BAC=12bc√1−(−2bc)2=12√b2c2−4=√3，解得bc=4.则由{bc=4,b2+c2=8,解得b=c=2．3. [2022北京，13分]在△ABC中，sin 2C=√3sin C . （Ⅰ）求∠C ;[答案]因为sin 2C=√3sin C，所以2sin C cos C=√3sin C，因为C∈(0,π)，所以sin C≠0，所以cos C=√32，C=π6.（Ⅱ）若b=6 ,且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长.[答案]因为△ABC的面积S=12absin C=12×a×6×12=6√3，所以a=4√3.由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcos C=48+36−72=12，所以c=2√3，所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6+2√3=6(√3+1).4. [2022浙江，14分]在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a ,b ,c .已知4a=√5c ,cos C=35.（Ⅰ）求sin A的值;[答案]由正弦定理asin A =csin C，得sin A=a⋅sin Cc.因为cos C=35,所以sin C=45,又ac =√54，所以sin A=√5sin C4=√55.（Ⅱ）若b=11，求△ABC的面积. [答案]由（Ⅰ）知sin A=√55,因为a=√5c4<c,所以0<A<π2，所以cos A=2√55,所以sin B=sin(π−B)=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=√55×35+4 5×2√55=11√525.因为bsin B=c sin C ,即11√525=c45,所以c =4√5 ,所以S △ABC =12bcsin A =12×11×4√5×√55=22 .5. [2022天津，14分]在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =√6 ,b =2c ,cos A =−14 . （Ⅰ）求c 的大小; [答案]因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14 ，a =√6 ,b =2c ,所以−14=4c 2+c 2−62×2c×c，解得c =1 .（Ⅱ）求sin B 的值; [答案]由（Ⅰ）得b =2 . 又sin A =√1−cos 2A =√154 ，a =√6 ,所以由正弦定理asin A =bsin B , 得sin B =bsin A a=2×√154√6=√104. （Ⅲ）求sin (2A −B ) 的值. [答案]sin 2A =2sin Acos A =2×√154×(−14)=−√158, cos 2A =2cos 2A −1=−78 ，由cos A =−14<0 ,知A ∈(π2,π) ，所以B ∈(0,π2) . 由（Ⅱ）知，sin B =√104,所以cos B =√1−sin 2B =√64, 所以sin (2A −B )=sin 2Acos B −cos 2Asin B =(−√158)×√64−(−78)×√104=√108. 6. [2021新高考卷Ⅰ，12分]记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b 2=ac ,点D 在边AC 上,BDsin∠ABC =asin C . （1）证明:BD =b ;[答案]由题易得BDa =sin Csin∠ABC .在△ABC 中，由正弦定理得sin Csin∠ABC =cb ，则BDa =c b，即BD ⋅b =ac ，又b 2=ac ，所以BD ⋅b =b 2 ，又b >0 ，所以BD =b .。
2024年高考数学真题分类汇编05：三角函数与解三角形
解法二：令 h x f (x) g x , x 1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可
知 h x 的零点只能为 0，即可得 a 2 ，并代入检验即可. 【解析】解法一：令 f (x) g x ，即 a(x 1)2 1 cos x 2ax ，可得 ax2 a 1 cos x ， 令 F x ax2 a 1,G x cos x ，
三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2024·全国）已知 cos( ) m, tan tan 2 ，则 cos( ) （ ）
A． 3m
B． m 3
C．
m 3
D． 3m
2．（2024·全国）当
xÎ
[0, 2 ] 时，曲线
y
sin
x
与
y
2
sin
3x
6
的交点个数为（
）
A．3
B．4
C．6
的最小正周期为
π
．则函数在
π 12
,
π 6
的最小值是（ ）
A． 3
2
B． 3 2
C．0
D． 3 2
9．（2024·上海）下列函数 f x 的最小正周期是 2π 的是（ ）
A． sinx cosx C． sin2x cos2x
B． sinxcosx D． sin2x cos2x
二、多选题
y
f
x 在 0,1 处的切线与两坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． 1 6
B．
1 3
C．
1 2
D．
2 3
7．（2024·北京）已知fxFra biblioteksinx
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编08 三角函数与解三角形
34．（2009·安徽（理））已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
35．（2017·全国（理））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
A． 表高B． 表高
C． 表距D． 表距
9．（2021·全国（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （）
A． B．
C． D．
10．（2021·全国（文）） （）
A． B． C． D．
11．（2020·天津）已知函数 ．给出下列结论：
36．（2017·山东（理））在 中，角 的对边分别为 ， ， ．若 为锐角三角形，且满足 ，则下列等式成立的是
A． B． C． D．
37．（2017·全国（文））已知 ，则 ．
A． B． C． D．
38．（2017·全国（文））函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
39．（2017·全国（理））设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
45．（2021·浙江）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
46．（2020·天津）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
47．（2020·北京）在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ．4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ． 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC C . 9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．2．（2023∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠= ． (1)求sin B 的值； (2)求c 的值； (3)求()sin B C -的值．3．（2022∙天津∙高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.4．（2021∙天津∙高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =． （I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．5．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2020∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c === （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7．（2020∙浙江∙高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．8．（2020∙江苏∙高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=． (1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高．考点05 三角形中的证明问题1．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+2．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1．（2024∙北京∙高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积． 条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)2π3A =； (2)选择①无解；选择②和③△ABC【详细分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【答案详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角， 则cos 0B ≠，则2sin 7B b =，则7sin sin sin b a BA A ===，解得sin 2A =， 因为A 为钝角，则2π3A =. （2）选择①7b =，则sin 7B ===2π3A =，则B 为锐角，则3B π=， 此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin 14B ==，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ，解得sin C =，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ==， 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．(1)求bc ； (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】(1)1(2)4【详细分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【答案详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===，解得：1bc =．