第二章 误差分布与精度指标
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第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
第二章误差分布与精度指标
第二章误差分布与精度指标在机器学习中，通过建立模型来预测目标变量或进行分类的过程中，会产生误差。
误差分布是指在不同的预测结果中，误差值的分布情况。
误差分布的分析和评估对于理解模型的表现和改进模型的精度都至关重要。
因此，本章将介绍误差分布的基本概念和精度指标的计算方法。
1.误差分布的基本概念在机器学习中，误差是指模型预测结果与真实值之间的差异。
具体来说，误差可以用公式表示为e = y - y_hat，其中e表示误差，y表示真实值，y_hat表示模型的预测值。
误差分布是指在一组预测结果中，误差值的分布情况。
通常来说，我们可以通过观察误差分布来判断模型的表现是否良好，以及可能存在的问题。
例如，如果误差分布呈现正态分布，则说明模型的预测结果与真实值的差别符合正态分布的规律，这可能意味着模型的表现较好；如果误差分布呈现偏态分布，则说明模型的预测结果在一些方向上存在较大的偏差，这可能意味着模型存在一定的问题。
2.精度指标的计算方法为了评估模型的表现和对比不同模型之间的优劣，我们需要引入一些精度指标。
下面介绍几个常用的精度指标及其计算方法：- 平均绝对误差（MAE）是最简单和最直观的误差度量方法。
它表示了预测结果与真实值之间的平均差异，计算公式为： MAE = 平均(，y - y_hat，)。
对于MAE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方误差（MSE）是一个比较常用的精度指标。
它表示了预测结果与真实值之间的均方差，即差异的平方的平均值，计算公式为：MSE = 平均((y - y_hat)^2)。
对于MSE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方根误差（RMSE）是MSE的平方根，计算公式为：RMSE =sqrt(MSE)。
与MSE类似，RMSE的数值越小表示模型的表现越好。
-决定系数（R^2）是用来描述模型对样本数据的解释能力的指标，计算公式为：R^2=1-(SSR/SST)，其中SSR代表回归平方和，SST代表总平方和。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
误差分布
方差
(随机变量或概率分布的)方差用符号 表 示 (x )
n 2
lim
2
i 1
i
n
n
测量值与期望之差是随机误差，方差就 是随机误差平方的期望值
V ( X ) E X E ( X )
2
2
( x )2 p( x)dx
方差说明了随机误差的大小和测量值的 分散程度。但由于方差的量纲是单位的 平方，使用不方便，因此引出了标准偏 差这个术语
概率(probability)
概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实 数
概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频
率有关 或与事件发生的可信程度(degree of belief)有关
-----------GBT 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与 用于概率的术语
4
4 3 4 4 , 4 4 , 4 表征了测量 4
协方差
定义
Cov( x, y)
( x x )( y y ) f ( x, y)dxdy
式中
x
y
xf ( x, y)dxdy
标准偏差
概率分布或随机变量的标准偏差是方差的 正平方根值，用符号表示
V (X )
标准偏差是无穷多次测量的随机误差平方 n 的算术平均值的正平方根值的极限， ( xi ) 2 lim i 1 n n
标准偏差
测量平差第二章精度指标与误差传播
t,
则有： t, d dt
1
2
e 2 2 d
2
1
t2
e 2 dt
2
t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率
积分表可得： 0.6750 2
3
由此可见：或然误差与中误差 也存在固定的比例关系,所以作 为衡量精度的指标,理论上是等 价的。
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2 ……Ln可表示为：
L1
L
n,1
L2
Ln
~
L1
~
~
L
n ,1
L2 L~n
n ,1
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16
…… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
i
为纵坐标值，使曲线
（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。
频率曲线变概率曲线
同条件下所得一组独立观测值，n足够大 时，误差出现在各个区间的频率总是稳 定在某一常数（理论频率）附近，n越 大；稳定程度越高。
《误差理论与数据处理》课程教学大纲
