等差数列及其前n项和测试题

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等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)

《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。

巩固练习_提高_等差数列及其前n项和

【巩固练习】一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．22．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，172a -,3，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20B ．48C ．60D ．72 4. 等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( ) A.34B ．34-C ．67-D ．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（） A ． 172 B ．192C ．10D ．12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则1212a ab b --＝________. 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.11.（2016 南通模拟）等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则其前n 项和n S 的最小值为。

(完整版)等差数列的前n项和练习含答案

课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】方法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ，所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17，所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列，所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列，所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列【答案】 B【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ，点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。

高中数学等差数列的前n项和训练题(有答案)

高中数学等差数列的前 n 项和训练题（有答案）1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前 20 项之和为 ()A ．360 B．370C．380 D ．390答案： C2．已知 a1＝ 1， a8＝6，则 S8 等于 ()A ．25 B．26C．27 D ．28答案： D3．设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a6＝ S3＝ 12，则{an}的通项 an＝________.分析：由已知a1＋ 5d＝ 123a1＋ 3d＝ 12a1＝ 2，d＝ 2.故 an＝2n.答案： 2n4．在等差数列 {an} 中，已知 a5＝ 14，a7＝ 20，求 S5.解： d＝a7－ a57－ 5＝ 20－ 142＝ 3，a1＝ a5－ 4d＝ 14－ 12＝ 2，因此 S5＝ 5a1＋ a52＝52＋ 142＝ 40.一、选择题1． (2019 年杭州质检 )等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 a2＝1，a3＝ 3， S4＝()A ．12 B．10C．8 D．6分析： C.d＝ a3－a2＝ 2，a1＝－ 1，S4＝ 4a1＋ 4322＝8.2．在等差数列 {an} 中， a2＋ a5＝19， S5＝40， a10＝()A ．24 B．27C．29 D ．48分析： C.由已知 2a1＋5d＝ 19， 5a1＋ 10d＝ 40.解得 a1＝ 2， d＝ 3.a10＝2＋ 93＝ 29. X k b 1 . c o m3．在等差数列 {an} 中， S10＝ 120， a2＋ a9＝()A ．12 B．24C．36 D ．48分析： B.S10＝ 10a1＋ a102＝ 5(a2＋ a9)＝ 120.a2＋a9＝ 24. 4．已知等差数列 {an} 的公差 1，且 a1＋a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99， a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a96＋ a99＝ ()A ．99 B．66C．33 D ．0分析： B.由 a1＋ a2＋⋯＋ a98＋ a99＝99，得 99a1＋ 99982＝ 99.a1＝－ 48， a3＝a1＋ 2d＝－ 46.又∵ {a3n} 是以 a3 首，以 3 公差的等差数列．a3＋ a6＋ a9＋⋯＋a99＝ 33a3＋333223＝33(48－ 46)＝ 66.5．若一个等差数列的前 3 的和 34，最后 3 的和 146，且全部的和 390，个数列有 ()A ．13B． 12C．11D． 10分析： A. ∵ a1＋ a2＋ a3＝34，①an＋ an－ 1＋ an－ 2＝ 146，②又∵ a1＋ an＝ a2＋an－1＝ a3＋an－ 2，①＋②得3(a1＋ an)＝ 180， a1＋an＝ 60.③Sn＝ a1＋ann2＝390.④将③代入④中得n＝ 13.6．在数 2n＋ 1 的等差数列中，全部奇数的和165，全部偶数的和150， n 等于 ()A．9 B．10C．11 D．12分析： B.由等差数列前n 和的性知S 偶 S 奇＝ nn＋ 1，即 150165＝ nn＋ 1， n＝ 10.二、填空7．数列 {an} 的首 a1＝－ 7，且足 an＋ 1＝an＋ 2(nN*) ，a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ ________.分析：由意得an＋1－ an＝2，{an} 是一个首a1＝－ 7，公差 d＝ 2 的等差数列．a1＋ a2＋⋯＋ a17＝ S17＝17(－7)＋ 171622＝ 153.答案： 1538．已知 {an} 是等差数列， a4＋ a6＝6，其前 5 和 S5＝10，其公差 d＝ __________.分析： a4＋ a6＝a1＋ 3d＋a1＋ 5d＝ 6.①S5＝ 5a1＋ 125(5－1)d＝10.② w由①②得a1＝ 1， d＝12.答案： 129． Sn 是等差数列 {an} 的前 n 和， a12＝－ 8， S9＝－ 9，S16＝ ________.分析：由等差数列的性知S9＝9a5＝－ 9，a5＝－ 1.又∵ a5＋ a12＝a1＋ a16＝－ 9，S16＝ 16a1＋ a162＝ 8(a1＋ a16)＝－ 72.答案：－ 72三、解答10．已知数列 {an} 的前 n 和公式Sn＝ n2－23n－ 2(nN*) ．(1)写出数列的第 3 ；(2)判断 74 能否在数列中．解： (1)a3＝ S3－ S2＝－ 18.(2)n＝ 1 ， a1＝ S1＝－ 24，n2 ， an＝Sn－ Sn－ 1＝ 2n－ 24，即 an＝－ 24， n＝ 1，2n－ 24，n2，由题设得 2n－24＝ 74(n2)，解得 n＝ 49.74在该数列中．11．(2019 年高考课标全国卷)设等差数列 {an} 知足 a3＝5，a10＝－ 9.(1)求 {an} 的通项公式；(2)求 {an} 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号n 的值．解： (1)由 an＝a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得a1＋ 2d＝ 5， a1＋ 9d＝－ 9，可解得a1＝9，d＝－ 2，因此数列 {an} 的通项公式为an＝ 11－2n.(2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ nn－ 12d＝10n－ n2.由于 Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，因此当 n＝ 5 时， Sn 获得最大值．12．已知数列 {an} 是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)Sn＝ 20，S2n＝ 38，求 S3n.解： (1)由题意知 a1＋ a2＋ a3＋a4＝ 21，an－ 3＋ an－ 2＋an－1＋ an＝67，因此 a1＋ a2＋ a3＋a4＋ an－ 3＋ an－2＋ an－ 1＋ an＝88.因此 a1＋ an＝ 884＝22.由于 Sn＝ na1＋ an2＝286，因此 n＝26.(2)由于 Sn， S2n－Sn，S3n－S2n 成等差数列，其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,重点是记忆有技巧, “死记”以后会“活用”。

