框图化简、梅逊公式习题
自动控制复习题
一、试用结构图等效化简或梅逊公式求图1所示系统的传递函数)()(s R s C图1解：结构图等效解：所以：432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++= 梅逊公式解：图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路，，，2111432111G G L G G G G P -==∆= ，，，21321323432)(1L L L L L G G L G G L +++-=∆-=-=43213243214321111)()(G G G G G G G G G G G G G G P s R s C ++++=∆∆=二： 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。
)(s R )(2s G )(1s G )(s C -)(3s G -图2-3解：用梅逊公式求取系统传递函数。
由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。
因此有)()(321s G s G L =∑-=-=)()(1132s G s G L a ∆1)(1)(222111=-===∆∆s G P s G P 根据梅逊公式，系统的传递函数为)()(1)()()()(322121s G s G s G s G P s R s C k kk --==∑=∆∆三、试用结构图等效化简和梅逊增益公式求图1所示各系统的传递函数)()(s R s C图1解：所以： 2321212132141)()(H G G H G H G G G G G G s R s C ++++= （e ）图中有2条前向通路，3个回路，，，，∆=∆==∆=242132111G P G G G P ，，，，)(132123*********L L L H G G L H G L H G G L ++-=∆-=-=-= 2321212132141122111)()(H G G H G H G G G G G G P P P P s R s C ++++=∆∆+=∆∆+∆=二、 设图2（a ）所示系统的单位阶跃响应如图2（b ）所示。
《自动控制原理》典型考试试题
《 自动控制原理 》典型考试试题（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号第二章：主要是化简系统结构图求系统的传递函数，可以用化简，也可以用梅逊公式来求一、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
请写出系统在输入r(t)和扰动n(t)同时作用下的输出C(s)的表达式。
G4H1G3G1G 2N(s)C(s)R(s)--+++二 、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试求传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C 。
三、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)。
G1G2R(s)-++C(s)-+四、（共15分）系统结构图如图所示，求X(s)的表达式G4(s)G6(s)G5(s)G1(s)G2(s)N(s)C(s)R(s)--G3(s)X(s)五、（共15分）已知系统的结构图如图所示。
试确定系统的闭环传递函数C(s)/R(s)和C(s)/D(s)。
G1G2R(s)-++C(s)-+D(s)G3G4六、（共15分）系统的结构图如图所示，试求该系统的闭环传递函数)()(s R s C 。
七、（15分）试用结构图等效化简求题图所示各系统的传递函数)()(s R s C一、（共15分）某控制系统的方框图如图所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。
二、（共10分）设图（a ）所示系统的单位阶跃响应如图（b ）所示。
试确定系统参数,1K 2K 和a 。
三、（共15分）已知系统结构图如下所示。
求系统在输入r(t)=t 和扰动信号d(t)=1(t)作用下的稳态误差和稳态输出)(∞C2/(1+0.1s)R(s)-C(s)4/s(s+2)E(s) D(s)四、（共10分）已知单位负反馈系统的开环传递函数为：2()(2)(4)(625)KG s s s s s =++++试确定引起闭环系统等幅振荡时的K 值和相应的振荡频率ω五、（15分）设单位反馈系统的开环传递函数为12 )1()(23++++=s s s s K s G α若系统以2rad/s 频率持续振荡，试确定相应的K 和α值第三章：主要包括稳、准、快3个方面稳定性有2题，绝对稳定性判断，主要是用劳斯判据，特别是临界稳定中出现全零行问题。
2.4框图化简及梅逊公式
C(s)
有1组三个互不接触回路： L3 abefij
不存在四个互不接触回路： L4 0
1 L1 L2 L3
k 第k个前向通道的余子式；其值为 中除去与第k个前
向通道接触的回路后的剩余部分；
1 1 L1 L2 L3 ... 1
R(S ) E (S )
G1 G2
C (S )
R(S ) 1 E (S ) G1 C (S ) 1 C (S )
