平面向量与圆锥曲线结合的高考题解法[1]

80
m
-
64
m
= 1, m = ± 4. 但当 m = - 4 时 ,
图 2 ) , 且 c = 2, a = 1. 易知 b = 1. 故曲线 E 的方程为
x - y = 1 ( x < 0) .
2 2
所得的点在双曲线的右支上 , 不合题意 . 所以 m = 4,
C 点坐标为 ( - 5, 2 ) . C 到 AB 距离为
故直线 AB 的方程为
5 x + y + 1 = 0. 2
设 C ( xC , yC ) , 由已知 OA + OB = m OC, 得
( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( m xC , m yC ) , x1 + x2 y1 + y2 (m ≠0 ) . , m m
是曲线 E, 直线 y = kx - 1 与曲线 E 交于 A, B 两点 , 如 果 | AB | = 6 3, 且曲线 E 上存在一点 C, 使得 OA +
( Ⅱ) OD = OA + AD = OA + t AB
Hale Waihona Puke Baidu
率的变化范围 ;
( Ⅱ) 求动点 M 的轨迹方程 .
命题立意 此题旨在考查运动变化的思想 , 斜 率的概念 , 及求动点轨迹方程的参数法 . 思路分析 ( Ⅰ) 由 AD = t AB , B E = t B C, DM =
t D E, 可知 D 是 AB 线上的动点 , E 是 CB 线段上的动
- 1 ) , C ( - 2, 1 ) , 三动点 D,
E, M 满 足 AD = t AB , B E = t B C, DM = t D E, t∈ [ 0, 1 ]. ( Ⅰ) 求动直线 D E 的斜
= t ( - 2 t + 2 t - 2, 2 t - 1 + 2 t - 1 )
2 = ( - 2 t, 4 t - 2 t) ,
2
最小值为 2 5 / 5, 求 p的值 . 命题立意 本题主要考查学生平面向量的基本 运算 、 圆与抛物线的方程 、 点到直线的距离等基础知 识 , 考查运用解析几何知识将向量与圆锥曲线问题 有机结合在一起 . 解题过程略 .
3 与存在性有关的问题
2 2 6 (1 + k ) , 2 3k + 1
2 1 +k ・
( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2
线 C, 动点 P 在 C 上 , C 在点 P 处的切线与 x, y 轴的 交点分别为 A, B , 且向量 OM = OA + OB , 求 :
( Ⅰ) 点 M 的轨迹方程 ; ( Ⅱ) | OM |的最小值 .
- 2k 2 1- k
2
-2 -4× 2 1- k
( 1 + k2 ) ( 2 - k2 ) . ( 1 - k2 ) 2 ( 1 + k2 ) ( 2 - k2 ) = 6 3, 整理后 ( 1 - k2 ) 2
命题立意 本题主要考查直线与椭圆的位置关 系 , 向量的坐标运算 , 同时考查综合解题的能力 . 思路分析 通过求导求切线 , 通过相关点法求 出 M 的轨迹方程 , 利用均值定理可求出 | OM |的最 值 . 解题过程略 .
| ( 5 / 2 ) ×( - 5 ) + 2 + 1 |
( 5 /2)
2 2
=
设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 由 题意建 立方 程组
y = kx - 1, x - y = 1.
2 2
+1
1 . 3
消 图 2
1 1 所以 △AB C 的面积 S = × 6 3 × = 3. 2 2
2 2
2
y2 ) y = 0. ( Ⅰ) 证明线段 AB 是圆 C 的直径 ; ( Ⅱ) 当圆 C 的圆心到直线 x - 2 y = 0 的距离的
|MN | = = = 1 +k
( x1 + x2 ) 2 - 4 x1 x2
-
12 k 2 3k + 1
2
2
12 k - 6 - 4・ 2 3k + 1
| OM | | ON | cot∠MON = | OM | | ON | sin ∠MON =
a
b
b > 0 ) 的焦点 , 且椭圆 C 的中心关于直线 l的对称点
在椭圆 C 的右准线上 .