等差数列前n项和及其应用(可编辑修改word版)

等差数列前n 项和及其应用一．选择题（共8 小题）1.已知数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为（）A．12 B．13 C．12 或13 D．142.等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n 最大时，n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．83．若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n} 的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．40244.已知数列{a n}为等差数列，其前n 项和为S n，2a7﹣a8＝5，则S11 为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定5.在等差数列{a n}的前n 项和为S n，若a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（）A．S7 B．S8 C．S13 D．S156.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S23＞0，S24＜0，则S n 取最大值时n 的值为（）A．11 B．12 C．13 D．237.在等差数列{a n}中，，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n＞0 时，n 的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．148．等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，则（）A．S10＜0，S11＞0 B．S19＜0，S20＞0C．S5＜0，S6＞0 D．S20＜0，S21＞0二．填空题（共4 小题）9.已知等差数列{a n}，{b n}前n 项和分别为S n 和T n，若＝，则＝．10.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若3a5﹣a1＝10，则S13＝．11.数列{a n}的前n 项和为S n，且S n＝n2﹣n（n∈N*），则通项公式a n＝．12.已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n 项和分别为S n、T n．且，则＝．三．解答题（共4 小题）13.等差数列{a n}的前n 项和为S n，且a3+a5＝a4+7，S10＝100．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足不等式S n＜3a n﹣2 的n 的值．14.记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，已知a1＝10，S3＝24．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n 的最大值．15．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和的最小值，并指出何时取最小．16．已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k 项和S k＝﹣35，求k 的值．等差数列前n 项和及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共8 小题）1.已知数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为（）A．12 B．13 C．12 或13 D．14【分析】数列{a n}是首项为24，公差为2 的等差数列，从而S n＝24n+＝﹣n2+25n＝﹣（n﹣）2+．由此能求出要使此数列的前n 项和S n 最大，n 的值．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式a n＝26﹣2n，∴a1＝26﹣2＝24，d＝a n﹣a n﹣1＝（26﹣2n）﹣[26﹣2（n﹣1）]＝﹣2，∴数列{a n}是首项为24，公差为2 的等差数列，∴S n＝24n+＝﹣n2+25n＝﹣（n﹣）2+．∴要使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为12 或13．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n 项和最大时项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2.等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n 最大时，n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由等差数列的性质可得a7+a8＝0，可得该数列的前7 项均为正数，从第8 项开始全为负数，故数列的前7 项和最大，进而可得答案．【解答】解：∵S3＝S11，∴S11﹣S3＝a4+a5+a6+…+a11＝0，故可得（a4+a11）+（a5+a10）+…+（a7+a8）＝4（a7+a8）＝0，∴a7+a8＝0，结合a1＝13 可知，该数列的前7 项均为正数，从第8 项开始全为负数，故数列的前7 项和最大，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n 项和，涉及等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键，属中档题．3．若{a n}是等差数列，首项公差d＜0，a1＞0，且a2013（a2012+a2013）＜0，则使数列{a n}的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是（）A．4027 B．4026 C．4025 D．4024【分析】由题意可知数列是递减数列，由a2013（a2012+a2013）＜0，知a2012＞0，a2013＜0，由此推得答案．【解答】解：由题意可得数列{a n}单调递减，由a2013（a2012+a2013）＜0 可得：a2012＞0，a2013＜0，|a2012|＞|a2013|．∴a2012+a2013＞0．则S4025＝4025a2013＜0，故使数列{a n}的前n 项和S n＞0 成立的最大自然数n 是4024．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的前n 项和，考查了对递减数列的项的符号的判断，关键在于分清从那一项开始为负值，且判出正负相邻两项和的符号，是中档题．4.已知数列{a n}为等差数列，其前n 项和为S n，2a7﹣a8＝5，则S11 为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【分析】利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．【解答】解：2a7﹣a8＝2（a1+6d）﹣（a1+7d）＝a1+5d＝a6＝5，∴．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.在等差数列{a n}的前n 项和为S n，若a2+a4+a15 的值为常数，则下列为常数的是（）A．S7 B．S8 C．S13 D．S15【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a15＝3a1+18d＝3a7 为常数，∴S13＝＝13a7 为常数．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S23＞0，S24＜0，则S n 取最大值时n 的值为（）A．11 B．12 C．13 D．23【分析】等差数列{a n}的前n 项和为S n，S23＞0，S24＜0，从而a12＞0，a13＜0，由此能求出S n 取最大值时n 的值．【解答】解：等差数列{a n}的前n 项和为S n，S23＞0，S24＜0，，a12＞0，a13＜0，∴S n 取最大值时n 的值为：12．