第二章 误差分布与精度指标

x 1x n ... x 2x n ... ..... 2 ... xn ...
3. 描述偶然误差分布的三种方法：
1) 列表法 在相同的观测条件下,对某测区817个三角形的内 角进行了观测，并按下式求出内角和的误差为
i 1800 Li1 Li 2 Li3 ,
当n维随机向量中任意两个随机变量均为互不相关时, 则σij=0 (i≠j)。此时方差阵Dx即变为对角阵:
2 0 ... 0 1 2 0 2 ... 0 Dx ..... ..... ... ..... 2 0 ... n 0
进一步， 当 ... ， 即方差阵中的 主对角线元素均为同一数值时， 则Dx变为数量矩阵，表 明所有观测值的精度均相同。
P 2 2 0.954 P 3 3 0.997
大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是 小概率事件， 在一次观测中， 可认为是不可能事件。因 此，可规定三倍中误差为极限误差。即 Δ限=3σ
对观测要求较严时， 也可规定两倍中误差为极限误差， 即 Δ限=2σ
1 1
2 1 3 2

y x1 1 x y 2 1
DYX E Y E Y X E X
3, 2

xy xy x y x y
1 2 2 3
T

1 1
y E 1 E y E 2 y E 3
i 1,2,817
设以dΔ表示误差区间并令其等于0.5″，误差分别按正 误差和负误差重新排列， 统计误差出现在各区间的个数μ ，计算出误差出现在某区间内的频率μi/n，其结果列于表21中。 表2-1
为负值的Δ 误差区间 个数μ 0.0"----0.5" 0.5 ----1.0 1.0 ----1.5 1.5 ----2.0 2.0 ----2.5 2.5 ----3.0 3.0 ----3.5 3.5 以上 和 123 104 75 55 27 20 10 0 414 0.151 0.127 0.092 0.067 0.033 0.025 0.012 0 0.507 μ/n 个数μ 121 90 78 51 39 15 9 0 403 相对个数 μ/n 0.148 0.110 0.096 0.062 0.048 0.018 0.011 0 0.493 为正值的Δ
2 1
2 n
方差和中误差的估值公式为
ˆ 2 n . ˆ
n
例〔2－3－1〕为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精 度, 现对某一精确测定的水平角(β=65°28′34.0″)作 25 次 观测, 根据观测结果算得各次观测误差为(单位:秒): +1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8 试根据Δi计算测角精度 ˆ ˆ 2和
~ E L E L 0 ~ E L L
这表明, 若观测值中不含有系统误差和粗差, 则观测量的期望值就是其真值。
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2.3 衡量精度的指标
1 观测量的精度指标
（1）观测条件与 精密度
精密度是指一组偶然误差分布 的密集与离散的程度，是观测值与 其期望值接近的程度，表征观测结 果偶然误差大小的程度。
i 1,2,...,n
是各随机变量的方差

x Ex x E x x E x x Ex E
E
i i j j j j i i
i j
ji
i j 1,2,...,n
称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。
协方差 x x 是两个随机变量相关程度的指标。






为书写方便，可简记为:
式中
2 1 21 Dx ..... n1
... 2 2n ..... ... ..... 2 n2 ... n
12 2

...

1n

ij
2 ii
E xi E xi xi E xi
该组误差的分布规律为: 绝对值较小的误差比绝对值 较大的误差多； 绝对值相等的正误差个数与负误差个数相 近, 误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过3.5″。 2). 直方图法 根据表2-1的数据， 以误 差Δ的数值为横坐标，以 μ/n/dΔ为纵坐标可绘制出直方 图，如图2-1所示。 每一误差区间上的长方形 面积表示误差在该区间出现的 相对个数，所有长方形面积之 和等于1。
互协方差阵的元素是两随机向量中两两随机变量的协方差。
互协方差阵有以下性质:
D D D D T E X E X Y E Y DXY
T XY T YX YX XY
因为
则
D XY E Y E Y X E X DYX
y y x y E , E x x x y x x y y x
1 2 1 1 2 2
2
1
3
3
1
y1x2 y 2 x2 y3 x2
n 2 1 2
1 1 exp ( X X )T DXX ( X X ) 2
其中
X 1 2 n T E( x1 ) E( x2 )E( xn )T
n1
2 x 1x 2 x1 2 x 2x 1 x2 D X ..... ..... n ,n x x x 2x 1 n 1
了解偶然误差的分布规 律、三个特性和两个重要概 念。 明确精度、准确度与精 确度的概念，熟记衡量精度 的指标，掌握精度计算的方 法。
第2章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度 测量不确定度
2.1 正态分布
1. 一维正态分布
随机变量X服从正态分布可表示为 其概率密度为
T n ,n
x1 E x1 x2 E x2 E E x1, x2 E x2 ,...,xn E xn x 1 .......... x E x n n 2 ... x1 x1 x2 x1 xn 2 ... x2 x2 xn x2 x1 ..... ... ..... ..... 2 ... xn x1 x n x2 xn
X
n ,1
x
1
x
2
x
n
随机向量的数学期望E(X)定义为
T E X E ( x1) E ( x2) ... E ( xn) n ,1


