频谱分析

2.1频谱分析原理

时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简单波形外，很难明确提示信号的频率组成和各频率分量大小，而频谱分析能很好的解决此问题。由于从频域能获得的主要是频率信息，所以本节主要介绍频率(周期)的估计与频谱图的生成。

2.2.1DFT与FFT

对于给定的时域信号y，可以通过Fourier变换得到频域信息Y。Y可按下式计算

式中，N为样本容量，Δt = 1/Fs为采样间隔。

采样信号的频谱是一个连续的频谱，不可能计算出所有的点的值，故采用离散Fourier变换(DFT)，即

式中，Δf = Fs/N。但上式的计算效率很低，因为有大量的指数(等价于三角函数)运算，故实际中多采用快速Fourier变换(FFT)。其原理即是将重复的三角函数算计的中间结果保存起来，以减少重复三角函数计算带来的时间浪费。由于三角函数计算的重复量相当大，故FFT能极大地提高运算效率。

2.2.2 频率、周期的估计

对于Y(kΔf)，如果当kΔf = 时，Y(kΔf)取最大值，则为频率的估计值，由于采样间隔的误差，也存在误差，其误差最大为Δf / 2。

周期T=1/f。

从原理上可以看出，如果在标准信号中混有噪声，用上述方法仍能够精确地估计出原标准信号的频率和周期，这个将在下一章做出验证

2.2.3 频谱图

为了直观地表示信号的频率特性，工程上常常将Fourier变换的结果用图形的方式表示，即频谱图。

以频率f为横坐标，|Y(f)|为纵坐标，可以得到幅值谱；

以频率f为横坐标，arg Y(f)为纵坐标，可以得到相位谱；

以频率f为横坐标，Re Y(f)为纵坐标，可以得到实频谱；

以频率f为横坐标，Im Y(f)为纵坐标，可以得到虚频谱。

根据采样定理，只有频率不超过Fs/2的信号才能被正确采集，即Fourier 变换的结果中频率大于Fs/2的部分是不正确的部分，故不在频谱图中显示。即横坐标f ∈[0, Fs/2]

2.5．运行实例与误差分析

为了分析软件的性能并比较时域分析与频域分析各自的优势，本章给出了两种分析方法的频率估计的比较，分析软件的在时域和频域的计算精度问题。2.5.1标准正弦信号的频率估计

用信号发生器生成标准正弦信号，然后分别进行时域分析与频域分析，得到的结果如图 4所示。从图中可以看出，时域分析的结果为f = 400.3702Hz，频域分析的结果为f = 417.959Hz，而标准信号的频率为400Hz，从而对于标准信号时域分析的精度远高于频域分析的精度。

2.5.2 带噪声的正弦信号的频率估计

先成生幅值100的标准正弦信号，再将幅值50的白噪声信号与其混迭，对最终得到的信号进行时域分析与频域分析，结果如图 5所示，可以看出，时域分析的结果为f = 158.9498Hz，频域分析的结果为f = 200.391Hz，而标准信号的频率为200Hz，从而对于带噪声的正弦信号频域分析的精度远高于时域分析的精度。

2.5.3 结果分析与结论

在时域，频率估计是使用过零检测的方式计算出，从而对于带噪声的信号既容易造成“误判”，也容易造成“漏判”，且噪声信号越明显，“误判”与“漏判”的可能性越大。但在没有噪声或噪声很小时，时域分析对每个周期长度的检测是没有累积误差的，故随着样本容量的增大，估计的精度大大提高。

在频域，频率估计是通过找出幅值谱峰值点对应的频率求出。故不会有时域分析的问题。但频率离散化的误差及栅栏效应却是不可避免地带来误差，仅频率离散化的误差就大于Fs/2。

由实验结果及以上的分析可以得出结论：在作频率估计时，如果信号的噪声很小，采用时域分析的方法较好；如果信号的噪声较大，采用频域分析的方法较好。

3.总结

本文给出了基于MATLAB的声音信号频谱分析仪的设计原理与实现方法，在原理部分，从时域和频域两个方面提供了信号分析所需要的算法流程及计算公式，在原理的最后还结合软件工程理论给出了软件的模块划分，这样在基于此设计原理的基础上可以用任何平台任何语言进行软件开发。在实现方法上，结合软件的界面和具体的代码讲述了整个软件编码实现的原理。最后结合一个运行实例比较了时域分析与频域分析计算频率的异同之处，并分析了误差的原因。

尽管MATLAB有强大的数学函数库，使得编程时间大大缩短，但MATLAB有它固有的缺陷，如运行速度太慢，因为它是解释型语言，而且运行依赖了MATLAB 软件，无法发布为商用软件，另外在控制用户输入上也比较难以实现。这些缺陷也导致了用MATLAB所开发的软件有这些缺陷。

3.2谱分析的几种算法

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于声信号，由于它一般是非平稳随机信号，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱估计（PSD）是用有限长的数据来估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面来讲都是非常重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有直接法和间接法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估

计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的，应用最广的是AR参数模型[12]。

本章将分别介绍经典功率谱估计中的直接法、间接法、改进算法和现代功率谱估计中的基于AR模型的几种相关算法。

3.2.1经典功率谱估计的几种典型算法

经典谱估计具有物理概念明确、算法简单的特点，是目前经常使用的谱估计方法。在经典谱估计中，主要方法有周期图法、间接法，和直接法的改进算法Bartlett法及Welch法。

（1）周期图法

周期图法又称直接法，利用该方法得到的随机信号y（n）的功率谱是直接由傅立叶变换得到的。傅立叶级数是对周期信号求解频域特性，傅立叶变换则是对非周期信号求解其频域信息。一个周期信号的傅立叶级数的实质是：把所要研究时域的周期波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。傅立叶变换可以看作是时间函数在频率域上的表示。由傅立叶变换给出的频率域包含的信息和原函数时间域内包含的完全相同，不同的仅是信息的表示形式。由于计算机的离散性，对一个时间连续信号进行分析要在遵守抽样定理的前提下，进行抽样。同样，对一个时域信号进行分析时，也要在频域呈离散性，离散傅立叶变换应运而生。

综上所述：周期图法是把随机序列y（n）的N个观测数据视为一个能量有限的序列，直接计算y（n）的离散傅立叶变换得Y（k），然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列y（n）真实功率谱的估计。

第二章实验原理

2.1 采样频率、位数及采样定理

采样频率[2]，也称为采样速度或者采样率，定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率的倒数是采样周期或者叫作采样时间，它是采样之间的时间间隔。通俗的讲采样频率是指计算机每秒钟采集多少个声音样本，是描述声音文件的音质、音调，衡量声卡、声音文件的质量标准。采样频率越高，即采样的间隔时间越短，则在单位时间内计算机得到的声音样本数据就越多，对声音波形的表示也越精确。

采样位数可以理解为声卡处理声音的解析度。这个数值越大，解析度就越高，录制和回放的声音就越真实。我们首先要知道：电脑中的声音文件是用数字0和1来表