（2）由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△．3．（2023∙全国乙卷∙高考真题）在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =. (1)求sin ABC ∠；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积. 【答案】(1)14；【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =； (2)由题意可得4ABDACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】（1）由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =222cos 214a c b B ac +-===，sin ABC ∠==（2）由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4．（2022∙浙江∙高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】；(2)22．【详细分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【答案详解】（1）由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin 45A C ==． （2）因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．5．（2019∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2BA AB =，即cos sin 2B B =，再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A CB +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02A C π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形，又3B π=，所以,6262A C ππππ<<<<， 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=． 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，则1tan C ∈，从而ABC S ⎝⎭∈ ，故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知ABC的面积4ABC S a =△． 因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩， 又由余弦定理得221b a a =+-，所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<，所以82ABC S << ，故ABC面积的取值范围是⎝⎭． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在ABC 中，过点A 作1AC BC ⊥，垂足为1C ，作2AC AB ⊥与BC 交于点2C ． 由题设及（1）知ABC的面积ABC S =△，因为ABC 为锐角三角形，且1,3c B π==，所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而cos cos cc B a B⋅<<， 即1cos3cos 3a ππ<<，即122a <<，所以82ABC S << ， 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6．（2017∙全国∙高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】（1）23π，4；（2【答案详解】试题详细分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1）sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q，1628422cos C ∴=+-⨯⨯，2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=，1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.8．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）25；（2）9 【答案详解】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.9．（2015∙全国∙高考真题）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =． （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积． 【答案】（1）14；（2）1 【答案详解】试题详细分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =，可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==（2）由（1）知22b ac =因为90B = ，由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=，得c a == 所以的面积为1考点：正弦定理，余弦定理解三角形10．（2015∙山东∙高考真题）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆【答案详解】试题详细分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc =+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =． (1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长． 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A = 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A = 又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A == ，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==， 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=， 又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-， 又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=， 由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c == 故ABC的周长为2+2．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC的面积为3c ． 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 222a b c C ab ab +-===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. （2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= ， 由已知ABC的面积为323=所以c =3．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =． (1)若π3ADC ∠=，求tan B ； (2)若228b c +=，求,b c ． 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出a ，作出BC 边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a ，再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠， 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =cos 14B ==，sin B ===，所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===，解得4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==. （2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.4．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【详细分析】（1）先表示出123,,S S S，再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.【答案详解】（1）由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，1cos 4ac B ==，则1sin 28ABC S ac B == ； （2）由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 5．（2022∙全国乙卷∙高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. 【答案详解】（1）证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-， 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+；（2）解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250bc +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=.6．（2022∙北京∙高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【答案详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=.7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【详细分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． 【答案详解】（1）因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；（2）由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-，所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5． 