周衍柏《理论力学》教案分析力学
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案第三章4-5刚体力学解析
所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩.
主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位 矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动 坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合.
2
a R
T
a mg 5 m s2
mm
mM 2
h 1 at 2 2.5 m T 40 N
mg
2
例3、一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点， 距A端 l/3 . 杆从静止开始由水平位置绕O点转动. 求： （1）水平位置的角速度和角加速度. （2）垂直位置时的角速度和角加速度.
述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共
y
面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则
Fx 0, N1 sin 0 f 0
B
N1
Cl
Fy 0, N1 cos0 N2 P 0
对A点
Pl cos0 N1h / sin 0 0
h P
O
l N2
0
x
f
A
第三章 刚体力学
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2 F3
将所有空间力作用点都迁移到一点.
力是滑移矢量
F
F
F
F
力可沿作用线移动，不能随意移动
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 3-4章作业解答
T
N
T
物体 : ma2 mg T 圆柱 : Ma1 T f d 1 T f R, I 0 MR 2 dt 2 xC a1 d xC R , dt R R a A 2a1 a2 I0
M
r
f Mg
m
mg
4mg 8mg a1 , a2 3M 8m 3M 8m 3Mmg T 3M 8m
4.10) 质量为m的小环M, 套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿着圆 圈滑动. 如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点O转动, 试求小 y 环沿圆圈切线方向的运动微分方程. 解: 设坐标系如图, oxy为水平面,它绕z轴转 动,即圆圈为转动参照系 受力分析,重力和约束反力都在z轴方向, 没 有画出. 惯性离心力m2r , 科里奥利力为 FC= -2m×v
b2 tan (a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干? 解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子 y 重量p, 人重3p. 平衡时:
B x b C
a b
2
2
a
解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/. 连OB， 因角+=90o， 所以
OB OA 2 AB 2 2OA AB cos 1
v 2 2v
ab a 2 b2
2a 2
vB OB v 2 2v
2y sin C1 x 2my sin x m 2 z cos x sin C2 2m z sin y cos x y m m gt 2y cos C3 z cos mg 2my z 2y sin x y 0, z v0 , 在t =0, x 2 z cos x sin y x y z0 z v0 gt 2y cos
周衍柏理论力学教学总结
周衍柏理论力学教学总结篇一：理论力学总结理论力学总结姓名：黄亚敏班级0911物理学学号：20XX110102指导老师：夏清华前言：学习一门课程很重要的一个环节就是总结，这样才能知道自己学到了什么，还有那些不了解，还有哪些地方需要再进一步的学习，同时还可以总结出一些好的学习方法和学习习惯，这样皆可以运用到其他方面上。
初看周衍柏《理论力学》一书，只觉得满书全是数学公式，比如第一章质点力学中的极坐标系中的速度、加速度的分量表达式，对我来说就是一个大困难，怎么就弄不明白为什么?didt??did?d?dt????j，?djdt??djd?d?dt?????i?，即曲线上的某点p的沿位矢方向的坐标i对时间t求导之后为另一方向单位矢量，自己看的时候很不能理解，后来经过推导之后发现确实是这样的，后来自己又推导一遍，发现是正确的，是数学上的微分运算??因为我开始的错误理解是:i与时间没有关系，因为在直角坐标系中，并没有对i求???导，但是不同的是，在直角坐标系中，单位矢量i，j，k是不变的，但在极坐标中，??单位矢量i，j的量值虽然为1，但方向一直随着位矢的方向的变化而变化，所以这??????里的单位矢量i，j是一个变量。
求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，???2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r，还可以用自然坐标算出加速度，表达式简单一些，但前??ds?v?vi?idt提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为??2?2?dvdsdsdidv?v?a??i??i?j2dtdtdtdtdt?，，通过不同的题目选择不同的坐标可以使计算更简单。
