高中数学教案抛物线

抛物线

一、知识网络

二、高考考点

1.抛物线定义的应用；

2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；

3.抛物线的焦点弦引出的问题；

4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；

5.抛物线与三角形（或四边形）问题。

三、知识要点

（一）定义与推论

1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.

2.推论：抛物线的焦点半径公式

设为抛物线上任意一点，则

设为抛物线上任意一点，则

其它情形从略。

（二）标准方程与几何性质

1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：

①②③④

认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.

其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；

一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；

一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.

2.几何性质对于抛物线

（1）范围：这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；

（2）对称性：关于x轴对称轴为这条抛物线的轴.

认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）

（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）

（4）离心率：（抛物线主要共性之二）

（三）挖掘与引申

1.抛物线方程的统一形式

1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；

焦点，准线；

顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；

焦点，准线；

（2）顶点在，对称轴垂直y轴的抛物线方程为：，其焦点参数；

顶点在，对称轴垂直x轴的抛物线方程为：，其焦点参数；

2.抛物线的焦点弦设且PQ为抛物线的一条经过焦点的弦.

（1）弦端点同名坐标的关系

（推导上述命题的副产品：，其中k为直线PQ的斜率）

（2）焦点弦长公式（Ⅰ）。

（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为，则

故有：

（3）的面积公式：；

（4）焦点半径与的关系（定值）

（四）直线与抛物线

直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点

直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交

四、抛物线经典例题

例1、（1）抛物线的焦点坐标为；

（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为；

（3）经过抛物线的对称轴上一点作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为 .

分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入

当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；

当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；

∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为 .

（2）这里 .注意到焦点半径在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。①注意到点A在x轴下方，因此，

（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为，则①

又点A在抛物线上，则②∴由①，②得：或

∴由①得：p=9或p=1 ∴抛物线方程为：或

（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，且

仿（Ⅰ）解得 p=1或p=9 ∴抛物线方程为或

（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，∴p=4

∴此时抛物线方程为于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为或或 .

（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级

经过抛物线的对称轴上一定点作抛物线的弦AB，若设，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。

设弦AB所直线方程为①由①与联立，消去x ：

∴②∴③

（Ⅱ）应用上述结论，当a=p，时，由②得∴ B的纵坐标为—4p

例2 、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线方程.

分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

解：注意到抛物线开口大小的不确定性

（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得

∴

∴，解得p=2或p=6。

注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。

（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N，，得∴∴，解得

易验证抛物线符合此时情形。

于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为或.

点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.

例3、经过抛物线的焦点作弦AB.

（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；

（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.

分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.

解：（1）设由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为①

将①代入消去x得：由韦达定理得：②

又由题意得（或）∴③

∴由③得：④

∴将②代入④解得：∴所求直线方程为：或 .

（2）证明：由题意抛物线焦点，准线；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则⑤

注意到C，D两点在抛物线上∴过C，D分别作于G，于H，则又有⑥∴由⑤、⑥知，即四边形CDHG为矩形∴轴∴轴

∴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。

点评：（Ⅰ）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或）；二是以为基础构造并寻觅出和的关系式，从而为利用①式创造了条件.

（Ⅱ）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.

例4、如图，已知抛物线的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。

（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；

（2）在（1）的条件下，若，求动点R的轨迹方程。

分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。

解：（1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为①

把①代入抛物线方程得

由题意：恒成立

且②∴③

由题设得④