8．（2020∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ，求ABC 的面积；（2）若sin AC =2，求C . 【答案】（1（2）15︒.【详细分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论；（2）方法一 ：将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【答案详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == （2）[方法一]：多角换一角 30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]：正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B．故sin ,sin 22==a c A C b b ．由sin 2A C =，得a +=．又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ，所以()222()2=++a a c ，解得a c =．所以15=︒C ．【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角.9．（2020∙全国∙高考真题）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin ．C（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【详细分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【答案详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法）设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===，所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤，当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，易知当6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.10．（2018∙全国∙高考真题）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC . 【答案】（1）5；（2）5. 【详细分析】（1）方法一：根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠，求得sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得cos 5ADB ∠==；（2）方法一：根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD △中，根据余弦定理即可求出．【答案详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠，代入数值并解得sin 5ADB ∠=．又因为BD AB >，所以A ADB ∠>∠，即ADB ∠为锐角，所以cos 5ADB ∠=． ［方法2］：余弦定理在ABD △中，2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ，即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯，解得：AD =所以，2254cos5ADB +-∠==． ［方法3］：【最优解】利用平面几何知识如图，过B 点作BE AD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F ．在Rt AEB 中，因为45A ∠=︒，=2AB ，所以AE BE ==．在Rt BED △中，因为5BD =，则DE ===．所以cos ADB ∠=［方法4］：坐标法以D 为坐标原点，DC 为x 轴，DA为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．设BDC α∠=，则(5cos ,5sin )B αα．因为45A ∠=︒，所以(0,5sin A α．从而2AB ==，又α是锐角，所以cos 5α=，cos sin ADB α∠===（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在BCD △，由（1）得，cos 5ADB ∠=，()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=，所以=5BC ．［方法2］：【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥，垂足为F ，易求，BF =FC =，由勾股定理得=5BC ．【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角形，属于通性通法；方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法； 方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现． （2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法． 方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．11．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12．（2017∙山东∙高考真题）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=，a =【答案详解】试题详细分析：先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析：因为6AB AC ⋅=-， 所以cos 6bc A =-， 又3ABC S =△， 所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =， 又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(a =+-⨯⨯，所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．13．（2017∙全国∙高考真题）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，△ABC 的面积为2，求b ． 【答案】（1）1517；（2）2． 【答案详解】试题详细分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =； （2）由（1）可知8sin 17B =， ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =， ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．14．（2016∙全国∙高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【答案详解】试题详细分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.15．（2015∙浙江∙高考真题）在ABC ∆中，内角 A ，B ， C 所对的边分别为a ， b ，c ，已知 4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求 b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =.【答案详解】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式 子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sin B 的值，再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析：（1）由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得sin 5C =，cos 5C =，又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴sin B =3c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴bc =3b =. 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理.16．（2015∙山东∙高考真题）ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ，，再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中，由cos 3B =，得sin 3B =.因为A B C π++=，所以sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，cos 9C =，因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =，可得sin sin 9cc A a C ===，又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1．（2024∙天津∙高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ； (2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）； 则4,6a c ==.（2）法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由（2）法一知sin 16B =，。
三角函数--2023高考真题分类汇编完整版
三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
2024届五年高考数学(文课)真题分类训练：专题四 三角函数与解三角形
0,
π 2
，知 cos � > 0 ，
所以 2sin � = cos � .又sin2� + cos2� = 1 ，所以sin2� + 4sin2� = 1 ，即
sin2�
=
1 5
.又�
∈
0,
π 2
，所以
sin � =
sin cos
�cos �sin
� �
− =
cos
1 6
,
�sin
�
=
1 3
,
所以
sin
�cos
�
=
1 2
，所以
sin � + �
=
sin
�cos
�
+
cos
�sin
�
=
1 2
+
1 6
=
2 3
，所以
cos 2� + 2�
=1−
2sin2 � + �
=1−2×
2 3
2
=
1 9
，故选
B.