( Ⅰ) 求椭圆 C 的方程 ; ( Ⅱ) 是否存在过点 E ( - 2, 0 ) 的直线 m 交椭圆 C 于 M , N , 满足 OM ・ON =
xO y 中 , 有一个以 F1 ( 0, 2
-2 . 2 >0 1- k
解得 - 2 < k < - 1. 又 | AB | =
= = =2 1 + k | x1 - x2 |
2 2
3 ) 和 F2 ( 0, 3 ) 为焦点 ,
离心率为
3 的椭圆 , 设椭圆在第一象限的部分为曲 2
1 +k ・
AC 为止 .
= OD + t ( O E - OD ) = ( 1 - t) OD + t O E
2 2 = ( 1 - t) OA + 2 ( 1 - t) t OB + t OC.
y =
=
1
y1
2
+
1
y2
2 + sin α 2
因为 π 6
π π π π α≤2 , 所以当 α = 或 α = 2 时 , y ≤ 3 3 3 3 π 时 , y 取得最小值 , 2
=
2 t - 1 - ( - 2 t + 1) = 1 - 2t . - 2 t - ( - 2 t + 2)
又 t∈ [ 0, 1 ], 所以 kD E ∈ [ - 1, 1 ].
( Ⅱ) 由 DM = t D E, 得 ( x + 2 t - 2, y + 2 t - 1 )
例 1 ( 2006 年陕西 ) 如 图 1, 三 定 点 A ( 2, 1 ) , B ( 0,
y) . 由 AD = t AB , B E = t B C, 知 ( xD - 2, yD - 1 ) = t ( - 2, - 2 ) , xD = - 2 t + 2, yD = - 2 t + 1. yE - yD xE - xD xE = - 2 t, yE = 2 t - 1.
即
同理
则 kD E =
= OA + t ( OB - OA ) = ( 1 - t) OA + t OB ,
O E = OB + B E = OB + t B C
= OB + t ( OC - OB ) = ( 1 - t) OB + t OC,
OM = OD + DM = OD + t D E
点 , M 是 D E 线段上的动点 , 且 t∈ [ 0, 1 ], 所以 kD E的 斜率是随着线段 D E 由 AB 按顺时针方向旋转转到
点 O 到直线 MN 的距离 d = 因为 OM ・ON =
| 2k | 1 +k
2
.
4 MON , 即 6cot∠ 3 4 cos∠MON ≠0, 6 3 sin∠MON 4 6. 3
例 5 ( 2005 年福建 ) 已知方向向量 v = ( 1, 3 )
2 2 x y 的直线 l过点 ( 0, - 2 3 ) 和椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a >
1 与轨迹方程有关的问题
( Ⅱ) 由 DM = t D E和向量的坐标运算得到动点
M 的坐标 ( x, y ) 与参数 t 的关系 , 从而消参数得到 ,
但要注意参数范围 , 从而限制轨迹的范围 . 解法 1 ( Ⅰ ) 设 D ( xD , yD ) , E ( xE , yE ) , M ( x,
2 与求值及范围有关的问题
依题意得 2
得 28 k4 - 55 k2 + 25 = 0, 解得 k2 =
- 2 < k < - 1, 所以 k = 5 . 2
5 5 2 ,或 k = . 但 7 4
例 3 ( 2006 年四川 ) 已知两定点 F1 ( - 2, 0 ) ,
F2 ( 2, 0 ) , 满足条件 | PF2 | - | PF1 | = 2 的点的轨迹
去 y, 得 ( 1 - k2 ) x2 + 2 kx - 2 = 0.