G2
信号流图是由定向线段（支路）将一些节点（变量）连接起来 组成的。支路上的传递函数称为支路增益
[几个术语]：
输入节点(源点)：只有输出支路的 节点。如： R，N。
R
1
N 1 E P G Q G1 2
补充例题1
g
h b
R(s ) 1
a
c
d
1
2
3
i
4
5
l
e j6
7f
k
1 C (s )
8
9
m
Байду номын сангаас
补充例题2
R(s )
G1
1 1
G2
C (s )
3） 反馈联接：
R(s ) E (s)
G (s )
C (s )
H (s )
称为闭环传递函数
C ( s) G( s) ( s ) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
H (s)G2 (s)
①
R(s)
G1 ( s)
G2 ( s)
-
G3 ( s)
H ( s)G2 ( s)
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
梅逊增益公式及应用
-H2
1
②
G1 G2
G3
1 C(s)
① -H1
-1 ③
3
1 Li 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3
i 1
1 1
T
C(s) R( s )
1
P11
1
G1G2 H1
G1G2G3 G2G3H2
G1G2G3
例：求系统的总增益。
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
R(s)+ +
H2(s)
—
G1(s) +
G2 ( s )
G3 ( s )
C(s)
——
H1(s)
R(s) 1
-H2
1
G1 G2
G3
1 C(s)
-H1
-1
R(s) 1
P1 G1G2G3
G1G2G3 G1G4 G2G3H2 G1G2G3
G1G4
G4H2
② E(s)/R(s) E(s)
1
R(s)
1 1 G1
-H1
④⑤
G4
G2
G3
① -H2 ②
前向通道： P1 1
-1 ③
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2
反馈回路： L3 G1G2G3
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增 益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
T
G(s)
C(s) R( s )
梅逊公式的应用
0
H
2
Y0
解上述方程组，得
Y0
X i
X
0
X
0
G 1 G 2
X
0
X
0
H
2
1 G2H1
X i
G 1 G 2
H
2
1 G2H1
G4
X i
X
0
G 1 G 3
X
0
整理得：
1 G 2 H 1 G 4 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 4 G 1 G 3 G 1 G 2 G 3 H 1 X i ( s )
-H2
②
2.6
P1=G1G2G3； P2=G1G4
系统信号流图及梅逊公式
该系统有二个前向通路，其传递函数分别为： 有5个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G1G2H1； L2=−G2G3H2； L3=−G1G2G3H3； L4=−G1G4H3； L5=−G4H2 5个反馈回路都相互接触，即没有互不接触的反馈回路，则：
G4(s)
X0(s)
-
G6(s) G7(s)
前向通道(一条)： 回路3个(互有接触)：
P1 G1G 2 G 3 G 4
1 1
1 G 2 G 3 G 5 G 3 G 4 G 6 G 1G 2 G 3 G 4 G 7 G3
3个回路 具有的公共传递函数：
G (s)
1 G1G 2 H 1 G 2 G 3 H 2 G1G 2 G 3 H 3 G1G 4 H 3 G 4 H 2
5个反馈回路均与两条前向通道接触，故： 1 1 则：
2 1
第二章补充习题
1. 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数)()(s R s C .解 （a ）所以： 432132432143211)()(G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++++= （b ）所以： HG G G s R s C 2211)()(--=（c ）2. 试用梅逊增益公式求上题中各结构图对应的闭环传递函数。
解 （a ）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路，，，2111432111G G L G G G G P -==∆=，，，21321323432)(1L L L L L G G L G G L +++-=∆-=-=43213243214321111)()(G G G G G G G G G G G G G G P s R s C ++++=∆∆=（b ）图中有2条前向通路，1个回路，，，，，H G L G P G P 2122211111==∆-==∆= 11L -=∆HG G G P P s R s C 22122111)()(--=∆∆+∆=（c ）图中有1条前向通路，3个回路，，，211132111G G L G G G P -==∆=，，，)(132********L L L G G G L G G L ++-=∆-=-=3213221321111)()(G G G G G G G G G G P s R s C +++=∆∆=3. 求图中系统从v 到y的传递函数。