2. [2023
新高考卷Ⅱ，5
1+sin 2� �+cos �
=
sin � sin �+cos � sin �+cos �
2
=
sin � sin � + cos �
=
sin2�+sin �cos sin2�+cos2�
�
=
tan2�+tan � 1+tan2�
=
4−2 1+4
=
2 5
.故选
C.
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题06三角函数及解三角形含解析理
1 1
tan tan
2 2
1 1
22 22
3， 5
tan( ) tan 1 2 1 1 ， 4 1 tan 1 2 3
11.（2024·江苏卷）已知 sin2 ( ) = 2 ，则 sin 2 的值是____.
4
3
【答案】 1 3
【解析】 sin2 ( ) ( 2 cos 2 sin )2 1 (1 sin 2 )
图1
9
图2
图3
4．【2024·全国Ⅱ卷】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= 2
A． 1 5
B． 5 5
C． 3 3
【答案】B
D． 2 5 5
【解析】
2sin 2α cos 2α 1，4sin α cos α 2 cos2 α .
α
0,
2
,
cos
α
0
，
sin α 0, 2sin α cos α ，又 sin2 cos2 1，5sin2 α 1,sin2 α 1 ，又 5
f
x
可得：
cos
4 9
6
0
.又
4 9
,
0
是函数
f
x 图象与
x
轴负半轴的第一个交点，
所以 4 ，解得： 3
9
62
2
所以函数
f
x 的最小正周期为T
2
2 3
4 3
2
2.（2024·新课标Ⅰ）已知 (0, π) ，且 3cos2 8cos 5 ，则 sin （
A5 3
B. 2 3
7.（2024·山东卷）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
高考数学(文科)5年真题分类汇编第四章 三角形 解三角形
第四章 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1．（2018全国卷I ，11) 已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ， ， ，且，则 A ．B ．C ．D ．解析 : 由 三点共线，从而得到 ，因为，解得，即，所以，故选B.答案 B2．（2018北京，7)在平面直角坐标系中， ,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH解析：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时， cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时， cos ,sin x y αα==， tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时， cos ,sin x y αα==， tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限， tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误. 综上，故选C. 答案 C3.(2017课标3，4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ． 29D ．793.解析 ()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===-- .所以选A.答案 A4. (2017山东，4)已知3cos 4x =,则cos2x =( ) A.14- B.14 C.18- D.184.解析由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.答案D5.(2015·福建，6)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－5125.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D6.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－456.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－45，故选D.答案 D7.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( ) A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞07.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin α cos α＞0，故选C. 答案 C8.(2017浙江，11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S ．8.解析 如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积S6=6 .=答案9.(2017北京，9)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α=13，则sin β=_________． 9.解析 因为角α与角β关于y 轴对称，则α+β= ，所以答案1310.（2017课标3，15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________.10.解析 由题意：sin sin b c B C=，即sin 2sin 3b C B c ===，结合b c < 可得45B = ，则18075A B C =--=. 答案75°11.（2017江苏，5） 若π1tan(),46α-= 则tan α= .11.解析：由题意可得答案7512.（2017课标1，15）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．12. 解析∵α∈(0,),tanα=2,∴sinα=,cosα=,∴cos(α-)=cosαcos+sinαsin = ×(+ )=.13.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πθ＝35，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ＝________.13.解析 由题意，得⎪⎭⎫⎝⎛+4cos πθ＝45，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ＝34. ∴⎪⎭⎫⎝⎛-4tan πθ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-+24tan ππθ＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43. 答案 －4314.(2016·四川，11)sin 750°＝________.14.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )，∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.答案 1215.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 15.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin α cos α－cos 2α＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.答案 －116．（2018浙江，18）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值． 16.（Ⅰ）由角 的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角 的终边过点得，由 得.由 得 ， 所以或.考点2 三角函数的图象与性质1．（2018全国I 卷，8) 已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 解析：根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 答案 B2．（2018全国卷II ，10)若 在 是减函数，则 的最大值是 A ．B ．C ．D ．解析：因为，所以由得因此，从而 的最大值为，选A.答案 A3．（2018全国卷Ⅲ，6）函数的最小正周期为 A ．B ．C ．D ．解析：由已知得的最小正周期故选C. 答案 C4．（2018天津，6)将函数 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间上单调递增 B ．在区间上单调递减C ．在区间 上单调递增D ．在区间上单调递减 解析：由函数的图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：， 即，令 可得函数的一个单调递增区间为，选项A 正确，B 错误； 函数的单调递减区间满足：，即，令 可得函数的一个单调递减区间为，选项C ，D 错误；本题选择A 选项. 答案 A5.（2017课标3，6）函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65 B ．1 C ．35 D ．155.解析 由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65 .答案A6.（2017课标II ，3）函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D.π26.解析 由题意得=答案 C7.（2017天津，7）设函数()2s i n (),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （ ） A 2π,312ωϕ== B 211π,312ωϕ==- C 111π,324ωϕ==- D 17π,324ωϕ==7. 解析 由f ()=2,得 ω+φ=+2kπ(k ∈Z), (1)由f()=0,得ω+φ=k'π(k'∈Z), (2)由(1)(2)得ω=-+(k'-2k),又最小正周期T=>2π,所以0<ω<1,ω=,又|φ|<π,将ω=代入(1)得φ=.选项A 符合.答案A8.（2017山东，7）函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为 （ ）A.π2 B. 2π3C.πD. 2π8.解析 因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 答案 C 9.（2017课标II ，13）函数()2c o s f x x x =+的最大值为 . 9.解析()f x ≤=答案10.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 2πx 的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+42sin 2πx B.