《误差理论与数据处理》课程教学大纲【课程代码】：13319608【英文译名】：Error Theory and Surveying Adjustment 【适用专业】：地理信息系统【学分数】：4 【总学时数】：64一、本课程教学目的和课程性质误差理论与数据处理是地理信息系统专业的工程技术基础必修课之一、通过学习本门课程，使学生能够应用概率和数理统计方法来分析观测数据，采用最小二乘法作为处理观测数据的基本原则，合理计算处理，以得到更接近真值的结果。
在内容上，主要讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的最新研究成果。
二、本课程的基本要求通过本门课程的学习,掌握平差课程的任务和研究对象,并很好的掌握几种主要的平差方法.在了解了近代平差基本理论和最新的研究成果基础上，在后续的课程中灵活应用对数据的处理和误差分析，为以后的工作和进一步深造打下良好的基础。
三、本课程与其他课程的关系前修课程:测量学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计；后续课程:GPS原理、摄影测量学、遥感原理与应用。
四、课程内容《误差理论与数据处理》是研究误差的一门学科，通过学习本门课程，使学生能正确处理测量数据，合理计算处理，以得到理想的结果。
本课程要求：基本知识的掌握，掌握误差的基本概念，不同性质误差的变化规律及处理方法。
权的概念及不等精度测量的数据处理方法，误差的合成及分配，回归、相关等。
本课程内容安排如下：第一章绪论基本内容：主要介绍有关误差的一些基本概念，观测误差及测量平差理论研究的对象。
属于了解内容。
第二章误差分布及精度指标环境与资源学院基本内容：本章节主要介绍有关平差的含义、观测条件、系统误差、偶然误差的概念。
及偶然误差的统计规律性及精度、方差、中误差的概念。
重点：掌握概念：观测条件、系统误差、偶然误差；难点：偶然误差的规律性以及所服从的分布；第三章协方差传播律及权基本内容：本章节主要介绍有关协因数传播率的概念及应用领域，使学生掌握协因数、协因数阵、权阵的概念；掌握协因数传播律的一般形式与特殊形式权倒数传播律。
第二章 误差分布与精度指标
+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8
试根据Δi计算测角精度ˆ 2 ˆ 和
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型
E(x) xi pi i 1
连续型
E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
离散型 连续型
D(x) [xi E(x)]2 pi i 1
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
角度元素没有相对精度。
§2-4 衡量精度的指标
相对真误差＝ 真误差 ＝ 1 观测值 N
相对中误差＝ 中误差 ＝ 1 观测值 N
相对极限误差＝ 极限误差 ＝ 1 观测值 N
注意：
§2-4 衡量精度的指标
1.只有当n较多时， 才能够比较准确地反映测量的精度
2.当n较少时 比 更可靠反映测量的精度
误差分布与精度指标
E
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
误差理论与测量平差基础第二章 误差分布与精度指标
或然误差的计算： 1 通过中误差计算 2 误差按绝对值大小排列，取中数 教材：例 2－1
第二章 误差分布与精度指标
中误差、平均误差和或然误差都可以作 为衡量精度的指标，但由于 中误差具有明确的几何意义（误差分布 曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理 论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡 量精度的指标，我国也统一采用中误差 作为衡量精度的指标。
x1xn x2 xn 2 xn
第二章 误差分布与精度指标
互协方差阵
X Z Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
T
DXY
x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x y x y n 2 n1
x1 yn x2 y n xn y n
T
DXY E X E( X )Y E(Y ) DYX
互协方差阵是表达两组观测值间两两观测值相关程度的指标
习题：2.6.18，2.6.19
第二章 误差分布与精度指标
小结：
1、几个名词
1 f () exp ( ) 2 , 2 2 2 1
式中： 和 为参数。
第二章 误差分布与精度指标
由密度函数 1 1 2 f () exp ( ) , 2 2 2 知，偶然误差 为一维正态随机变量。所以又称偶然 误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：
第二章 误差分布与精度指标
§2-2 正态分布
当偶然误差的个数 n 时，偶然误差出现的频 率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限 缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两 条光滑的曲线。
张卡第2章-误差分布与精度指标
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，也就 代表这组观测中的每一个观测值，都是同精度观测值。
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
21