解：4. 已知系统方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)()()()()]()()([)()]()()()[()()()]()()[()()()(3435233612287111s X s G s C s G s G s C s X s X s X s G s X s G s X s C s G s G s G s R s G s X 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数)()(s R s C 。
自动控制原理--信号流图及梅逊公式应用例题
La d eg bcg
有两个互不接触回路
Lb Lc deg
则 1 d eg bcg deg
f
1. X1 X 4 , p1 aef , p2 abcf
1 1 d, 2 1
X4 X1
1 ( p1 1
p2 2 )
aef (1 d ) abcf 1 d eg bcg deg
4. 闭环系统的误差传递函数 [ 定义误差 E(s)=R(s)-B(s) ]
e (s)
E(s) R(s)
en (s)
E(s) N(s)
1
G 1
1
, N(s) 0
1 (s)G 2 (s)H(s)
E(s)
G 2 (s)H(s) , R(s) 0
G1 (s)G 2 (s)H(s)
e
(s)R(s)
Tr1
x1 xr
1 (d
a(1 e) e cf ) de
Ty1
x1 y
1 (d
bf e cf
)
de
例2.15 已知系统信号流图，求传递函数。
• 解：三个回路：L1 G2H2
-H1
L2 G1G2H2
L3 G 2G 3H1
• 回路相互均接触，则：
R
G1
G2
G3
H2 -H2
G4
例2.13 绘制结构图对应的信号流图(1) 。
Ui(s) (-)
(-)
1 I1(s)
1 U(s)
R1
IC(s) C1s
(-)
1
1
R2 I2(s) C2 s
Uo(s)
Ui(s)
-1
1/R1
1/C1s
IC(s)
梅逊公式及其应用
P2 kgi 2 1 cd
• 将以上结果代入式公式，可得总传输
P
P P
11
22
1L L L L L L
a
bc
de f
1
2
3
acegi kgi(1 cd )
1 (ab cd ef gh ij kfdb) (abef abgh abij cdgh cdij efij kfdbij) abefij
=每两个互不接触回路增益乘积之和
2
L LL de f
=每三个互不接触回路增益乘积之和
3
Δk=信号流图中除去与第k条前向通道Pk相接触的支路和节点后余下的信 号流图的特征式，称为Pk的余因式。
例2-4 将图所示的系统方块图化为信号流程图并
将其简化。求系统传递函数
C(s)
R(s)
H2
R
+- ++
G1
+-
x7 C(s) 图2－13 信号流程图
解：• 此系统有六个回环，即ab、cd、ef、ij和kfdb，因此 L ab cd ef gh ij kfdb
a 1
• 两个互不接触的回环有七种组合，即abef、abgh、 abij、cdgh、cdij、efij及kfdbij，所以
L L abef abgh abij cdgh cdij efij kfdbij bc 2
G2
C G3
H1
图2-11 多回路系统
解：• 首先将图2-11方块图化为图2-12的信号流程图
-H2
1 R( s)
1
Байду номын сангаасG1
G2
G3
H1 -1
1
C( s)
梅逊公式
回章首
回节首
21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
1 R1 1 R3
U 2 (i1 i3 ) R2 i3 (U 2 U 3 ) U 3 i3 R4
U1为输入量,U3为输出量，i1, i3,U2 为中间变量。 按上述方程组绘制信号流图如图 所示。
混合节点 U3 通过增加一个单位传 输的支路变为阱点。
回章首
回节首
12
2) 按结构图绘制信号流图 方法： 将传递函数变为传输；
H1 (s)
回章首 回节首 15
从图中可以看到，支路、支路增益、回路等，两图一一对应。 信号流图 结构图 这样，在应用梅逊公式作结构图化简时，可以省去信号流图，直 接在结构图上完成。
回章首
回节首
16
4. 梅逊公式
梅逊公式可以直接计算出某一源点到某一阱点的总增益，而不需 对信号流图作任何变换。
4l?12345226452327241lgggghlggghlgghgh???1234341llllll??特征式?为回节首回章首23前向通路p1与四个回路均接触11?闭环传递函数为34341aalll??前向通路p3与回路l4不接触21?前向通路p2与四个回路均接触回节首回章首14272142722546254321g4g72154615g4g32h1g434321432133221111111?hghhghgghgggghggggggggggggglllllllpppppppsrsy?????