对我来说，力学的一些定律一直都很熟悉，从最开始学物理的时候就能把一些力学定律背得很清楚，牛顿第二定律，动量定理和动量守恒定律，动量矩（角动量矩）定理和动量矩（角动量）守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，但是使用起来的就需要更灵活的掌握了，首先要清楚使用每个定律的条件，通常可一分为两????dpF?dt?????dJ，m?dt,通过这几个变化和题目中的条件判断出动量和角动量是否为常量，在选择使用哪一个定律。
周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学
第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。
按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。
二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。
例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。
第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。
例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。
二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。
光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。
三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。
即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。
2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章4-8质点力学
dv m dt F R v2 Fn Rn m 0 Fb Rb (1) ( 2) (3)
R RN Rn Rb
2
2
R R Rn Rb
2
2
2
4个方程4个未知数,可解
例题1 力仅是时间的函数
自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：
（3）初始条件
t 0， r r0， v v0
（4）求解运动微分方程
r r (t )
x x( t ) y y( t ) z z(t )
2. 非自由质点
• 解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替
d r d r • 运动微分方程 m F (r , , t ) R 2 dt dt
dt dt ds v sec f ( ) sec t t ( ) d ds d v g g
消去参量 可得运动方程
本问题还可在直角坐标系中处理，见 P25
例题3
力是坐标的函数
m r F ( x , y , z )
F ( x , y , z ) k x x i k y yj k z z k
2 力学相对性原理和伽利略变换
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述力学规律而言，一切惯性系都是平权 的、等价的。 在一个惯性系中所做的任何力学实验，都不能 判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。
觉不 而 行 舟
《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略 1632
(ii) 牛顿的绝对时空观
• • • • • 自由质点 非自由质点 受力分析 写出运动微分方程矢量式 建立适当的坐标系分解标量方程 解微分方程
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学
dr dr d d 1 / u d 1 du du r 2 h dt d dt d dt u d d 2 d dr du d du d u 2 2 r h h h u dt dt d d d d 2
1 2
k' r E mr r
2 2 2
因为能量总是大于零, 所以轨道是双曲线的一支 右图为粒子散射图. O为 原子核(力心), 质点轨道 的对称轴是通过力心及 其最近距离点c的直线oc, 因此轨道的两条渐近线 和oc相交的角度是一样的. 可看出质点通过力心附 近的偏转角
2 m v k' cot , or cot 2 2 k' mv 2
与实验结果比较 定义：n —入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的 单位截面积的粒子数。 dN —单位时间内在～＋d内散射的粒子数 散射截面 d dN
n
d d
dN n 2 d d 2 d
此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要
பைடு நூலகம்
抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足
p (u ) h 3 u
2
那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道 后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来
轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度
第二宇宙速度
3. 当 e 1
E0
双曲线 脱离太阳
仿照地球： v
2GM s 42.2 103 m / s Rs