一、衡量精度的指标
能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标。
1、方差和中误差
随机变量X的方差定义： X D( x) E[( x E ( x)) ] [ x E ( X )] f ( x)dx
n ,1
~ L1 L ~ 1 L 2 L2 n ,1 ~ Ln L n
~ n ,1 n ,1
则有， L L
若以观测量的数学期望表示其真值 E ( L) E ( L ), E ( L ),, E ( L )
6
二、n维正态分布
设随机变量X= (X1,X2,…,Xn)T，若X服从正态分布，则X为n为正态随机向量。 其
1 2 n
1 (2 ) D
1
n 2 1 2 XX
1 exp{ ( x ) D ( x )} 2
T 1 X XX X
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
例1的误差分布直方图
例1的误差分布曲线
例2的误差分布直方图
例2的误差分布曲线
- σ2 -σ1 0 0 σ1
σ2
结论：如果误差分布较密集， 即离散度较小时，则表示观测 质量较好，即观测精度较高； 观测质量好坏又反 反之，误差分布较分散、离散 映了什么呢？有什 度较大，则观测质量较差、精 么衡量指标吗？ 度较低 。
f(△)
P(-△)＝P(△)
P(-△)
提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。
21
一、衡量精度的指标
能反映偶然误差分布的离散程度大小的数字，称衡量精度的指标。
1、方差和中误差
随机变量X的方差定义： X D( x) E[( x E ( x)) ] [ x E ( X )] f ( x)dx
n ,1
~ L1 L ~ 1 L 2 L2 n ,1 ~ Ln L n
~ n ,1 n ,1
则有， L L
若以观测量的数学期望表示其真值 E ( L) E ( L ), E ( L ),, E ( L )
6
二、n维正态分布
设随机变量X= (X1,X2,…,Xn)T，若X服从正态分布，则X为n为正态随机向量。 其
1 2 n
1 (2 ) D
1
n 2 1 2 XX
1 exp{ ( x ) D ( x )} 2
T 1 X XX X
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
例1的误差分布直方图
例1的误差分布曲线
例2的误差分布直方图
例2的误差分布曲线
- σ2 -σ1 0 0 σ1
σ2
结论：如果误差分布较密集， 即离散度较小时，则表示观测 质量较好，即观测精度较高； 观测质量好坏又反 反之，误差分布较分散、离散 映了什么呢？有什 度较大，则观测质量较差、精 么衡量指标吗？ 度较低 。
f(△)
P(-△)＝P(△)
P(-△)
第二章 误差分布与精度指标
提示：一组观测值具有相同的分布， 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 不相同。精度不代表个别误差的大小 反映的是一组 的好坏. 观测值的观测质量 的好坏
精度指标： 二、精度指标：
1、平均误差 、
在一定的观测条件下， 在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。 期望。
由概率论知道:
µ + kσ
µ − kσ
− ( x − E ( x)) 2 f ( x)dx = ∫µ −kσ exp 2σ 2 σ 2π 1
µ + kσ
dx
p ( µ − σ < x < µ + σ ) ≈ 0.683
p(µ − 2σ < x < µ + 2σ) ≈ 0.955
偶然误差是服从正态分布的随机变量
§2.1
1
正态分布
服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是： 服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是：
− (x − µ)2 exp f ( x) = 2σ 2 σ 2π
−∞ < x < ∞
µ
σ
一维正态随机变量的数学期望和方差是: 一维正态随机变量的数学期望和方差是
(2π )
n 2
1 exp − [ X − µ X 2
−1 ]T D XX [X
− µ X ]
N维正态随机变量的数学期望和方差是 维正态随机变量的数学期望和方差是: 维正态随机变量的数学期望和方差是
E ( X ) = ∫ f ( X ) XdX = µ X
−∞
+∞
D( X ) = E [ X − E ( X )] = ∫ f ( X )[ X − E ( X )] dX = D XX
第二章误差分布2
长春理工大学 误差理论与数据处理 误差分布 11
测量误差统计分布的特征值
离散随机变量的一切可能值与对应的概率P的乘积之 和的平均值（加权平均值）称为数学期望,记为E。 描述随机变量概率分布的宏观特性的一类常用的量。
设X为一随机变量，F(x)是它的分布函数。对于任一正整
数k，xk的数学期望E（Xk）称为X 的k阶原点矩。 一阶原点矩 就是数学期望E（X）。 E(X-E（X）)k 称为 X 的 k阶中心矩。 一阶中心矩永远等于零，二阶中心矩就是方差，由 于各种矩在描述和确定概率分布时常起重要作用，因而 它们在概率论与数理统计中有广泛运用。
a x b 置信区间 a p 1 置信概率（或置 概率密度函数的几何意义 信水平），简记为符号 p 显著性水平（又称显著度或危险率）
长春理工大学 误差理论与数据处理
b
x