自动控制原理及系统练习题
<<自动控制原理及系统>>练习题一、选择题（以下小题中各项只有一个选项是正确的，请把正确答案写在括号中）1．经典控制理论研究的对象是 （ C ）A 多输入多输出系统B 非线性系统C 线性定常系统D 多输出的非线性系统2．单位脉冲信号的拉式变换为 （ C ） A 1SB 21SC 1D 2S 3．开环控制的特征是 ( C. )A.系统无执行环节B.系统无给定环节C.系统无反馈环节D.系统无放大环节4．自动跟踪系统按给定值的变化来划分，属于 （ B ）A 定值控制系统B 随动控制系统C 程序控制系统D 闭环控制系统5.对于自动控制系统的输出响应，我们总是希望系统为 （ B ）A 非周期响应B 衰减振荡响应C 等幅振荡响应D 发散振荡响应6. 典型二阶系统的单位阶跃响应和ζ有关，1<ζ属于 （ A ）A 过阻尼B 无阻尼C 临界阻尼D 欠阻尼7. 对于空调控温这个自动控制系统，请指出它的被控变量是哪个 （ B ）A 空调器B 房内温度C 房间D 房间里的人8. 描述控制系统可以用数学模型来表达，典型控制系统中最常用的为（ B ）A 微分方程B 传递函数C 系统结构图D 响应曲线9.Ⅱ型控制系统的对数幅频特性曲线中，低频段的斜率为 （ -40 ）A -20B -40C 20D 4010.在工程中，对于二阶系统的最佳性能所对应的阻尼比为 （ D ）A 0.5B 0.8C 0.3D 0.70711.在应用频率特性法设计自动控制系统时，通常希望其对数幅频特性L(ω)曲线在过零分贝线时的斜率为 ( A. )A.-20dB/decB.+20dB/decC.0dB/decD.-40dB/dec12.若系统的开环传递函数为2)s(5s 10+，则它的开环增益为 ( D )A.10B.2C.1D.513.某环节的传递函数为1Ts K+，它的对数幅频率特性L(ω)随K 值增加而 ( A. )A.上移B.下移C.左移D.右移14．一阶系统的单位阶跃响应为 （C ． ）A ．等幅振荡B ．水平直线C ．按指数规律单调上升曲线D ．斜率为1／T 的斜直线15.与开环控制系统相比较，闭环控制系统通常对 ( A )进行直接或间接地测量，通过反馈环节去影响控制信号。
自动控制原理B及答案
东北农业大学成人教育学院考试题签自动控制原理（B ）一、填空题（每空 1 分，共20分）1、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过 与反馈量的差值进行的。
2、复合控制有两种基本形式：即按 的前馈复合控制和按 的前馈复合控制。
3、两个传递函数分别为G 1(s)与G 2(s)的环节，以并联方式连接，其等效传递函数为()G s ，则G(s)为 （用G 1(s)与G 2(s) 表示）。
4、若某系统的单位脉冲响应为0.20.5()105t t g t e e --=+，则该系统的传递函数G(s)为 。
5、根轨迹起始于 ，终止于 。
6、设某最小相位系统的相频特性为101()()90()tg tg T ϕωτωω--=--，则该系统的开环传递函数 为7、在水箱水温控制系统中，受控对象为 ，被控量为 。
8、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为 ；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为 ；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于 。
9、稳定是对控制系统最基本的要求，若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，则该系统 。
判断一个闭环线性控制系统是否稳定，在时域分析中采用 ；在频域分析中采用 。
10、传递函数是指在 初始条件下、线性定常控制系统的 与 之比。
11、设系统的开环传递函数为2(1)(1)K s s Ts τ++，则其开环幅频特性为 二、选择题（每题 2 分，共30分）1、关于奈氏判据及其辅助函数 F(s)= 1 + G(s)H(s)，错误的说法是 ( ) A 、 F(s)的零点就是开环传递函数的极点 B 、 F(s)的极点就是开环传递函数的极点 C 、 F(s)的零点数与极点数相同D 、 F(s)的零点就是闭环传递函数的极点 2、已知负反馈系统的开环传递函数为221()6100s G s s s +=++，则该系统的闭环特征方程为 ( )。
(第04讲) 第二章 方框图与梅逊公式
3
(3)引出点（分支点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G1 (s)
P(s) G2 (s)
C(s)
P(s)
图2-20 引出点示意图
注意：同一位置引出的信号 大小和性质完全一样。
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
4
2.5.2 方块图的简化——等效变换