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+32sin 2πx C.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-42sin 2πxD.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-32sin 2πx 10.解析 函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 2πx 的周期为π，将函数y ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin 2πx 的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-642sin ππx ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 2πx ，故选D.答案 D11.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则 ( ) A.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-62sin 2πx B.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-32sin 2πx C.y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 2πx D.y ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin 2πx 11解析 由题图可知，T ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-632ππ＝π，所以ω＝2， 由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-62sin 2πx ，故选A. 答案 A12.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛+3sin πx 的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度12.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A13．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z13.解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D14.(2015·山东，4)要得到函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-34sin πx 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位14.解析 ∵y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-34sin πx ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-124sin πx ， ∴要得到函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-34sin πx 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B15.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π 15.解析 由题意得函数f (x )＝2⎪⎭⎫⎝⎛+6sin πωx (ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2， 所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C16.(2014·陕西，2)函数f (x )＝)42cos(π+x 的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π 16.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π.答案 B17.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度17.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A18.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π12个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位18.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-43cos πx ，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-43cos πx 的图象． 答案 A19.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4 19.解析 方法一 f (x )＝2)42sin(π+x ，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2)242sin(ϕπ-+x ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.方法二 f (x )＝2⎪⎭⎫⎝⎛-42cos πx ， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2⎪⎭⎫⎝⎛--ϕπ242cos x ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.答案 C20.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝)62sin(π+x ，④y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-42tan πx 中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③20.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝)62cos(π+x ，最小正周期为π；④y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-42tan πx ，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A21.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f (x )是奇函数B.y ＝f (x )的周期为πC.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 21.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝)2sin(π+x ＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为⎪⎭⎫⎝⎛2πf ＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.答案 D22．（2018江苏，7）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．解析 由题意可得，所以，，因为，所以答案23.（2017浙江，13）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =23解析 取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin 4BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．答案24.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.24.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π325.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 25.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πωx ， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π，由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2， 又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案 π226.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．26.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 827(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.27.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2⎪⎭⎫⎝⎛-4sin πωx 0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝⎪⎭⎫⎝⎛+ππωk 41k ∈Z )，∴两函数交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+2,41ππωk (k ＝0，2，4，…)， 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+2,41ππωk k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2.答案 π228.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝________.28.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝)6sin(π+x 的图象，再把函数y ＝)6sin(π+x 图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝)621sin(π+x 的图象，所以⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝)6621sin(ππ+⨯＝sin π4＝22.答案2229．（2018北京，16)已知函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期；（Ⅱ）若 在区间上的最大值为，求 的最小值. 