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前n 项和取最大值时n 的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．7.在等差数列{a n}中，，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n＞0 时，n 的最大值为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a6+a7＝a1+a12＜0，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n 项和S n 有最大值，∴公差d＜0，首项a1＞0，{a n}为递减数列，∵＜0，∴a6•a7＜0，a6+a7＜0，由等差数列的性质知：2a6＝a1+a11＞0，a6+a7＝a1+a12＜0，∵S n＝（a1+a n），∴S n＞0 时，n 的最大值为11．故选：A．【点评】本题考查等差数列中满足前n 项和为正的n 的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，则（）A．S10＜0，S11＞0 B．S19＜0，S20＞0C．S5＜0，S6＞0 D．S20＜0，S21＞0【分析】由等差数列的性质可得：S20＝＞0，S19＝19•a10＜0．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a10＜0，a11＞0 且a11＞|a10|，S n 为其前n 项和，∴由等差数列的性质可得：S20＝＞0，S19＝19•a10＜0，故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二．填空题（共4 小题）9.已知等差数列{a n}，{b n}前n 项和分别为S n 和T n，若＝，则＝．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，问题得以解决．【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝，故答案为：【点评】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，属基础题．10.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若3a5﹣a1＝10，则S13＝65 ．【分析】利用等差数列通项公式求出2a7＝10，由此能求出S13 的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n 项和为S n，3a5﹣a1＝10，∴3（a1+4d）﹣a1＝2a1+12d＝2a7＝10，∴S13＝＝＝．故答案为：65．【点评】本题考查等差数列的前13 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．1.数列{a n}的前n 项和为S n，且S n＝n2﹣n（n∈N*），则通项公式a n＝ 2n﹣2 ．【分析】由已知条件利用能求出结果．【解答】解：∵S n＝n2﹣n（n∈N*），∴a1＝S1＝1﹣1＝0，n≥2 时，＝（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]＝2n﹣2．当n＝1 时，2n﹣2＝0＝a1，∴a n＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．12.已知两个等差数列{a n}、{b n}的前n 项和分别为S n、T n．且，则＝．【分析】题目给出了两个等差数列的前n 项和的比值，求解两个数列的第11 项的比，可以借助等差数列的前n 项和在n 为奇数时的公式进行转化．【解答】解：因为数列{a n}、{b n}都是等差数列，根据等差中项的概念知数列中的第11 项为数列前21 项的等差中项，所以S21＝21a11，T21＝21b11，所以．故答案为．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的前n 项和在n 为奇数时的公式，若n 为奇数，则．三．解答题（共4 小题）13.等差数列{a n}的前n 项和为S n，且a3+a5＝a4+7，S10＝100．（1）求{a n}的通项公式；（2）求满足不等式S n＜3a n﹣2 的n 的值．【分析】（1）由a3+a5＝a4+7，S10＝100，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n} 的通项公式．（2）由a1＝1，a n＝2n﹣1，求出S n＝n2，从而得到n2﹣6n+5＜0，由此能求出n 的值．【解答】（本题10 分）解：（1）设数列{a n}的公差为d，由a3+a5＝a4+7，得2a1+6d＝a1+3d+7，①．…（1 分）由S10＝100，得10a1+45d＝100，②…（2 分）解得a1＝1，d＝2，…（4 分）所以a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1．…（5 分）（2）因为a1＝1，a n＝2n﹣1，所以＝n2，…（7 分）由不等式S n＜3a n﹣2，得n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以，n2﹣6n+5＜0，解得1＜n＜5，…（9 分）因为n∈N*，所以n 的值为2，3，4．…（10 分）【点评】本题考查等差数列的通项公式、项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14.记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，已知a1＝10，S3＝24．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n 的最大值．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝10，S3＝24．利用求和公式解得d，即可得出a n．（2）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝10，S3＝24．∴3×10+d＝24，解得d＝﹣2．∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．（2）S n＝＝﹣n2+11n＝﹣+．∴当n＝5 或 6 时，S n 最大，S n＝﹣52+55＝30．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和的最小值，并指出何时取最小．【分析】（1）由等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15，，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由a1＝﹣9，d＝3，a n＝3n﹣12，知＝﹣，由此能求出当n＝3 或4 时，前n 项的和S n 取得最小值S3＝S4＝﹣18．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a10＝18，前5 项的和S5＝﹣15，∴，解得a1＝﹣9，d＝3，∴a n＝3n﹣12．（2）∵a1＝﹣9，d＝3，a n＝3n﹣12，∴＝＝﹣，∴当n＝3 或 4 时，前n 项的和S n 取得最小值S3＝S4＝﹣18．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意配方法的合理运用．16．已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝﹣3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}的前k 项和S k＝﹣35，求k 的值．【分析】（1）根据等差数列的通项公式，先求出d，即可得到答案，（2）根据等差数列的前n 项和公式即可求出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1＝1，a3＝﹣3，得a3＝a1+2d，解得d＝﹣2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，（2）S k＝＝﹣35，即k2﹣2k﹣35＝0，解得k＝7 或k＝﹣5（舍去）故k＝7．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．。