为了由系统的方块图方便地写出它的传递函数，通常需要 对方块图进行等效变换。方块图的等效变换必须遵守一个原则， 即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中， 任何复杂系统主要由各个环节的方块经串联、并联和反馈三种 基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。 （1）串联连接
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 9
B( s ) H ( s ) X o ( s ) E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) H ( s ) X o ( s ) X o (s) G(s) E (s) G(s) [ X i (s) H (s) X o (s)]
X o ( s) G( s) X i (s) 1 G( s) H ( s)
对于具有负反馈环节的闭环系统的传递函数，分子是 前向通道的传递函数，分母是1加上前向通道的传递函数与 反馈通道的传递函数的乘积。 同理，对于具有正反馈环节的闭环系统的传递函数，分 子是前向通道的传递函数，分母是1减前向通道的传递函数 与反馈通道的传递函数的乘积。
17
R1 Ur (s)
1
C2 s
1 R2 1 C2 s
2
-
1 R1
1 C1s
Uc (s)
简化提示： •引出点A后移
自动控制原理梅逊公式例题
] 1 [ G2G3 H 2 G4G5 H3 G3G4 H 4 G1G2G3G4G5G6 H1 (G2G3 H2 )(G4G5 H3 )
1 G2G3 H2 G4G5 H3 G3G4 H4 G1G2G3G4G5G6 H1 G2G3G4G5 H2 H3
G1G2G4 G1G2G3 H
§2.6 控制系统的传递函数
1. 开环传递函数
2. 输入 r(t) 作用下的闭环传递函数
控制系统的传递函数
3. 干扰 n(t) 作用下的闭环传递函数
4. 系统的总输出 C(s) 及总误差 E(s)
控制系统的传递函数 (例)
例7 系统结构图如右图所示， 求当输入 r(t) = 1(t) 干扰 n(t) =d(t) 初条件 c(0) = -1 c’(0) = 0 时系统的总输出 c(t) 和总误差e(t)。 求解
第二章小结
自动控制原理
本次课程作业(7) 2 —14, 15, 17, 18
Mason 公式（5）
例 5 求传递函数 C(s)/R(s)
控制系统结构图
例 5 求C(s)/R(s)
1 [G2 H2 G1G2G3G4 H1 G1G2G4 H1 ]
1 G2 H2 G1G2G3G4 H1 G1G2G4 H1
P1 G1G2G3G4
1 1
P2 G1G2G4
2 1
P3 G2G3G4G5
3 1
P4 G2Leabharlann 4G54 1P5 G3G4G6
5 1
P6 G6 H2G2G4
6 1
(s) G1G2G3G4 G1G2G4 G2G3G4G5 G2G4G5 G3G4G6 G2G4G6 H 2 1 G2 H 2 G1G2G3G4 H1 G1G2G4 H1
自动控制原理 第六课 动态结构图 梅逊公式
§2-4 传递函数定义控制系统的传递函数为 在零初始条件下 ，输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换之比。
表示为Y ( s ) bm s m + bm -1 s m -1 + ... + b1 s + b0 G( s) = = n , n ³ m (2-95) n -1 U (s) s + a n -1 s + ... + a1 s + a0系统的输出可表示为传递函数与控制输入的乘积Y ( s) = G ( s) × U ( s)(2-96)U(s)G(s)Y(s)回章首回节首12-4-3 控制系统的传递函数 1．复数阻抗U R (s) Z R ( s) = =R I R (s)(2-100)ZC ( s) =UC (s) 1 = I C ( s ) Cs(2-101)U L ( s) Z L ( s) = = Ls I L (s)回章首 回节首(2-102)22．典型环节 (1) 比例环节G(s) = Uo (s) =K Ui (s)(2) 积分环节G( s) = Uo ( s) 1 = Ui ( s) Ts(3) 微分环节U o (s) G (s) = = ts U i (s)3(4) 一阶惯性环节U o ( s) 1 G( s ) = = U i ( s) Ts + 1(5) 二阶振荡环节G( s) = U o ( s) 1 = 2 2 U i ( s ) T s + 2xTs + 1(6) 延迟环节G( s) = U o (s) = e -ts U i ( s)4画结构图时，所依据的原则是信号流通关系。
下面以实例来说明。
[例2-25] 已知两级RC网络如图2-33所示，作出该系 统的结构图。
