3.2均值不等式(二)探究学案1

3.2均值不等式(二)探究学案
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【合作探究】
探究:应用均值不等式求最值、证明不等式、解决实际问题时，应注意哪些问题？
【精讲点拨】 题型一:求最值
例1.当x>-1时,求f(x)=
2
311
x x x -++的最小值.
小结:分式型函数当分子x 的次数高于分母x 的次数时,可变成f(x)=ag(x)+
()
b g x +
c 型求最小(大)值.
变式训练:求函数2
4(1)1
x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值.
例2.已知102
x <<,求1(12)2
y x x =
-的最大值.
变式训练:求函数13(32)(21)()2
2
y x x x =-+-
<<
的最大值及相应的x 的值.
例3.设,x y 是正实数,且1
91x y
+
=,求x y +的最小值.
变式训练:已知,,a b R +∈且1a b +=,求1
1a b
+
的最小值.
题型二:证明不等式
例4.已知0,0,0,a b c >>>且1a b c ++=,求证:1
119
a b c +
+≥.
题型三:实际应用
例5.某工厂建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为48003m ，深度为3m .如果池底每12m 的造价为150元,池壁每12m 的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少元?
变式训练:要建一间地面面积为225m ，墙高为3m 的长方体形的简易工棚,已知工棚屋顶每12m 的造价为500元,墙壁每12m 的造价为400元.问怎样设计地面的长与宽,能使总造价最低?最低造价是多少元?
【当堂检测】
1.函数y =x (1－3x )(0<x <31
)的最大值是( )
A.
243
4 B.
12
1 C.
64
1 D.
72
1
2.已知x 、y >0且x ＋y ＝1，则p ＝x ＋x
1
＋y ＋
y
1的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
课后拓展学案
A 组
1.已知正数,x y 满足4
91x y
+
=,则xy 有( )
A.最小值12
B.最大值12
C.最小值144
D.最大值144 2.设,x y 是正数,则1
4()()x y x y
++
的最小值是 .
3.已知4
5<x ，求函数5
4124-+-=x x y 的最大值.
4.若点(1,1)A 在直线0(0)mx ny mn +=>上,则11m n
+的最小值为 .
5.已知02
π
θ<<,求函数()tan cot f θθθ=+的最小值以及相应的θ的值.
B 组
6.若x ＞4，则函数y =－x ＋
x
-41 ( )
A.有最大值－6
B.有最小值6
C.有最大值－2
D.有最小值2 7.用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体的无盖铁盒，问这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最省？。