曲线与方程教学设计课件
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曲线与方程 课件 (共37张PPT)
y)=0表示的曲线C上.
(2)从方程的解的角度：若f(x0，y0)=0，则M(x0，y0)在方程f(x， y)=0所表示的曲线C上；或若M(x0，y0)不在方程f(x，y)=0表示的曲 线C上，则f(x0，y0)≠0.
类型二：曲线与方程关系的应用 【典例2】证明以原点为圆心，半径为3的圆的方程是x2+y2=9.
x2+y2=9(y≥0).
2.(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0)，则它表示的轨迹是什 么？ 【解析】以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心，以3为半 径的圆上，当满足xy>0时，说明这些点的横、纵坐标同号，即这些点 应该在第一象限或第三象限内，所以方程表示的曲线是以原点为圆心，
O
M ( x0 , y0 )
以 ( x 0 , y 0 )为 坐 标 的 点 在 直 线 上 .
x
问题2：方程 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 表示如图的圆， 2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 图象上的点M与此方程 ，
有什么关系？
（1）圆上任一点
第二章
圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问 题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月 球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方 程吗？
【探究】 曲线的方程与方程的曲线 问题 1 ：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系？ (1)在直线上任找一点 M ( x 0 , y 0 ),则 x 0 y 0， 即 （ x 0 , y 0） 是方程x-y=0的解； x-y=0 y (2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x y 0的解，那么
曲线与方程教学设计_图文.doc
观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。
圆的标准方程的应用是本节的难点。
为了突破难点，设计三个例题。
第一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。
第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志晶质。
最后设计了“问题延伸”，讣学生带着问题走进课堂，乂帯着问题走岀课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。
在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”右机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并月•主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。
曲线和方程一PPT课件
第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
第12页/共16页
课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
第7页/共16页
由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
第8页/共16页
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
第2页/共16页
2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
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课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所
列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的
折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方
⑵若 (x0 , y0 ) 是方程 y kx b 的解,则 M (x0 , y0 ) 是经过点 P (0, b) 和斜率为 k 的直线 l 上的一点.
继续
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课外练习3：
设圆M的方程为
, 直线
l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1)，那
么（C
）
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
两边开方取算术根，得：
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这 个圆上的一点.
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由(1)、(2)可知， x2 +y2 = 25,是以坐标原点为圆 心，半径等于5的圆的方程.
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归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
y
f(x,y)=0
这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0
0
x
的曲线.
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
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2.方程的曲线与曲线的方程的关系:
曲线与方程ppt课件
xy＝＝－0－2＋23＋30＋y1.x1，xy11＝＝33xy＋＋22.， 代入 y1＝3x12－1， 得 3y＋2＝3(3x＋2)2－1. ∴y＝9x2＋12x＋3，即为所求轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
曲线与方程课件
2.1.1 曲线与方程（第1课时）
说课内容
内容和内容解析 目标和目标解析 教学问题诊断
教学支持条件
教学过程设计 目标检测设计 课后反思
第2页
高中平面解析几何
直线与方程
圆与方程
圆锥曲线与方程
坐标系与参数方程
曲 线 与 方 程
第3页
椭 圆
双 曲 线
抛 物 线
曲线与方程
1、曲线的方程（方程的曲线）的概念 2、求曲线的方程
产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性； （2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来
曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—
互动修正”生成概念； （3）学生自主举例，辨析并理解概念，联系相关概念，完成对概念的“结构化”．
第9页
学情分析
本课授课对象为石室中学高二理科实验 班学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有
第4页
结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程对应的关系， 进一步理解数形结合的基本数学思想．具体目标如下： 1、通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳曲线 与方程的对应关系； 2、初步理解方程的曲线、曲线的方程的含义；
3、通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括能力； 4、能使用概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．