误差分布
8
统计直方图和概率密度分布图 误差分布的统计方法小结
测量样本 测量样本 测量总体
xi , xi ,
4 4 , 4
Ⅰ
表征了测量 4 1.2 Ⅲ 总体及其误差分布的峰 4 凸程度。 4 是将 4 无量 纲化，也称峰度，而 4 x 是按标准正态分布归零， 0 即对于正态分布超越系 较尖峭的分布有 4 0 ，较平 4 数 视为零 坦的分布有 4 0
误差理论与数据处理
【院 系】 光电工程学院
长春理工大学
第二章 误差分布
长春理工大学
本章教学目标与重点难点 教学目标 重点与难点
通过学习，应该掌握：
§数学期望、方差、标准差
§测量误差统计分布的特 征值
§常见的误差分布
§ 正态分布
§ 其他常见的误差分布
测量误差统计分布的特征值
离散随机变量的一切可能值与对应的概率P的乘积之 和的平均值（加权平均值）称为数学期望,记为E。 描述随机变量概率分布的宏观特性的一类常用的量。
设X为一随机变量，F(x)是它的分布函数。对于任一正整
数k，xk的数学期望E（Xk）称为X 的k阶原点矩。 一阶原点矩 就是数学期望E（X）。 E(X-E（X）)k 称为 X 的 k阶中心矩。 一阶中心矩永远等于零，二阶中心矩就是方差，由 于各种矩在描述和确定概率分布时常起重要作用，因而 它们在概率论与数理统计中有广泛运用。
a x b 置信区间 a p 1 置信概率（或置 概率密度函数的几何意义 信水平），简记为符号 p 显著性水平（又称显著度或危险率）
长春理工大学 误差理论与数据处理
b
x
误差分布
8
统计直方图和概率密度分布图 误差分布的统计方法小结
测量样本 测量样本 测量总体
xi , xi ,
4 4 , 4
Ⅰ
表征了测量 4 1.2 Ⅲ 总体及其误差分布的峰 4 凸程度。 4 是将 4 无量 纲化，也称峰度，而 4 x 是按标准正态分布归零， 0 即对于正态分布超越系 较尖峭的分布有 4 0 ，较平 4 数 视为零 坦的分布有 4 0
误差理论与数据处理
【院 系】 光电工程学院
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第二章 误差分布
长春理工大学
本章教学目标与重点难点 教学目标 重点与难点
通过学习，应该掌握：
§数学期望、方差、标准差
§测量误差统计分布的特 征值
§常见的误差分布
§ 正态分布
§ 其他常见的误差分布
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为书写方便，可简记为:
式中
2 1 21 Dx ..... n1
... 2 2n ..... ... ..... 2 n2 ... n
12 2
...
1n
ij
2 ii
E xi E xi xi E xi
P 2 2 0.954 P 3 3 0.997
大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是 小概率事件， 在一次观测中， 可认为是不可能事件。因 此，可规定三倍中误差为极限误差。即 Δ限=3σ
对观测要求较严时， 也可规定两倍中误差为极限误差， 即 Δ限=2σ
顾及
~ 2 E 0, EL L , L EL 2
则有
DL D E 2
由数学期望的定义，又可将方差和中误差分别表示为 ; 2 lim lim
n
n
n
2 2
n
上两式中
...
y y x y E , E x x x y x x y y x
1 2 1 Leabharlann 2 2213
3
1
y1x2 y 2 x2 y3 x2
了解偶然误差的分布规 律、三个特性和两个重要概 念。 明确精度、准确度与精 确度的概念，熟记衡量精度 的指标，掌握精度计算的方 法。
第2章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度 测量不确定度
2.1 正态分布
1. 一维正态分布
随机变量X服从正态分布可表示为 其概率密度为
1 1
2 1 3 2
y x1 1 x y 2 1
DYX E Y E Y X E X
3, 2
xy xy x y x y
1 2 2 3
T
1 1
y E 1 E y E 2 y E 3
一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观 测条件较好，误差分布较密集，则其精密度较高。
观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各 自的真误差彼此并不一定相等。
（2）常用精密度指标 方差与中误差：
~ 设 L L 为服从正态分布的偶然误差，由方差与 期望的关系式知 D E E2 DL EL EL2
互协方差阵一般不是方阵, 例如当n=2, t=3时， 有
D XY E X E X Y E Y
2,3
T
2 2 3 3
E x1 x 1 E x2 E x2
y E y , y E y , y E y
互协方差阵的元素是两随机向量中两两随机变量的协方差。
互协方差阵有以下性质:
D D D D T E X E X Y E Y DXY
T XY T YX YX XY
因为
则
D XY E Y E Y X E X DYX
i 1,2,817
设以dΔ表示误差区间并令其等于0.5″，误差分别按正 误差和负误差重新排列， 统计误差出现在各区间的个数μ ，计算出误差出现在某区间内的频率μi/n，其结果列于表21中。 表2-1