等差数列前N项和测试训练题(含答案)

等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。

等差数列及前n项和习题

等差数列及前n项和
教学目标：求和公式的性质及应用，Sn与an的关系以及
数列求和的方法。
教学重点：求和公式的性质应用。
难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法
引入
Sn
=na1
+
n
n-1
2
d=
d 2
n2
+
a1
-
d 2
n
可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。
1、求和公式的性质：
性质1、若数列{an}的前n项和为Sn=an2+bn (a,b为常数)，则数列{an}是等差数列。
{an}是等差数列 Sn=an2+bn(a,b为常数)
性质2、等差数列{an}的前n项和为Sn,则
n an+1
Sn
=
n 2
2
an
2
+a
n 2
+1
(n为奇数) (n为偶数)
b1
b2
bn是否存在最大的整数m
，使得对任意的n均有sn
m 总成立?若存在,求出m,不存在,说明理由. 32
(1)an 10 2n
(2)m 7
5、方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=
a（xx+2）有唯一不动点，且x1 1000，xn1
1 f（ 1
）
xn
求x2005
即n≤12时，an>0而n≥14时an<0
所以S12和S13最大
最大值为130
例6：设f(x)=log2x-logx 2(0<x<1)，数列a n 满足
f(2an ) 2n(n 1,2,3 )

等差数列的前n项和习题(含答案)

[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3，当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600，所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212，所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值．解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。

等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)

；③ ；
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据得到，，计算得到答案.
【详解】
；，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用来求的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设为等差数列，，为其前n项和，若，则公差（）
A． B． C．1D．2
8．等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知是数列的前项和，且，则（）．
A．72B．88C．92D．98
10．设为等差数列的前项的和，，则数列的前2017项和为（）
所以，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由得，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.