你认为笛卡尔在数学上有哪些贡献？
你能否结合所学知识谈一谈解析几何研究几何图形的方法？
第15页
（一）创设情境 引入概念
第16页
（一）创设情境 引入概念
你知道广告创意中男主角指的是谁吗？
你认为笛卡尔在数学上有哪些贡献？ 生活中的其他曲线（如圆锥曲线）能像直线和圆一样用代数
说课内容
内容和内容解析 目标和目标解析 教学问题诊断
教学支持条件
教学过程设计 目标检测设计 课后反思
第2页
高中平面解析几何
直线与方程
圆与方程
圆锥曲线与方程
坐标系与参数方程
曲 线 与 方 程
第3页
椭 圆
双 曲 线
抛 物 线
曲线与方程
1、曲线的方程（方程的曲线）的概念 2、求曲线的方程
产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性； （2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来
曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—
互动修正”生成概念； （3）学生自主举例，辨析并理解概念，联系相关概念，完成对概念的“结构化”．
第9页
学情分析
本课授课对象为石室中学高二理科实验 班学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有
第4页
结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程对应的关系， 进一步理解数形结合的基本数学思想．具体目标如下： 1、通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳曲线 与方程的对应关系； 2、初步理解方程的曲线、曲线的方程的含义；
3、通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括能力； 4、能使用概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．
你认为笛卡尔在数学上有哪些贡献？
你能否结合所学知识谈一谈解析几何研究几何图形的方法？
第15页
（一）创设情境 引入概念
第16页
（一）创设情境 引入概念
你知道广告创意中男主角指的是谁吗？
你认为笛卡尔在数学上有哪些贡献？ 生活中的其他曲线（如圆锥曲线）能像直线和圆一样用代数
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
曲线与方程 课件(人教版)
2．判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的 方程，若成立，则P在C上，否则P不在C上．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意点的坐标与点到坐标轴距离的区别
方程．
动点 P 到两坐标轴的距离相等，求 P 点的轨迹
[错解] 设P(x，y)，由条件知y＝x，∴P点的轨迹方程为x －y＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[辨析] 点P到坐标轴的距离不一定就是点P的坐标，点 P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.
[正解] 设P(x，y)，由条件知|x|＝|y|，∴y2＝x2，即P点的 轨迹方程为x2－y2＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这 两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线 C1 和 C2 的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝0，则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0， y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点．因此，求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标，只要
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
方程的曲线 方程 x(x2＋y2－1)＝0 和 x2＋(x2＋y2－1)2＝0 所表 示的图形是( ) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 [答案] C
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意点的坐标与点到坐标轴距离的区别
方程．
动点 P 到两坐标轴的距离相等，求 P 点的轨迹
[错解] 设P(x，y)，由条件知y＝x，∴P点的轨迹方程为x －y＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[辨析] 点P到坐标轴的距离不一定就是点P的坐标，点 P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.
[正解] 设P(x，y)，由条件知|x|＝|y|，∴y2＝x2，即P点的 轨迹方程为x2－y2＝0.
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．根据曲线方程的意义，可以由两条曲线的方程，求出这 两条曲线的交点的坐标．
已知两条曲线 C1 和 C2 的方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分别为 F(x，y)＝0，G(x，y) ＝0，则交点的坐标必须满足上面的两个方程．反之，如果(x0， y0)是上面两个方程的公共解，则以(x0，y0)为坐标的点必定是两 条曲线的交点．因此，求两条曲线 C1 和 C2 的交点坐标，只要
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
方程的曲线 方程 x(x2＋y2－1)＝0 和 x2＋(x2＋y2－1)2＝0 所表 示的图形是( ) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 [答案] C
曲线与方程 课件(人教版)
2．如果曲线C的方程是 f(x，y)＝0，点P的坐标是 (x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔_f_(x_0_，__y_o_)＝__0；②点P不在 曲线C上⇔_f_(_x_0，__y_0_)_≠_0__.
例：x＝1， y＝3
是方程
2x－y＋1＝0 的解，把
x＝1，
y＝3
写成坐
标形式 (1,3)，则点(1,3)在方程 2x－y＋1＝0 的曲线上．
点评：(1)“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所 列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者 缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程， 曲线是不是所给方程的曲线的准则．
(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变 形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方 程表示的曲线就不是原方程的曲线．变形的主要方法有配 方法、因式分解法、两边平方法、分类讨论法等．
(2)与两坐标轴的距离的积等于8的点与方程xy＝8
之间的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2
之间的关系．
解析：(1)第一、三象限角平分线l上点的横坐标x与 纵坐标y相等，即y＝x.可以看到：①l上点的坐标都是方 程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l
上．
(2)与坐标轴的距离的积等于8的点的坐标不一定满
足方程xy＝8，但以方程xy＝8的解为坐标的点与两坐标轴
的距离之积一定等于8.因此，与两坐标轴的距离的积等于
8的点的轨迹方程不是xy＝8.