为负值的Δ 误差区间 个数μ 0.0"----0.5" 0.5 ----1.0 1.0 ----1.5 1.5 ----2.0 2.0 ----2.5 2.5 ----3.0 3.0 ----3.5 3.5 以上 和 123 104 75 55 27 20 10 0 414 0.151 0.127 0.092 0.067 0.033 0.025 0.012 0 0.507 μ/n 个数μ 121 90 78 51 39 15 9 0 403 相对个数 μ/n 0.148 0.110 0.096 0.062 0.048 0.018 0.011 0 0.493 为正值的Δ
f x 1 2
X ~ N ,
1 2 exp 2 ( x ) 2
( x )
2. n 维正态分布
随机向量 X x1 x2 xn T 服从正态分布可表示为 X ~ N X , DXX ，其概率密度为
f x1 , x2 xn 1 (2 ) DXX
T n ,n
x1 E x1 x2 E x2 E E x1, x2 E x2 ,...,xn E xn x 1 .......... x E x n n 2 ... x1 x1 x2 x1 xn 2 ... x2 x2 xn x2 x1 ..... ... ..... ..... 2 ... xn x1 x n x2 xn
平均误差与或然误差：
平均误差：:
lim
n
2
n
0.798
或然误差: 或然误差ρ是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
误差分布与精度指标
湖南城市学院
相对误差：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误 差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误 差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测 量中经常将分子化为1。即
当n维随机向量中任意两个随机变量均为互不相关时, 则σij=0 (i≠j)。此时方差阵Dx即变为对角阵:
2 0 ... 0 1 2 0 2 ... 0 Dx ..... ..... ... ..... 2 0 ... n 0
进一步， 当 ... ， 即方差阵中的 主对角线元素均为同一数值时， 则Dx变为数量矩阵，表 明所有观测值的精度均相同。
真误差 1 相对真误差＝ ＝ 观测值 N
中误差 1 相对中误差＝ ＝ 观测值 N
极限误差 1 相对极限误差＝ ＝ 观测值 N
15 /24
与相对误差相区别,真误差、中误差和极限误差统称 为绝对误差。 主页
2 观测向量的精密度指标 （1）n维随机向量的(协)方差阵
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 T ...
~ E L E L 0 ~ E L L
这表明, 若观测值中不含有系统误差和粗差, 则观测量的期望值就是其真值。
返回
2.3 衡量精度的指标
1 观测量的精度指标
（1）观测条件与 精密度
精密度是指一组偶然误差分布 的密集与离散的程度，是观测值与 其期望值接近的程度，表征观测结 果偶然误差大小的程度。
i 1,2,...,n
是各随机变量的方差
x Ex x E x x E x x Ex E
E
i i j j j j i i
i j
ji
i j 1,2,...,n
称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。
协方差 x x 是两个随机变量相关程度的指标。
分布特性：
1) 在一定的观测条件下, 误差的绝 对值不会超过一定的限值。（界限性） 2) 绝对值较小的误差比绝对值较大 的误差出现的概率要大。（小误差占优 性）。 3) 绝对值相等的正负误差出现的概率 相等。（对称性）
两个重要概念：
1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条 件来确定误差限值； 2) 由偶然误差的对称性和抵消性知，Δ的理 论平均值应为零，即有:
2 1 2 2 2 n 2
（2）两随机向量的互协方差阵
设有两个随机向量:
X
n ,1
x1
x
y
2
...
...
x
n
T
Y
定义
t ,1
y
1
2
y
t
T
D EY EY X E X
D XY E X E X Y EY
YX
T
T
分别为向量X对向量Y和向量Y对向量X的互协方差阵。
n 2 1 2
1 1 exp ( X X )T DXX ( X X ) 2
其中
X 1 2 n T E( x1 ) E( x2 )E( xn )T
n1
2 x 1x 2 x1 2 x 2x 1 x2 D X ..... ..... n ,n x x x 2x 1 n 1
该组误差的分布规律为: 绝对值较小的误差比绝对值 较大的误差多； 绝对值相等的正误差个数与负误差个数相 近, 误差的绝对值有一定限制，最大误差不超过3.5″。 2). 直方图法 根据表2-1的数据， 以误 差Δ的数值为横坐标，以 μ/n/dΔ为纵坐标可绘制出直方 图，如图2-1所示。 每一误差区间上的长方形 面积表示误差在该区间出现的 相对个数，所有长方形面积之 和等于1。
2 1
2 n
方差和中误差的估值公式为
ˆ 2 n . ˆ
n
例〔2－3－1〕为检定一架刚刚购进的经纬仪的测角精 度, 现对某一精确测定的水平角(β=65°28′34.0″)作 25 次 观测, 根据观测结果算得各次观测误差为(单位:秒): +1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8 试根据Δi计算测角精度 ˆ ˆ 2和