解析：（Ⅰ），所以 的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以.要使得 在上的最大值为，即在上的最大值为1. 所以，即.所以 的最小值为.30．（2018江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 （ 为此圆弧的中点）和线段 构成．已知圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 内的地块形状为矩形 ，大棚 内的地块形状为△ ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 与 所成的角为 ．（1）用 分别表示矩形 和△ 的面积，并确定 的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．解析（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），则．令，得θ=，当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．31.（2017浙江，18）（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sin x cos x（xR ）．（Ⅰ）求)32(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．解析 试题分析：（Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间． （Ⅰ)由sin,cos= =, f()=()2-(- )2-2 ×(-),得f()=2.(Ⅱ)由cos 2x=cos2x-sin2x 与sin 2x=2sin xcos x 得 f(x)=-cos 2x- sin 2x=-2sin(2x+).所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+ ≤+2kπ,k ∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k ∈Z, 所以,f(x)的单调递增区间是[+kπ,+kπ](k ∈Z).答案 （Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为[+kπ,+kπ](k ∈Z)．32.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ),⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5)62sin(-x .(2)由(1)知f (x )＝5)62sin(π-x ，因此g (x )＝5)6)6(2sin(ππ-+x ＝5)62sin(π+x . 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.33.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差． 解 (1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.34.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52.35.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .36.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.考点3 三角恒等变换1．（2018全国卷Ⅲ，4）若，则 A ．B ．C ．D ．解析：故答案为B. 答案B2.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D3.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6D.73.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112， 所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B4.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16 C.57 D.564.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.答案 A5．（2018全国卷II ，15)已知，则 __________．解析：，解方程得. 答案6.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________. 6.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 17．（2018江苏，16）已知 为锐角，，．（1）求 的值；（2）求 的值．解析（1）因为，，所以． 因为 ，所以， 因此，． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为，所以，因此 ． 因为，所以，因此，8.（2017北京，16）已知函数()3cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．8.解析 （Ⅰ）31π()cos 2sin 2sin 2sin 22sin(2)22223f x x x x x x x =+-=+=+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.答案 （Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析.9.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求⎪⎭⎫⎝⎛6πg 的值.9.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 10.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.10.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ).11.(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．11.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2＝1.12.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值． 12.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3. ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.13.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 13.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象． 又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.14.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 14.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴Asin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒Asin 3π4＝322⇒A ＝3. (2)由(1)知f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3， 展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.15.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知4sin2A －B2＋ 4sin A sin B ＝2＋ 2. (1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．15.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B)]＋4sin Asin B ＝2＋2， 化简得－2cos Acos B ＋2sin Asin B ＝2， 故cos(A ＋B)＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12absin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，得c ＝10.考点4 正, 余弦定理及解三角形1．（2018全国卷Ⅲ，11）△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若△ 的面积为，则A ．B ．C ．D ．解析：由题可知 △，所以 ， 由余弦定理 ， 所以 ， ，。
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五年高考真题分类汇编三角函数、三角恒等变形、解三角形1.（19全国1理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．解：由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 60C ︒+=．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 60C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=． 2.（19全国1文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则bc=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．（19全国1文）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___−4____． 4.（19全国2理）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（ ）A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos │x │D ．f (x )=sin │x │5．（19全国2理）已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ） A ．15 B5C3D56.（19全国2理）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为． 7.（19全国2文）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=（ ）A ．2B ．32C ．1D ．128.（19全国2文）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）A ．15 BCD9.