地球相对太阳的速度： ve 30 10 3 m / s
3 v v v 12 10 m/s 行星脱离太阳的速度： e
周衍柏理论力学教学总结
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求得的速度加速度表达式为v??ri??rj，???2??????)ja?(??r?r?)i?(r??2r，还可以用自然坐标算出加速度，最全面的范文参考写作网站表达式简单一些，但前??ds?v?vi?idt提是要清楚曲线的曲率半径?，才会简化加速度表达式，为??2?2?dvdsdsdidv?v?a??i??i?j2dtdtdtdtdt?，，通过不同的题目选择不同的坐标可以使计算更简单。
对我来说，力学的一些定律一直都很熟悉，从最开始学物理的时候就能把一些力学定律背得很清楚，牛顿第二定律，动量定理和动量守恒定律，动量矩（角动量矩）定理和动量矩（角动量）守恒定律，动能定理和机械能守恒定律，但是使用起来的就需要更灵活的掌握了，首先要清楚使用每个定律的条件，通常可一分为两????dpF?dt?????dJ，M?dt,通过这几个变化和题目中的条件判断出动量和角动量是否为常量，在选择使用哪一个定律。
《理论力学教案》
理论力学教案《理论力学》课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。
（五）教学参考书：1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。
2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。
3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。
（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。
并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。
（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。
绪论一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。
是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。
二：《理论力学》与《力学》的区别和联系1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。
2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。
《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。
三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。
周衍柏理论力学教案
i j k r x y z
}
m Fx ( x, y, z , x, y, z , t ) x y m Fy ( x, y, z , x, y, z , t ) ——很难解 mz Fz ( x, y, z, x, y, z , t )
－质点动力学方程
自由质点——质点在运动时不受任何其它物体的限制— —主动力、约束力 一、运动微分方程的各种分量表达式 1、直角坐标系：
F Fxi Fy j Fz k
i FX jFy kFz m i j k x y z
§ 5、动量矩定理及动量矩守恒定律
一、定义：
1、力矩： M r F , 大小： rF sin 方向：右手螺旋法则 M
2、动量矩：
J r p r mv
对某一点，某一轴
3、分量表达式：
i j k M r F x y z Fx Fy Fz i ( yFz zFy ) j ( zFx xFz ) k ( xFy yFx )
三、第二定律是三定律的核心。 ma F
适用条件: (1)低速宏观 (2)只对质点适用 (3)
F ma
是一个矢量方程
(4)只适用于惯性系 _＿ 牛顿运动定律能够成立的参考系
§
2、质点运动微分方程
F ma F F (r , r , t ) a r F m m F (r , r , t ) r r
F mr
r mr r F
d (r mr ) r m r mr r m r r dt d d ( r mr ) r F m ( yz zy ) yFz zFy dt dt d dJ m ( zx xz ) zFx xFz M dt dt d m ( xy yx) xF y yFx dJ M dt dt
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第三章7刚体力学
v Ax
如果＝0, 则无转动瞬心, 或者说, 转动瞬心在无穷远处. 只要转动瞬心C已知,就知道薄片在此时的运动.因为 如果取C为基点，则因它此时的速度为零,薄片将仅绕C 转动而任意一点P 的速度大小为 CP 过A及B作两直线分别垂直于 vA及vB, 此两直线的交点即为 转动瞬心.
A B
自时刻t2以后, 乒乓球向后作无滑动滚动, 如不考虑滚 动摩擦, 质心速度和角速度恒定
2 3 vC vC 0 gt 2 R0 vC 0 5 2 vC 2 3 vC 0 0 R 5 2 R
例3 如图, 一半径为R的圆木以角速度0在水平面上作纯 滚动, 在前进的路上撞在以高度为h的台阶上. 设碰撞是完 全非弹性的, 即碰撞后圆木不弹回.要圆木能够翻上台阶 而又始终不跳离台阶,对台阶有什么要求?
圆木不跳离台阶的条件是台阶的支撑力N始终大于零. N在碰撞的最初时刻最小, 我们就来计算它.沿质心和 接触点方向的向心加速度是重力分量和支撑力造成 的,所以
mR 2 mgsin N
由图知 sin=1-h/R, 从而有