(3)下图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解， 然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此 |x|2不是l的方程．
题型一 曲线的图象
例1 分别画出下列各方程的曲线：
例：x＝1， y＝3
是方程
2x－y＋1＝0 的解，把
x＝1，
y＝3
写成坐
标形式 (1,3)，则点(1,3)在方程 2x－y＋1＝0 的曲线上．
点评：(1)“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所 列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者 缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程， 曲线是不是所给方程的曲线的准则．
(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变 形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方 程表示的曲线就不是原方程的曲线．变形的主要方法有配 方法、因式分解法、两边平方法、分类讨论法等．
(2)与两坐标轴的距离的积等于8的点与方程xy＝8
之间的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2
之间的关系．
解析：(1)第一、三象限角平分线l上点的横坐标x与 纵坐标y相等，即y＝x.可以看到：①l上点的坐标都是方 程x－y＝0的解；②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l
上．
(2)与坐标轴的距离的积等于8的点的坐标不一定满
足方程xy＝8，但以方程xy＝8的解为坐标的点与两坐标轴
的距离之积一定等于8.因此，与两坐标轴的距离的积等于
8的点的轨迹方程不是xy＝8.
(3)下图所示直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解， 然而，坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此 |x|2不是l的方程．
题型一 曲线的图象
例1 分别画出下列各方程的曲线：
曲线与方程课件
7
二、教材改编
1．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨
迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
C [由题意可知，动点 M 到点 F(0，4)的距离等于到直线 y＝
－4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0，4)为焦点，以 y＝－4 为准
O→Q＝(－3，t)，P→F＝(－1－m，－n)，O→Q·P→F＝3＋3m－tn，
O→P＝(m，n)，P→Q＝(－3－m，t－n)．
由O→P·P→Q＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以O→Q·P→F＝0，即O→Q⊥P→F.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直
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直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻 译为代数方程，要注意翻译的等价性，检验可从以下两个方面进 行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意 义．
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已知两点 M(－1，0)，N(1，0)且点 P 使M→P·M→N，P→M·P→N， N→M·N→P成公差小于 0 的等差数列，则点 P 的轨迹9·太原模拟)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1
的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹
方程为( )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B.49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D.x2＋43y2＝1(y≠0)
(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去 顶点)；
当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－ 1，0)，(1，0)． 当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短 轴的两个端点)．
二、教材改编
1．到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨
迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
C [由题意可知，动点 M 到点 F(0，4)的距离等于到直线 y＝
－4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0，4)为焦点，以 y＝－4 为准
O→Q＝(－3，t)，P→F＝(－1－m，－n)，O→Q·P→F＝3＋3m－tn，
O→P＝(m，n)，P→Q＝(－3－m，t－n)．
由O→P·P→Q＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以O→Q·P→F＝0，即O→Q⊥P→F.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直
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直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻 译为代数方程，要注意翻译的等价性，检验可从以下两个方面进 行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意 义．
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已知两点 M(－1，0)，N(1，0)且点 P 使M→P·M→N，P→M·P→N， N→M·N→P成公差小于 0 的等差数列，则点 P 的轨迹9·太原模拟)已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1
的左、右焦点，点 P 是椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹
方程为( )
A.3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B.49x2＋y2＝1(y≠0)
C.94x2＋3y2＝1(y≠0)
D.x2＋43y2＝1(y≠0)
(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去 顶点)；
当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； 当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－ 1，0)，(1，0)． 当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短 轴的两个端点)．
曲线与方程 课件
题型四 几何法求曲线方程 例4 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴 于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 解法1：设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1. 而kPA＝24－－20x(x≠1)，kPB＝42－－20y， ∴1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)． 整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．
等．第二步是求方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注 意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点M有关的等量关系， 列出几何等式．第三步，将几何条件转化为代数方程的过程 中，常用到一些基本公式．如两点间的距离公式、点到直线 的距离公式等．第四步在化简过程中， 注意运算的合理性 和准确性，尽量避免“失解”和“增解”．对于第五步“证 明”，从理论上讲是必要的，但在实际处理上常被省略掉，
题型三 代入法求曲线方程 例3 点A(3,0)为圆x2＋y2＝1外一点，P为圆上任意一 点，若AP的中点为M，当P在圆上运动时，求点M的轨迹方 程． 分析 利用中点坐标公式，把P点的坐标用M的坐标表 示，利用代入法，代入圆的方程即可．