解 设一个中间变量为电容C1 的电压Ux， 采 用复 数阻抗法顺序写出各 算子代数方程和方块图如下:回章首回节首5(1) U i ( s ) - U x ( s ) = U R1 ( s )(2) U R1 ( s ) × 1 = I ( s) R1(3) I ( s ) - I 2 ( s ) = I1 ( s )( 4) I 1 ( s ) × 1 = U x ( s ) C1 s(5) U x ( s ) - U o ( s ) = U R2 ( s )回章首回节首6(6) U R2 ( s ) × 1 = I 2 ( s ) R2 (7 ) I 2 ( s ) × 1 = U o ( s ) C2 s将各基本环节的方块按照信号流通方向连接起来 就可以得到如图2-33所示的系统方块图。
控制工程基础第二章方框图和梅逊公式第五讲
3、消去H1(s) 反馈回路
4、消去H3(s) 反馈回路
信号流程图和梅逊公式 信号流图及其术语
信号流图起源于梅逊（SS. JJ. MASON）利用图示 法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组 成的一种信号传递网络。
例： x 2 = x1 + ex 3
x3 = ax 2 + fx 4
输出节点（阱点、汇点） 只有输入的节点，代表系统的输出变量。
混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条 具有单位增益的支路，可将混合节点变为输出节点。
通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。
前向通路 从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不 多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘 积，称前向通路总增益，一般用pk表示。
无源rc电路网络方框图的简化方框图的运算法则串联方框图变换法则求和点后移求和点前移求和点的移动引出点的移动引出点前移引出点后移由方框图求系统传递函数
六、方框图和信号流程图
方框图 系统方框图是控制系统的动态数学模型的图解形式。
可以形象直观地描述系统中各环节间的相互关系及其功 能以及信号在系统中的传递、变换过程。 注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不 一定相同。
系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及
扰动n(t)共同作用下的总输出为：
上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的 结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。
方框图的结构要素
信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，
直线旁标记变量，即信号的时间函数或象函数。
信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。
自动控制原理习题与答案解析
1、绘制该系统以根轨迹增益Kr为变量的根轨迹（求出：分离点、与虚轴的交点等）；（8分）
2、求系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益K的取值范围。（7分）
六、（共22分）已知反馈系统的开环传递函数为 ，试：
1、用奈奎斯特判据判断系统的稳定性；（10分）
4、 ； ； ；衰减振荡
5、 ；
6、开环极点；开环零点
7、
8、 ； ；稳态性能
二、判断选择题(每题2分，共 20分)
1、D 2、A 3、C 4、A 5、D 6、A 7、B 8、C 9、B 10、B
三、(8分)建立电路的动态微分方程，并求传递函数。
解：1、建立电路的动态微分方程
根据KCL有 (2分)
即 (2分)
3、在经典控制理论中，可采用、根轨迹法或等方法判断线性控制系统稳定性。
4、控制系统的数学模型，取决于系统和, 与外作用及初始条件无关。
依题意： ， （3分）
得 （2分）
故满足稳态误差要求的开环传递函数为
3、满足稳态误差要求系统的相角裕度 ：
令幅频特性： ，得 ， （2分）
， （1分）
相角裕度 ： （2分）
试题三
一、填空题（每空 1 分，共Байду номын сангаас0分）
1、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：、快速性和。
2、控制系统的称为传递函数。一阶系统传函标准形式是，二阶系统传函标准形式是。
开环相频特性： （1分）
3、求系统的相角裕度 ：
求幅值穿越频率，令 得 （3分）
（2分）
（2分）
对最小相位系统 临界稳定
4、（4分）可以采用以下措施提高系统的稳定裕度：增加串联超前校正装置；增加串联滞后校正装置；增加串联滞后-超前校正装置；增加开环零点；增加PI或PD或PID控制器；在积分环节外加单位负反馈。
框图化简、梅逊公式习题
图 RC无源网络结构图