3R 2h N mg 1 h / R mR mg 1 h / R mR 0 0 3R 9( R h) g 2 0 (d) 2 (3R 2h)
vA
C
vB
3 平面平行运动动力学
质心作为基点, 利用质心运动定理 和相对于质心的角动量定理写出平面 平行运动的动力学方程
y
y
y
C
x x
C Fx m x C Fy m y
I zz M z I zz
o
x
Mz为诸外力(包括约束反力)对z轴的力矩的和
周衍柏著理论力学——第五章分析力学 pdf讲义
3
不可解约束：质点始终不能脱离的约束。如质点始终被曲面 约束，即存在约束方程
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
约束又可分为几何约束和运动约束。 几何约束又叫做完整约束，它只限制质点在空间的位置，因 而表现为质点坐标的函数，如
f ( x, y , z ) = 0 或 f ( x, y , z , t ) = 0 (5.1.3)
dr P
δr
7
8
9
三、虚功原理 以下讨论只限于不可解约束的情况，设体系在 k 个几何约束 下处于平衡状态。由于体系处于平衡状态，所以体系中每一 个质点都处于平衡状态。 因此任一质点 Pi ，受到主动力的合力 Fi 与约束反力的合力 Ri 满足： (i = 1,2, L , n ) (5.2.3) Fi + Ri = 0 让每一质点在平衡位置发生一虚位移 δr ，则有 Fi ⋅ δr + Ri ⋅ δr = 0 (i = 1,2, L , n ) 上式对各质点求和得：
1
第一节 约束与广义坐标
一、约束的概念和分类 1、力学体系：质点的集合，且质点间存在相互作用，每一 个质点的运动都和其它质点的位置及运动有关，简称体系。 若有 n 个质点，则描述所有质点位置的坐标有 3n 个。 2、约束：限制质点自由运动的条件叫做的约束。 约束一般可表示成质点位置、速度和时间的方程。如：
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章1-3质点力学
r
r0
t dr v dt
t0
2 例1 已知质点的运动方程 r 2t i 19 2t j
求：1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度以 及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
解： （1）
x 2t ,
y 19 2t 2
消去时间参数
1 2 y 19 x 2
8 tg 7558 2
1
dr v 2i 4tj dt
-2
dv a 4 j dt
（ 3）
方向沿y轴的负方向 a 4 m s 2 r v 2ti 19 2t j 2i 4tj
t
d 2 h0 2 v0
, hc h0 1 2 h v2 0 0
2 g h0 d 2 2 h0
2 g h0 d 2
0
显然只有
v
2 0
时才可能击中
2 极坐标系
极坐标系：空间p的位置（r，）
当p沿着曲线运动，速度沿轨道 的切线. 沿矢径方向
j p r c v i
2 （ 2） r 2 2 i 19 2 2 j 4 i 11 j t 2 dr v 2i 4tj m/s v t 2 2i 8 j dt
v2 2 8 8.25 m/s
2 2
• 自然坐标系，切向、法向加速度 • 相对运动, 绝对(加)速度、相对(加)速 度、牵连(加)速度.
§1.1
1 质点
运动的描述
具有一定质量的几何点
自由质点：可以在空间自由移动的质点. 确 定它在空间的位置需要三个独立变量.
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第三章1-3刚体力学
4 定点转动： 一点固定不动, 刚体围绕过这点的某一 瞬时轴转动(三个变量).
5 一般运动：刚体不受任何约束，可以在空间任意运动.
质心的平动
+
绕质心的转动
§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
z
角坐标
约定
(t )
P
x
>0 沿顺时针方向转动 < 0
沿逆时针方向转动 角位移
O
y
x
(2) 坐标系O- 固定不动, 坐标系 O-xyz 固定在刚体上 随之一起转动.
假定O- 系和 O-xyz系开始重合, 令O-xyz绕 轴逆时 针转动 , 于是x轴和 轴分开，y 轴和轴分开, 而且Ox 轴转到Ox’(即ON);
z
O
z
y
y
O N x
变化范围：
0 2
0 2
0
z
y y
O
x
N
O 平面和xOy 平面的交线ON 称节线. ON和O间的夹角 是一个欧勒角(进动角). ON和Ox间的夹角是另一个欧勒角(自 转角). O和Oz间的夹角是第三个欧勒角(章动角).
从图知: z轴垂直ON, 故 z轴位置与N有关, 因此 z轴位置要用
x
进动
然后令活动系绕ON 转动 ,于是 z 轴和 轴分开, 活 动系三个轴变到x’’, y’’和z’’, z’’轴和 轴夹角是 , x’’ Oy’’平面和O平面夹角也是 .
z
y
O N x
z
O
y
x N
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第五章分析力学
本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程.
第一节约束和广义坐标
一、约束的概念和分类
加于力学体系的限制条件叫约束.
按不同的标准有不同的分类：
按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；
按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；
按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）.