等差数列的前n项和公式练习含答案

2.3.1 等差数列的前n 项和公式一、选择题1、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（）A 、15B 、16C 、49D 、642、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则数列{}n a 的公差d 等于（）A 、2B 、3C 、6D 、73、在等差数列{}n a 中，,35,11,2===n n S a d 则1a 等于（）A 、5或7B 、3或5C 、7或 1-D 、3或1-4、设{},200100,,7|*<<∈==m N n n m m M 且则集合M 中所有元素的和为（）A 、2100B 、2101C 、2105D 、2107 5、若数列{}n a 为等差数列，公差为21，且,145100=S 则10042...a a a +++的值为（） A 、60 B 、85 C 、2145 D 、其他值6、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（）A 、6 B 、7 C 、8 D 、97、已知等差数列{}n a 中22383829a a a a ++=，且0,n a <则10S 为（）A 、9-B 、11-C 、13-D 、-158、已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项和，且有987S S S <=,则下列说法不正确的是（）A 、910S S <B 、0d <C 、7S 与8S 均有n S 的最大值D 、80a =9、已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于（）A 、9 B 、8 C 、7 D 、610、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11,a =公差22,24k k d S S +=-=，则k 等于（）A 、8 B 、7 C 、6 D 、二、填空题11、等差数列{}n a 中，365,1a a =-=，此数列的通项公式为_______________,设n S 是数列{}n a 的前n 和，则8S 等于________________12、设数列{}n a 的首项17a =-，且满足()*12n n a a n N+=+∈，则1217...a a a +++=____________13、已知数列{}n a 的前n 项和()211,2,3,...n S n n =+=，则其通项公式n a =____________14、已知数列{}n a ，其前n 项和21n S n n =++，则89101112a a a a a ++++=_____________15、设n S 是数列{}n a 的前n 和，若363,24S S ==，则9a =_____________16、在项数为21n +的等差数列中，所有的奇数项的和为165，所有的偶数项的和为150，则n 的值为______________三、简答题17、已知等差数列{}n a 中，（1）已知3,20,65,;n n d a S n ===求（2）已知111a =-，求21;S（3）已知113,n a n =-求n S .18、已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=，求{}n a 的前n 项和n S .19、有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为212，试求此数列的首项、公差和项数.四、探究与拓展20、已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足：3425117,22.a a a a =+=（1）求数列{}n a 的通项公式;n a（2）若数列{}n b 是等差数列，且,n n S b n c=+求非零常数c .第五课时等差数列的前n 项和公式1-5 AADCB 6-10 ADABD 11、211n a n =- 816S =- 12、153 13、2,121,1n n a n n =⎧=⎨->⎩ 14、100 15、15 16、108、（1）11n = （2）2121S =- （3）()()11n n S n n S n n =-=--或9、首项为32，公差为32，项数为8 10、（1）43n a n =- （2）12-。

等差数列的前n项和-练习

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A.第6项
B.第7项
C.第12项
D.第13项
解析由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋ a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.(多选)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12>0，S13<0，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围. 解由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d，Sn＝n（n－2 9）d. 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10. 所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}.
2.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为( A )
A.4
B.5
C.4或5
D.5或6
解析由aann＋≤1≥0，0 解得27≤n≤92，故 n＝4，所以数列{an}的前 4 项为负，以后各项均为正，故前 4 项和最小.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则( D )
等差数列的前n项和
索引
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( C )
A.36பைடு நூலகம்
B.35
C.34
D.33
解析 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝(182－2×18)－ (172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.

等差数列及其前n项和

等差数列及其前n 项和题型一：等差数列的基本运算例1．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且112a b −=，221a b −=，则55a b −=_______例2．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为_______________例3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2422a a +=，438S =，则6S =___________ 例4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12443S S S =+，55a =，则10a =____________ 例5.已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =_________ 题型二：等差数列的判定与证明例1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++−+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．例2．已知首项为2的数列{}n a 满足111,22,n n n a n a a n +⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记212,−==n n n n b a c a .(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列1⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n b c 的前10项和10S .例3．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，17a =−，26a =−，()11N ,R n n a ka n k *+=+∈∈.证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ；例4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈,求证：数列{}n a 为等差数列；题型三：等差数列的性质例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51013218a a a ++=，则18S =_________ 例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12m S −=−，0m S =，13m S +=，则m =_______ 例3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12663a a a ++=，则5S =___________ 例4．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =___ 例5．已知等差数列{}n a 中，5a ，17a 是方程26210x x −−=的两根，则{}n a 的前21项的和为_____ 题型四：等差数列前n 项和的性质例1．已知项数为n 的等差数列{}n a 的前6项和10，最后6项和110，所有项和为360，则n =__ 例2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若93S π=，则()72cos S S −=_______例3．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++=___ 例4．等差数列{}n a 满足1n a ≠且0n a ≠，1211a a +=，若()21xf x x =−，则()()()()12321f a f a f a f a ⋅⋅=_______________例5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =___________ 例6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20212020120212020S S =+且13a =，则__________n a =____________n S =例7．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若对于任意的正整数n 都有2131n n S n T n +=−，则89a b =____________例8．设等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n −=−，则935784a a b b b b +++的值为____________ 例9．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n A ，n B ，且21n n A nB n =+，则使n na b λ≥恒成立的实数λ的最大值为_______________题型五：等差数列前n 项和的最值例1．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且111010a a +<．若n S 存在最大值，则满足0n S >的n 的最大值为_______．例2．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d −<<−，则当n S 取最大值时，n 的值为_______.例3．等差数列{}n a 中， n S 是它的前 n 项之和，且 67S S <， 78S S >，则：①数列的公差0d <； ②9S 一定小于 6S ； ③ 7a 是各项中最大的一项；④ 7S 一定是 n S 中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号）．例4．首项为正数的等差数列，前n 项和为n S ，且38S S =，当n =_____时，n S 取到最大值. 例5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为_____．例6．在数列{}n a 中，()*2122,23,19,n n n a a n a a S +−=∈=−=−N 为{}n a 的前n 项和，则n S 的最小值为______．例7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S >，20220S <，则使得前n 项和n S 取得最大值时n 的值为_____________例8．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <−，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S 例9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（） A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值例10．等差数列{}n a 中，已知70a >，2100a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为____ 例11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，512S S =，则当n S 取得最大值时，n 的值为___ 例12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n N *∀∈，7n S S ≤，则数列{}n a 的通项公式可能是（） A ．315n a n =−B ．173n a n =−C ．7n a n =−D ．152n a n =−例13．已知n S 是等差数列{}n a 前n 项和，38a =−，62a =−，当n S 取得最小值时n =____．例14．知等差数列{}n a 的公差是d ，且891036a a a ++=，则1a d 的最大值为________．例15．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．例16．已知数列{}n a ，()1,2n x a +=−，()1,n y a =，且x y ⊥，32a +是2a 与4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若12132log n n b a =+，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S 的最大值．例17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1310a a +=，80S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最大值．。

