2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克

第一轮

比赛时间：2019年11月29日

1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数.

2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立.

求a 1的所有可能的值.

3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD.

4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队.

(1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅?

(2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅?

5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排”的所有n 的值.

6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有：

2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1,

就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”.

第二轮比赛时间：2020年1月30日

1.数列a1,a2,a3,…（a1>2）满足

()

1

1

2

n n

n

a a

a

+

-

=对所有正整数n成立.那么,a1为何值时,数列中所

有项均为奇数?

2.平面上的点集S中有四个点,其中任意三个点均不共线,且其中任意三个点所组成的三角形的外接圆半径相等.请描述所有这样的点集.

3.一个2019×2019的正方形网格由20192个单元格构成.每个单元格都被染成了黑色或者白色.对某种染色方法,若其中任意k2个单元格构成的正方形子网格(1≤k≤2019)中,黑色格子和白色格子的个数相差均不超过1,就称这个染色方法是”均衡”的.那么,一共有多少种”均衡”的染色方法? (若两个染色方法中有至少一个单元格颜色不同,就称这两个染色方法是不同的)

4.非零实数列b1,b2,b3,…满足

2

1

2

1

n

n

n

b

b

b

+

+

-

=对所有正整数n成立.若b1=1,b2=k,1

k决定的常数B,使得-B≤b n≤B对所有n成立.并证明,对某个12020.