2 结构图的等效变换和简化
复杂系统结构图，其方框间的连接是错综复杂的，但方框 间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。
在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持等效的原则，
例：化简下列系统结构图，并求出传递函数 。
解：
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
梅森公式
G4
C(s) R
求
：
R(s)
E G1
G2
H1
H1H2
G3 H2
C
前向通道有二，分别为: P1 G1G2G3, P2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1,G3H2 ,G1G2G3H1H2
有两个不接触回路，所以：
1 La LbLc 1 G1H1 G3H2 G1G2G3H1H2 G1G3H1H2
e
e1
-H
G3 e2
G4
解：①用小圆圈表示各变 C 量对应的节点A1, A2
②在比较点之后的引出点
只需在比较点后设置一个节 点便可。也即可以与它前面 的比较点共用一个节点。
③在比较点之前的引出点B，需设 置两个节点，分别表示引出点和 比较点，注意图中的 e1 e2
例 (a) x1
求图（a）所示信号流图的总增益
C(s)
R(s) _
G1
G2G3G4 1 G3G4H3 G2G3H2
H3
C(s)
R(s)
G1G2G3G4
C(s)
1 G3G4H3 G2G3H2 G1G2G3G4H1
(s)
G1(s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)
1 G2 (s)G3 (s)H2 (s) G3 (s)G4 (s)H3 (s) G1(s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)H1(s)
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H3 s H (s) 2 G1 s G2 s G3 s H3 s H1 s G4 s
C s
– 首先将 G3 s , G4 s 间的引出点后移到方框的输出端
H 3(s) s H 2 G1 s G2 s 1 G4 s G3 s H3 s H1 s G4 s C s
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 H2
C
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
△k称为第k条前向通路的余子式
求法: 去掉第k条前向通路后所求的△
梅逊公式例R-C
R(s)
G (s) G (s) 44
G1 1(s) H1(s) G2 2(s) G3 (s) 3 3
H3(s)
△2=1+G1H1
C(s)
△1=1
G4(s) G1(s)C(s) =? G2(s) R(s)
L3= – G1G2G3H3H1
1 1
L2 G1G2G3 H2
P 1 G 1G2G3G4 L1 G2G3 H3
C P R
P
k 1 k
n
L3 G1G2G3G4 H1 L4 G3G4 H 4 1 ( L1 L2 L3 L4 )
k
L2 G1G2G3 H2
P 1 G 1G2G3G4 L1 G2G3 H3
H1
C (s)
R( s )
_
G1
G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3 H 2
C (s)
H3
R( s )
G1G2G3G4 1 G3G4 H 3 G2G3H 2 G1G2G3G4 H1
C (s)
( s )
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) 1 G2 ( s)G3 ( s) H 2 ( s) G3 ( s)G4 ( s) H 3 ( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s) H1 ( s)
1 G4 s G3 s H3 s G4 s C s
G1 s
G2 sபைடு நூலகம்
H1 s
– 得到图为
H2(s)/G4(s) H 3 s G4 s
R s
G1 s
G2 s H1 s
G34 s
C s
27
H2(s)/G4(s) H 3 s G4 s
G2
H1H 2
G3 H2
C
1 La Lb Lc 1 G1H1 G3 H2 G1G2G3 H1H2 G1G3 H1H2
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
R s
25
H2 H s 3 (s)
R s
1 G4 s G3 s H3 s G4 s C s
G1 s
G2 s
H1 s
HH 2(s)/G 4(s) 3 s G4 s
R s
G1 s
G2 s H1 s