E(X)也是一个n维随机向量，其元素是随机变量的数 学期望E(xi)。随机向量的方差阵定义为
D x E X E X X E X
f x 1 2
X ~ N ,
1 2 exp 2 ( x ) 2
( x )
2. n 维正态分布
随机向量 X x1 x2 xn T 服从正态分布可表示为 X ~ N X , DXX ，其概率密度为
f x1 , x2 xn 1 (2 ) DXX
2 1 2 2 2 n 2
（2）两随机向量的互协方差阵
设有两个随机向量:
X
n ,1
x1

x
y
2
...
...
x
n
T
Y
定义
t ,1
y
1
2
y
tபைடு நூலகம்
T
D EY EY X E X
D XY E X E X Y EY
YX
T
T
分别为向量X对向量Y和向量Y对向量X的互协方差阵。
平均误差与或然误差：
平均误差：:
lim
n
2
n

0.798
或然误差: 或然误差ρ是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
误差分布与精度指标
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相对误差：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误 差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误 差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测 量中经常将分子化为1。即
互协方差阵一般不是方阵, 例如当n=2, t=3时， 有
D XY E X E X Y E Y
2,3

T

2 2 3 3
E x1 x 1 E x2 E x2
y E y , y E y , y E y
一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观 测条件较好，误差分布较密集，则其精密度较高。
观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各 自的真误差彼此并不一定相等。
（2）常用精密度指标 方差与中误差：
~ 设 L L 为服从正态分布的偶然误差，由方差与 期望的关系式知 D E E2 DL EL EL2
顾及
~ 2 E 0, EL L , L EL 2
则有
DL D E 2

由数学期望的定义，又可将方差和中误差分别表示为 ; 2 lim lim
n
n
n
2 2
n
上两式中
...
真误差 1 相对真误差＝ ＝ 观测值 N
中误差 1 相对中误差＝ ＝ 观测值 N
极限误差 1 相对极限误差＝ ＝ 观测值 N
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与相对误差相区别,真误差、中误差和极限误差统称 为绝对误差。 主页
2 观测向量的精密度指标 （1）n维随机向量的(协)方差阵
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 T ...
3).密度函数法
当误差个数n无限增多，并无限缩小误差区间时，图2-1 中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图2-2 所示。 已知偶然误差Δ是服 从正态分布的随机变量,它 的数学期望和方差分别为
D

E(Δ)=0
2
故Δ的密度函数为
f 1 2
2 e 2
2
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2.2 偶然误差的分布特性
分布特性：
1) 在一定的观测条件下, 误差的绝 对值不会超过一定的限值。（界限性） 2) 绝对值较小的误差比绝对值较大 的误差出现的概率要大。（小误差占优 性）。 3) 绝对值相等的正负误差出现的概率 相等。（对称性）
两个重要概念：
1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条 件来确定误差限值； 2) 由偶然误差的对称性和抵消性知，Δ的理 论平均值应为零，即有:
解:
［ΔΔ］=22.61
2 2 ˆ [] / n 22.61/ 25 0.90( )
ˆ n 0.90 0.95 "
极限误差：
极限误差就是最大误差。规定极限误差的根据是误差 出现在某一范围内的概率的大小。经统计Δ出现在(-σ,+ σ),(-2σ，+2σ)，(-3σ，+3σ)内的概率分别为 P 0.683