解 由题意，设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0， y0)，则
规律技巧 在平面直角坐标系中，遇到垂直问题，常利 用斜率之积等于－1解题，但需注意斜率是否存在，即往往 需要讨论，如解法1.求轨迹方程有时标系．△ABC的外心即 为三边的中垂线的交点．若设△ABC的外心P(x，y)．则有 |PA|＝|PB|，代入点的坐标，化简可得轨迹方程．
解 解法1(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重 合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)，
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高中平面解析几何
圆与方程
圆锥曲线与方程
坐标系与参数方程
曲椭 线圆 与 方 程
双
抛
曲
物
线
线
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第4页
曲线与方程
1、曲线的方程（方程的曲线）的概念 2、求曲线的方程
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方 程的曲线（curve）．
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第28页
第34页
阶段小结：多维度理解概念，灵活应用概念．
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第35页
（四）课堂检测 课外延伸 本环节将在“目标检测设计”中汇报．
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第19页
（二）作图探究 生成概念 • 探究一
探究对象： y 2 2 0
x1
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念 • 探究一
学生意见不一致，出现分歧！
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
教学模式及教法、学法
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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1、本课采取“探究—发现”教学模式． 2、教师的教法注重活动的设计，并通过问题引导学生从特殊到一般
进行探索发现，并归纳概括； 讨论互问
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第13页
（一）创设情境 引入概念 （二）作图探究 生成概念 （三）正反实例 应用概念 （四）课堂检测 课外延伸
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念 • 归纳概括
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元 方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：
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（一）创设情境 引入概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念 • 探究二
探究对象：x 1 y2 0
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（二）作图探究 生成概念
两则典型事例充当“先行组织者”的作 用．探究过程中，学生观察、分析、比较、综 合各事例的属性、抽象概括共同本质属性，为 归纳得出数学概念做好准备.
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（二）作图探究 生成概念 • 归纳概括
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
那么曲线 C 是方程 F 的曲线．
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（三）正反实例 应用概念
（三）正反实例 应用概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
探究提问 问题
教师追问
3、学生的学法注重独立探究、合作交流与归纳建构．
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教具、学具
教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔 学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔
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（一）创设情境 引入概念
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（一）创设情境 引入概念
你知道广告创意中男主角指的是谁吗？ 你认为笛卡尔在数学上有哪些贡献？ 你能否结合所学知识谈一谈解析几何研究几何图形的方法？
（二）作图探究 生成概念 • 教师追问
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念 • 自主举例
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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难点及突破策略
难点：
曲线的方程、方程的曲线这组概念的生成和理解
突破策略：
旧知新悟、适度模仿、归纳概括、自主举例
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难点及突破策略
辨析概念
生成概念 概念
特殊到一般
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目标达成
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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1、课堂检测 2、课外延伸
结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程对应的关系， 进一步理解数形结合的基本数学思想．具体目标如下：
1、通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳曲线 与方程的对应关系； 2、初步理解方程的曲线、曲线的方程的含义； 3、通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括能力； 4、能使用概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．
第5页
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断
具有方程表示直线、圆的经验 能根据直线、圆的方程作出对应图形 对数形结合思想有着初步的了解
感性认识上升到理性认识的一次“飞跃” 大多数学生未曾有提前“思考” 概念有着较高的抽象性
04 教学支持条件
05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第21页
（二）作图探究 生成概念 • 探究一
教师引导归因 教师变式教学
学生归纳小结
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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（二）作图探究 生成概念
学生甲——学生乙——归因——变式——旧知新悟
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
第18页
（一）创设情境 引入概念
1、驱动着学生回顾已有知识和方法； 2、实现了“章头图”、“章导言”的
数学文化价值； 3、让学生对圆锥曲线等其他曲线的研
究充满渴望．
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
例 1 曲线 C：到 x 轴的距离等于 1 的点形成的轨迹，写出 C 的方程．
例 2 下列说法是否正确？并说明理由：
（1）点 A(0,1), B(1, 0), C(1, 0) 分别为 ABC 的三个顶点，
边 AB 的中线的方程是 x 0 ； （2）曲线 C：过点 (4,1) 的反比例函数图象，方程 F：y 4 ， |x|
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本节课，在知识层面，让学生明确曲线的方程（方 程的曲线）这一组概念是对直线的方程、圆的方程的拓 展，也是判断曲线与方程对应关系的依据和准则． 在 方法层面，让学生进一步体会数形结合、从特殊到一般、 转化与化归的数学思想．遇到曲线与方程的关系时，要 能运用概念进行检验、判断．
01 内容和内容解析 02 目标和目标解析 03 教学问题诊断 04 教学支持条件 05 教学过程设计 06 目标检测设计 07 课后反思
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