等差数列前n项和基础练习题(附答案)

等差数列的前n 项和基础练习题一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9B ．－11C ．－13D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －18．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) 311111．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2 D.1212．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.14．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．15．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．16．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .18．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .19．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数为？20．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．21．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n. 22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．参考答案与解析一、选择题1．C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．A解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12. 3．D解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 4．B解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 6．B解析由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.7． D8． B解析等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.解析由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10；由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.10．A解析方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ， S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．A解析由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 12．C解析由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题13．15解析设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.14．6512解析a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.15．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.解析方法一在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.三、解答题17．解由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.18．解设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .19．解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1 ＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1， ∴n ＝1,2,3,5,11.20．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．21．解由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).22．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

等差数列与前n项和练习试题(可编辑修改word版)

第1 讲等差数列及其前n 项和一、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最小值为．7.已知数列{a n}满足递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ 为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{a n}满足a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.二、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等比数列及其前n 项和一、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，又a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等比数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等比t n2.等比数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解 ∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等比数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.又 q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析 ∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t ≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足 a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最大正整数 n 的值为．8解析由等比数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等比数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最小值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，又 a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝22(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最小值为 2 2.7. 已知递增的等比数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析 ∵{a n }是递增的等比数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，又∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是方程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公比为 q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最小值为3 3. 答案二、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是首项为 1，公比为 c 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从而 d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是首项为 1，公比为 c 的等比数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从而当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最小的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成立？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公比为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，而 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成立．因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0 的两个根．又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6 成等比数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 2＋7n4 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析 ∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析 ∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(11)＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为首项，以4 为公比的等比数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满足|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为首项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公比q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{T n}满足条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案二、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等比数列{b n }满足 b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d .因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2.所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3.所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 11－q n ＝4(1－3n )． n n1－q 13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等比数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.又因为数列{bn }的首项bn ＝b ＝2，公比q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等比数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为无理数矛盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从而可得r＝s＝t，这与r<s<t 矛盾．综上可知，不存在满足题意的三项a r，a s，a t.。