本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系.
二、广义坐标
1、自由度
描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度.
设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）
2、广义坐标
描述力学体系的独立坐标叫广义坐标.例如：作圆周运动的质点只
须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，
由极角θ和描述，自由度为2.
第二节虚功原理
本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理.
一、实位移与虚位移
质点由于运动实际上所发生的位移叫实位
移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可
能发生的位移叫虚位移.
如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中
一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处.例如图 5.2.1
中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移
不一致.
二、理想约束
设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功.
若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束.光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束.
三、虚功原理
1、文字叙述和数学表示：
受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的
诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零.即
（1）
适用条件：惯性系、理想不可解约束.
2、推论
设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：
定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：
（2）
3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤
一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；
（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a
的函数：；
（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件.
[例] 见书P276 [例1]
第三节拉格朗日方程
本节重点要求：（1）掌握拉格朗日方程的两种形式，方程的特点和适用条件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤；（3）了解循环积分等概念.
一、基本形式的拉格朗日方程
1、方程的推导
由牛顿第二定律并应用理想约束的条件，可以得到
达朗伯——拉格朗日方程：
(1)
将坐标的变分改成用广义坐标q1，……，q S的变分表示，即：
经数学运算，令（称为体系的动能），
（称为相应于q a的广义力），则（1）式变为：
（2）
这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程.
2、方程的适用条件：理想约束.
二、保守系的拉格朗日方程
设作用于体系的力全为保守力，则广义力可由（V 为势能）求得：
在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含广义速度，可令：
（动能与势能的差）
为拉格朗日函数，则（2）式变为：
（3）
应指出（3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普遍.
三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例
一般步骤：①画草图，确定自由度s和广义坐标q a；②分析主动
力，若为保守系，则求出势能V；若为非保守力，则计算广义力
Q a；③求动能T=T（）；④对保守系，求出L=T-V，进而代入方程（3），写出运动方程；⑤对非保守系，将T和广义力Qα代入方程（2），写出运动方程.⑥解方程，求出qα（t）.
[例1] P265 4.10题
圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动，求圆环运动规律.
解：方法一：牛顿力学方法（已在第四章第三节作为举例计算）
方法二：用拉格朗日方程求解.
这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力，属于保守体系，可采用保守系的拉氏方程求解.
质点自由度为1，转角θ为广义坐标，广义速度为.任一角度θ
时圆环（视为质点）的动能，其中绝对速度v可由速度合成公式求出：
这里（方向沿切线方向），牵连速度
，大小为，方向垂直于op.
由速度合成公式得到：
动能：
取圆平面为零势能位置，则V=0，从而L=T-V=T-0=T
代入拉氏方程（2）中：
，得到
四、循环积分.
若拉氏函数L中某一坐标q i不出现，则该坐标q i叫循环坐标，则
（常数），叫循环积分.
第五节哈密顿正则方程
本节不作重点要求.基本要求是：了解正则坐标、正则动量的概念和正则方程及其应用.
一、哈密顿函数
，广义速度为，则拉格朗日函数
设力学体系的广义坐标为
,定义广义动量，则函数
叫哈密顿函数.它是广义坐标、广义动量的函数，而广义坐标、广义动量称为正则变量.
特例：对保守体系，H=T+V （动能与势能之和）
二、哈密顿正则方程
哈密顿函数满足的方程为：
由该方程组也可探讨运动规律.方程组（1）叫哈密顿正则方程.
三、用哈密顿正则方程求解问题的步骤
②求动能T和势能V，写
一般步骤为：①确定自由度r和广义坐标
出拉格朗日函数.③求广义动量，将T和V中的
H=T+V=H（，）⑤、写出正则方程，进而解
换为
方程.
[例]电子的运动（见书P314-316）
最后指出：拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基本方程，其作用与牛顿第二定律一样，其中拉氏方程为二阶微分方程，哈密顿正则方程为一阶微分方程，但个数比前者多一倍.。