概率论例题与详解

例题

1.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求

（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？

解 设),2,1,0(=i A i 表示箱中有i 件次品，B 表示顾客买下该箱玻璃杯

（1）由全概率公式

()()()94.01.01.018.04204184204192

0≈⨯+⨯+⨯=∑==C C C C A p A B P B P i i i （2）由贝叶斯公式

85.0)()

()()(000≈=B P A P A B P B A P

2.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解 设),2,1,0(=i A i 表示从第i 箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B 表示从第一箱中取零件，B 表示从第二箱中取零件

（1）由全概率公式

4.02

130********)()()()()(111=⨯+⨯=

+=B P B A P B P B A P A P （2）由全概率公式 2

129173018214995010)()()()()(212121⨯⨯+⨯⨯=

+=B P B A A P B P B A A P A A P 因此有 )

()()(12112A P A A P A A P =4856.0)2129173018214995010(25=⨯⨯+⨯⨯= 3.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号

（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.

解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

163.03.07.03.07.03.054452335≈+⋅+⋅C C

（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

353.07.03.07.03.07.0152276177≈⋅+⋅--C C

4.甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7，如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击浇的概率.

解：设321,,A A A 分别表示甲、乙、丙击中飞机，i B 表示有)3,2,1(=i i 个人击中飞机

=)(1B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

=)(2B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

41.07.05.04.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

=)(3B P )(321A A A P

)()()(321A P A P A P =

14.07.05.04.0=⨯⨯=

由全概率公式

)()()(11B B P B P B P =)()(22B B P B P +)()(33B B P B P +

458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯=

5.随机地向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4

π的概率. 解：以D 表示半圆220x ax y -<<，由题设，点),y x （应该落在如图的阴影部分G ，G 的面积为（在极坐标系中计算）

θθπθθπ

d r rdr d G S a a ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==40cos 202cos 204

02

1)( θθπd a ⎰=4

022cos 22402214)2cos 1(a d a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=⎰πθθπ

（或G 的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上4

1个圆的面积）

故πππ1212

1214)()()(22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==a a D S G S A P 6.设1)(0<

(1)()()(B P B A P B P AB P -=⇔)()()()()(B A P B P AB P B P AB P =- ⇔)()()]()()[()(A P B P B A P AB P B P AB P =+=⇔B A 、独立

7. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？

解：设i B ={随机地取3件乐器，其中有i 件是音色不纯的}（3,2,1,0=i ）

A={这批乐器被接收}