等差数列前n项和高考试题精选

等差数列前n项和高考试题精选一．选择题（共20小题）1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．82．等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．363．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1204．等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．1285．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．706．在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．78．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1479．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．210．已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．26011．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．712．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．26013．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．10514．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．215．已知等差数列{a n}，a1=50，d=﹣2，S n=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．5116．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．417．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．4518．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．219．等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．29720．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．选择题（共10小题）21．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=．23．已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=．24．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是．25．设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．26．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．27．设数列{a n}是首项为1的等差数列，前n项和S n，S5=20，则公差为．28．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d=，S6=．29．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=4，则S7=．30．已知等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，则{a n}的前10项和为．等差数列前n项和高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．2．（2017•于都县模拟）等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，∴a3+a7=4，∴{a n}的前9项和S9===．故选：C．3．（2017•江西模拟）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项的和为（）A．32 B．64 C．108 D．128【解答】解：a4+a8=2a6=22⇒a6=11，a3=5，∴，故选：B．5．（2017•宁德三模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a9=24，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．70【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4+a9=24，得：3a1+12d=24，即a1+4d=a5=8．∴S9=9a5=9×8=72．故选：B．6．（2017•湖南一模）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{a n}中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（2017•商丘三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．8．（2017•葫芦岛一模）一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．10．（2017•锦州一模）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．11．（2017•龙门县校级模拟）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若4S6+3S8=96，则S7=（）A．48 B．24 C．14 D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4S6+3S8=96，∴+=96，化为：a1+3d=2=a4．则S7==7a4=14．故选：C．12．（2017•大连模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，则S13=（）A．6 B．130 C．200 D．260【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10=20，∴S13=（a1+a13）=（a4+a10）=20=130．故选：B．13．（2017•大东区一模）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3+a4+a8=25，∴3a1+12d=25，∴，∴S9==9a5=9×=75．故选：B．14．（2017•延边州模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，则公差d等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=﹣15，a2+a5=﹣2，∴，解得a3=﹣2，d=4．故选：B．15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{a n}，a1=50，d=﹣2，S n=0，则n等于（）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0整理可得，n2﹣51n=0∴n=51故选D16．（2017•唐山一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那么S9=（）A．9 B．81 C．5 D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4，a6是方程x2﹣18x+p=0的两根，那∴a4+a6=18，∴S9===81．故选：B．18．（2017•宜宾模拟）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，则公差d 等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．19．（2017•西宁模拟）等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，则数列{a n}的前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5=39，a5+a7+a9=27，∴3a3=39，3a7=27，解得a3=13，a7=9，∴数列{a n}的前9项的和：S9===．故选：B．20．（2017•大庆二模）等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n 项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．二．选择题（共10小题）21．（2017•榆林一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=49．【解答】解：∵a2+a6=a1+a7∴故答案是4922．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=3．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：323．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{a n}中，a1=1，a2+a3=8，则数列{a n}的前n项和S n=n2．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a2+a3=8，∴2×1+3d=8，解得d=2．则数列{a n}的前n项和S n=n+=n2．故答案为：n2．24．（2017•淮安四模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，则S10的值是110．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．25．（2017•盐城一模）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．26．（2017•乐山三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8= 72．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：7227．（2017•凉山州模拟）设数列{a n}是首项为1的等差数列，前n项和S n，S5=20，则公差为．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d=3，S6=48．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．∴S6==48．故答案为：3，48．29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=4，则S7= 28．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．30．（2017•衡阳三模）已知等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，则{a n}的前10项和为6．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=2，a12=﹣2，∴，解得a1=2.4，d=﹣0.4，∴{a n}的前10项和为：=6．故答案为：6．。