（19全国2文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =____3π4___.10.（19全国3文理）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 解：（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A B C ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．11.（18全国1文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为412.（18全国2文）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．13.（18全国2理）若在是减函数，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．14.（18全国3文理）若，则（ ）A ．B ．C ．D ．15.（18全国3文）函数的最小正周期为（ ）A ．B ．C ．D ．()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π()cos sin f x x x =-[,]a a -aπ4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-2tan ()1tan xf x x=+4π2ππ2π16.（18全国1文）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15 BCD ．117.（18全国1理）已知函数，则的最小值是______．18.（18全国2文）已知，则__________．19.（18全国2理）已知，，则__________．20.（18全国3理）函数在的零点个数___3_____．21.（18全国2文理）在中，，，，则（ ）A ． BCD ．22.（18全国3文理）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 23.（18全国1文）△ABC 的内角A BC ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为___．24.（18全国1理）在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.解：（1）在中，由正弦定理得：,∴,∵,∴. （2）,∴， ∴, ()2sin sin2f x x x =+()f x 5π1tan()45α-=tan α=32sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=12-()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭[]0π，ABC △cos 2C1BC =5AC =AB =ABC △A B C a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6ABCD 90ADC ∠=45A ∠=2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABD ∆52sin 45sin ADB =∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<cos 5ADB ∠==2ADB BDC π∠+∠=cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠∴,.∴.25.（17全国1文）函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．26.（17全国1理）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 227.（17全国2文）函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ． π D ．π228.（17全国3文）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．29-C ． 29D ．7929.（17全国3文）函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15222cos 2DC BD BC BDC BD DC +-∠=⋅⋅2=5BC =30.（17全国3理）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减31.（17全国1文）已知π(0)2α∈，，tan α=2，则πcos ()4α-___． 32.（17全国2文）函数()2cos sin f x x x =+33.（17全国2理）函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 1 。
34.（17全国1文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =（ ） A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π335.（17全国2文）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = π3.36.（17全国3文）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =____75°_____.37.（17全国1理）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =.故2sin sin 3B C =.38.（17全国2理）ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ； （2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
39.（17全国3理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．解：（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =.又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△.40.（16全国1文）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为（ ）（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3)（C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)41.（16全国1理）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）542.（16全国2文） 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3y x π=43.（16全国2文） 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）744.（16全国2理）若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈45.（16全国2理）若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-46.（16全国3文）若tan 13θ= ，则cos2θ=（ ）（A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）4547.（16全国3理）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)162548.（16全国1文）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=. __43-___49.（16全国3文）函数sin y x x =的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______3π_______个单位长度得到．50.（16全国3理）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移____32π_____个单位长度得到．51.（16全国1文）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =,2c =,2cos 3A =,则b=（ ）（A （B （C ）2 （D ）352.（16全国3文）在ABC △中，π4B， BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ）（A ）310（B （C （D 53.（16全国3理）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC,则cos A（ ）（A （B （C ）10（D ）31054.（16全国2文理）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____2113________.55.（16全国1理）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆,求ABC 的周长．56.(15全国1文理)函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 57.(15全国1理)sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A）（B（C ）12- （D ）1258.(15全国2文理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．59.(15全国1理)在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是______60.(15全国1文)已知分别是内角的对边，.（I ）若，求（II ）若，且 求的面积. ()cos()f x x ωϕ=+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈,,a b c ABC ∆,,A B C 2sin 2sin sin B A C =a b =cos ;B 90B=a =ABC∆（II ）由(1)知.因为90°，由勾股定理得.故，得. 所以ABC 的面积为 1. 61.(15全国2文)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求； （II ）若,求.解：（I ）由正弦定理得 因为AD 平分BAC ,BD =2DC ,所以.（II ）因为所以由（I ）知,所以 62．(15全国2理)ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长． (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．22b ac B 222a c b 222a c ac 2c a。