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
C (s) 求 ： R(s)
R
G4 E G1 H1
解：（1）找出上图中所有的前向通路 只有一条前向通路
T1 G1G2G3G4
（2）找出系统中存在的所有的回路 共有三个回路，三个回路的传输之和为
1 L1 L2 L3 （3）这三个回路都存在公共节点，即不存在不接触回路。故系统的特征方程 式为： 1 L
G23 s G2 s G3 s G4 s 1 G3 s G4 s H3 s ＋G2 s G3 s H 2 s
28
R s
G1 s H1 s
G23 s
C s
G2 s G3 s G4 s 其中： G23 s 1 G s G s H s ＋G s G s H s 3 4 3 2 3 2
梅逊公式介绍 R-C : △称为系统特征式
C(s) = R(s)
∑Pk△k △
△=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
其中:
∑La
—
所有单独回路增益之和
∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
框图化简、梅逊公式习题
A
B C
求下列由弹簧-质量-阻尼器组成的机械系统传递函数。
m
k
f
(a)
(b)
例 绘制如图所示 RC 无源网络的结构图
解 将无源网络视为一个系 统，组成网络的元件就对应于系 统的元部件。应用复阻抗概念， 根据基尔霍夫定律写出以下方程：
RC无源网络
按照这些方程可分别绘制相 应元件的方框图如图(a) - (d)所 示。然后用信号线按信号流向 依次将各方框连接起来，便得 到无源网络的结构图，见图(e).
最后将求得其传递函数为：
GA ( s ) = G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s )
1 +G 2 ( s ) G3 ( s ) H 2 ( s ) +G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 3 ( s ) ＋G1 ( s ) G 2 ( s ) G 3 ( s ) G 4 ( s ) H 1 ( s )
G 3(s) G 3(s)
P2= G4G3
L4= – G4G3
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1 L5 = – G1G2G3 L2= – G3 H3 L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
用梅逊公式求下图中信号流图的传递函数。
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数
G4
R E
1 1, 2 1 G1H1 G1G2G3 G3G4 G1G3G4 H1 1 2 P Pk k k 1 1 G1H1 G3 H 2 G1G2G3 H1H 2 G1G3 H1H 2
G34 s
C s
– 接着将 G3 s , G4 s , H3 s 组成的内反馈网络简化，其等效传 递函数为
G3 s G4 s G34 s 1 G3 s G4 s H3 s
26
H2 H s 3 (s)
R s
第二章 自动控制系统的数学模型
最终结果：
例 试简化如图的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).
系统结构图
R( s )
_ _
G1
H2
G2
H1
G3
G4
H3
C (s)
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G2
H1
-
G3
G4
H3
C (s)
H2
R( s )
_
G1
_
G4
G3G4 1 G3G4 H 3
G2
试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数。
H 4(s)
R(s)
G1(s)
G 2(s) G 3(s) G 4(s)
C(s)
-
H 3(s)
-
+
H 2(s)
H 1(s)
解. 本题信号流图为 R( s ) 1 G1
G2
-H4 -H3
G3
G4
1
C (s)
-1
-H2
-H1
L3 G1G2G3G4 H1 L4 G3G4 H 4 1 ( L1 L2 L3 L4 )
-
C ( s) E ( s) , R( s) R( s)
C
G1
H1
+
G2
+ -
G3
H2
[解]：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：
R
G4 E G1 H1
G2
H1H 2
G3 C H2
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：
梅森公式
前向通道有二，分别为: P 1 G 1G2G3 , P 2 G3G4
回路有三，分别为： G1H1 ,G3 H 2 ,G1G2G3 H1H 2 有两个不接触回路，所以：