2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(真题测试)解析版

专题7.2 等差数列及其前n 项和（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D2．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =A ．64 B ．96C ．128D ．160【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ，因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--，可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=，又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C.3．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））数列{}n a 为等差数列，前n 项的和为n S ，若10110a <，101110120a a +>，则当0n S <时，n 的最大值为（）A ．1011B ．1012C ．2021D ．2022【答案】C 【解析】【分析】分析数列{}n a 的单调性，计算2021S 、2022S ，即可得出结论. 【详解】因为10110a <，101110120a a +>，则10120a >，故数列{}n a 为递增数列，因为()12021202110112021202102a a S a +==<，()()120222022101110122022101102a a S a a +==+>，且当1012n ≥时，10120n a a ≥>，所以，当2022n ≥时，20220n S S ≥>，所以，满足当0n S <时，n 的最大值为2021.故选：C.5.（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.6．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（） A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值．【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=，所以n 的最大值为11．故选：C ．7．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得. 【详解】因为()9353m S a a a =++，又959S a =，所以()53593m a a a a =++，所以3553m a a a a ++=，即352m a a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+，所以(+1)8m d d =，又0d ≠，所以18m +=，所以7m =．故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项【答案】B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=⨯a a S 可判断BC ； 90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D. 【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴ 等差数列{}n a 一定有负数项， ∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >， ∴90a >，100a <， ∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<， ∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确. 故选：B. 二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC 【解析】【分析】由91011S S S =<，得100,0d a >= ，判断出A,B 选项，再结合90a <，11818118910918()9()9()92a a S a a a a a +==+=+=判断C 选项，再根据等式性质判断D 选项【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC10．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”．已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，下列关于数列{}n a 的描述正确的有（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为递增数列C ．2022202520222S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列【答案】ABC 【解析】【分析】由新定义可得112222n n n a a a n -++⋯+=⋅，利用该递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由已知可得112222n n nn a a a H n-+++==，所以112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以()32n n n S +=，所以32n S n n +=故2022202520222S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，2S ，4S ，6S 不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（）A ．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++，所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+，所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD12．（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD 【解析】【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2--，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项.【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2--，则16224a =--=-，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD 三、填空题13．（2019·全国·高考真题（理））记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4. 【解析】【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 14．（2019·江苏·高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16. 【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 15．（2021·福建省华安县第一中学高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a a n +=+＋（*n ∈N ），则99a 的值为________，99S 的值为________. 【答案】 99 4950 【解析】【分析】利用数列的递推关系可知数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求解. 【详解】将1n =代入121n n a a n +=+＋得2312a =-=，由121n n a a n +=+＋①得123n n a a n +++=＋2②， ②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，()991501299a =+-⨯=， ()()991359924698S a a a a a a a a =+++++++++ 5049494815022492495022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：99 ; 4950.16．（2020·海南·高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________．【答案】232n n - 【解析】【分析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -. 四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11n n n n a a a a ---=⋅.求证：数列1{}na 是等差数列.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用定义法证明出数列1{}na 是等差数列.【详解】当2n ≥时，11n n n n a a a a ---=⋅，因11a =，显然0n a ≠，否则10n a -=，由此可得10a =，矛盾，两边同时除以1n n a a -⋅，得1111n n a a --=，而11a =1，所以数列1{}na 是以1为首项，1为公差的等差数列.18．（2019·北京·高考真题（文））设{n a }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{na }的通项公式；（Ⅱ）记{na }的前n 项和为Sn ，求Sn 的最小值．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得{}n a 的通项公式；(Ⅱ)首先求得n S 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.19．（2016·全国·高考真题（文））等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）235n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式及已知条件求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==.所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.20．（2022·全国·高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得.(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341112212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； (2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111na a a +++1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））已知()f x =数列{}na 的前n 项和为n S ，点11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上（n N +∈）且11a =，0n a >.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足212211683++=+--n nn n T Tn n a a ，确定1b 的值使得数列{}n b 是等差数列.【答案】(1)*N =∈n a n (2)1 【解析】【分析】（1）根据点11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上（n N +∈），得到11+n a 212141+-=n n a a ，利用等差数列的定义求解；（2）由（1）化简得到114143+-=+-n n T Tn n ，利用等差数列的定义得到()()1431=-+-n T n T n ，再利用数列通项与前n 项和的关系求解. (1)解：因为()f x =11,+⎛⎫- ⎪⎝⎭n n n P a a 在曲线()y f x =上（n N +∈），所以11+=n a 212141+-=n n a a ，所以21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，所以()2114143=+-=-n n n a，即*N =∈n a n ； (2)由（1）知：212211683++=+--n nn n T Tn n a a ，即为()()()()143414341+-=++-+n n n T n T n n ，整理得：114143+-=+-n n T Tn n ，所以数列43⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n T n 是以1T 为首项，以1为公差的等差数列，则1143=+--nT T n n ，即()()1431=-+-n T n T n ，当2n ≥时，114811-=-=+-n n n b T T b n ，若{}n b 是等差数列，则1b 适合上式，令1n =，得1143=-b b ，解得11b =.22．（2021·全国·高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300. 【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=， 322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论 20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++110()102103002b b +⨯=⨯-=． [方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为： 201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=．【整体点评】 (1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.。

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必修5 第二章
等差数列及其前
n 项和测试题1
（满分100分，100分钟完卷）
制卷：王小凤学生姓名
一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（） A ．1-
B ．1
C ．3
D ．7
2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
3．设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和．若1011S S =，则1a =（） A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
4．等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n =（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
6．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，S n 是数列{}n a 的前n 项和，则9S 的值为
（） A ．48
B ．54
C ．60
D ．66
7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =则612
S
S = ( ) A ．
310 B ．13 C ．18 D ．1
9
8．在等差数列中，已知前10项和为5，前20项和为15，则前30项和为（） A ．20 B ．25 C ．30 D ．35 9．已知等差数列{}n a 满足1231010a a a a ++++=L 则有( )
A ．11010a a +>
B ．21000a a +<
C ．3990a a +=
D ．5151a = 10．一群羊中，每只羊的重量数均为整数公斤数，其总重量为65公斤，已知最轻的一只羊重7公斤，除去一只10公斤的羊外，其余各只羊的公斤数恰好能组成一个等差数列，则这群羊共有（） A ．5只
B ．6只
C ．8 只
D ．7 只
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11．设数列{}n a 的首项17a =-，且()12n n a a n N *+=+∈，则1217a a a +++=
L ____．
12．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起
为负数，则它的公差是
13．已知数列的通项52n a n =-+,则其前n 项和为n S = ________．
14．{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝ ______．
15．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项．
三．解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （1）求{}n a 的通项n a ；
（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值.
17．设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为
数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T .
18．已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2
24n n S a n =+-.
(1)求证{}n a 为等差数列； (2)求{}n a 的通项公式．
19．已知等差数列{}n a 满足：73=a ，2675=+a a ，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令1
12
-=n n a b （*
N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和为n T .。