例 4 ( 2006 年辽宁 ) 已知点 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 ,
2 y2 ) ( x1 , x2 ≠0 ) 是抛物线 y = 2 px上的两个动点 , O
又已知直线与双曲线左支交于 A, B 两点 , 有
- 1 ) , OC = ( - 2, 1 ) , 得
x = ( 1 - t) 2 ・2 + 2 ( 1 - t) t・0 + t2 ( - 2 ) = 2 ( 1 - 2 t) , y = ( 1 - t) 2 ・1 + 2 ( 1 - t) t・ ( - 1 ) + t2 ・1 = ( 1 - 2 t) 2 ,
1 - k ≠0,
Δ = ( 2 k ) 2 + 8 ( 1 - k2 ) > 0,
x1 + x2 = x1 x2 =
- 2k 2 < 0, 1- k
消去 t, 得 x2 = 4 y. 又 t∈ [ 0, 1 ], x ∈ [ - 2, 2 ], 故轨迹 方程是 x = 4 y, x ∈ [ - 2, 2 ]. 例 2 ( 2006 年全国卷 Ⅰ ) 在平面直角坐标系
即 x = 2 ( 1 - 2 t) , y = ( 1 - 2 t) 2 , x2 = 4 y. 因为 t∈ [ 0, 1 ], 所以 x = 2 ( 1 - 2 t) ∈ [ - 2, 2 ]. 图 1 故所求轨迹方程为 x2 = 4 y, x ∈ [ - 2, 2 ]. 解法 2 ( Ⅰ) 同上
π 144 2 sin α + 2 6 sin α
2
取得最大值 , ym ax = 240; 当 α =
ym in = 216.
= 72 ( 3 + cot α) .
(收稿日期 : 2007 2 06 2 22 )
2007 年第 10 期 数学教学研究
27
2
设 M 点坐标为 ( x, y ) , 由 OA = ( 2, 1 ) , OB = ( 0,
F1 ( - 2, 0 ) , F2 ( 2, 0 ) 为焦点的双曲线的左支 (见
2k = - 4 5, 2 k - 1 2k - 2 = 8. k - 1
2 2
y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) - 2 =
所以点 C
E 的方程 , 得
2
4 5 8 . 将点 C 的坐标代入曲线 ,
m
2
m
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数 学 教 学 研 究 2007 年第 10 期
平面向量与圆锥曲线结合的高考题解法
胡群海
(湖北省武穴实验高中 435400 )
平面向量是新教材新增内容 , 体现了现代数学 思想 . 它作为工具性知识兼具代数与几何形式的双 重身份 , 故它是联系多项知识的媒介 , 成为中学数学 知识的一个交汇点 . 而圆锥曲线对高中数学的许多 知识点都有一定的亲合力 . 在知识网络的交汇点上 设计试题是高考命题的主导思想 , 因此 , 解析几何与 平面向量的融合交汇必将成为新课程高考命题改革 的发展方向 . 本文就近年高考中出现得比较频繁的 一种题型 , 即平面向量与圆锥曲线相耦合的题型进 行分析 , 以便大家能够准确地理解这类问题的特性 , 掌握解决它的方法和技巧 .
所以 S △OMN = 即 4 6 | k |
2 4 6, |MN | ・d = 6, 3 3
k +1 =
2
4 2 6 ( 3k + 1) , 3
4 6, cot ∠MON ≠ 0 ( O 3
整理得 k2 =
1 3 ,k= ± . 3 3 2 6. 3
OB = m OC, 求 m 的值和 △AB C 的面积 S.
所以 ( xC , yC ) = 又 x1 + x2 =
命题立意 本题主要考查双曲线的定义及性 质 , 直线与双曲线的位置关系 , 考查解析几何的基本 思想 、 方法和综合解决问题的能力 . 思路分析 联立直线与双曲线 , 通过韦达定理 、 弦长公式等进行计算 . 解 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 , 曲 线 E 是 以
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数 学 教 学 研 究 2007 年第 10 期
x1 x2 =
为坐标原点 , 向量 OA, OB 满足 | OA + OB | = | OA 2 2 OB | , 设圆 C 的方程为 x + y - ( x1 + x2 ) x - ( y1 +
12 k - 6 , 2 3k + 1 1 +k